专题2.2 绝对值的综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（原卷版）

专题2.2绝对值的综合【典例1】（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=

当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边AB=②如图3，点A、B都在原点的左边AB=③如图4，点A、B在原点的两边，AB=综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_______．②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_______，如果AB=2，那么x为_______（3）探索规律：①当x-1+x-2有最_______（填“大”或“小”）值是②当x-1+x-2+x-3有最小_______（填“大”或“小③当x-1+x-2+x-3+x-4有最_______（填“大”或（4）规律应用工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米．（5）知识迁移x+4-【思路点拨】（2）①根据两点间距离的求法直接求解即可；②根据两点间距离的求法直接写出即可；（3）①根据绝对值的几何意义可知，当1≤x≤2时，x-1+x-2有最小值②根据绝对值的几何意义可知，当x=2时，x-1+x-2+③根据绝对值的几何意义可知，当x=2或x=3时，x-1+x-2+（4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当x=0时，x-8+x-6+（5）分三种情况对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可．【解题过程】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是2-5=3数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1--3故答案为：3，4；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是x--1∵AB=2∴x+1=2∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或x=-3，故答案为：x+1；1或-3；（3）①∵x-1+x-2表示数轴上有理数x所对应的点到1和∴当1≤x≤2时，x-1+x-2有最小值，最小值为故答案为：小，1；②x-1+x-2+x-3表示数轴上有理数x所对应的点到1、∴当x=2时，x-1+x-2+故答案为：小，2；③x-1+x-2+x-3+x-4表示数轴上有理数x所对应的点到1、∴当x=2或x=3时，x-1+x-2+故答案为：小，4；（4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，则A点表示的数为-8，B点表示的数为-6，C点表示的数为-4，D点表示的数为-2，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置，当x-8+∴当x=0时，x-8+x-6+∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40；（5）x+4-当x≥5时，x+4-当-4<x<5时，x+4-当x≤-4时，x+4-∴x+4-x-5有最大值9，最小值1．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若a-2=18，且3a-c=A．﹣6 B．2 C．8 D．92．（2022秋·全国·七年级期末）已知a，b，c的积为负数，和为正数，且x=aa+bb+A．0 B．0，2 C．0，-2，1 D．0，1，-2，63．（2022秋·全国·七年级期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，|a|a+|b|A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定4．（2022·全国·七年级假期作业）设有理数a、b、c满足a>b>c(ac<0)，且c<b<|a|A．a-c2 B．a+b+2c2 C．2a+b+c25．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（

）①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=-1时，则|a|a+|b|②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|+a+c③已知x≤4时，那么x+3-x-4的最大值为7，最小值为④若a=b且|a-b|=23，则式子⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb-a(a<b)，当ab<0，a+b<0，aA．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知a为任意有理数，则a+3+3a+5+27．（2022秋·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）已知|x+1|+|x-2||y-2|+|y+1||z-3|+|z+1|=36，则2016x+2017y+2018z的最大值是8．（2022秋·浙江丽水·七年级校考期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m9．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为m-n，则：①x-1表示的实际意义是．②x-1+x-2+x-3③|x-1+x-2+x-310．（2022秋·北京朝阳·七年级校考阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】．【提出问题】两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求aa【解决问题】解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数．①若a、b都是正数，即a>0，b>0，有a=a及b=b，则②若a、b都是负数，即a<0，b<0，有a=-a及b=-b所以aa+bb的值为【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知a=3且b=7，且a<b，求（2）两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求aa（3）若abc>0，则|a|a11．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是；②数轴上表示-4和-9的两点之间的距离是；③数轴上表示-3和5的两点之间的距离是．（2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．（3）应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：|a-3|=6，那么a＝．

②若数轴上表示数a的点位于-5与2之间，求a+5+③当a何值时，a+5+

12．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？【问题探究】（1）观察分析（特殊）：①当a=2，b=5时，A，B之间的距离AB=3；②当a=-2，b=5时，A，B之间的距离AB=；③当a=-2，b=-5时，A，B之间的距离（2）一般结论：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB=；【问题解决】（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；【问题拓展】（4）拓展：①若x-2=x-6，则x=②若x-1+x-7=8，则③若x，y满足x-1+x-5y-1+y+1=8，则代数式13．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）【问题提出】a-1+【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么a-1可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；a-1+a-2就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，a-1+a-2有最小值【问题解决】（1）a-4+a-7的几何意义是，请你结合数轴研究：a-4+（2）请你结合图④探究a-1+a-2+a-3的最小值是，由此可以得出（3）a-1+a-2+（4）a-1+a-2+（5）如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是．14．（2022秋·重庆梁平·七年级统考期末）同学们都知道：数轴上表示x与a的两点之间的距离可以表示为x-a．例如7--4表示7与-4之差的绝对值，实际上也可理解为7与-4

探索：（1）数轴上表示7与-4两点之间的距离是______．（2）若x-3=2，则x=______（3）x+1+x-3表示数轴上有理数x所对应的点到-1和3所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得x+1+（4）请你找出所有符合条件的整数x，使得x+10+x+2+（5）继续探索：2x-1015．（2022秋·浙江金华·七年级校联考期中）【定义新知】我们知道：式子x-3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=a-b．若点P表示的数为x（1）式子x+5在数轴上的几何意义是____________________________________，若x+5=6，则x的值为_________（2）当x+3+x-1|取最小值时，x可以取整数（3）当x=_________时，x+2+x+6+【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？16．（2023春·全国·七年级期末）（1）阅读：如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为AB=|a-b|（2）理解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果AB=2，那么x=（3）运用：③当代数式x+1+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是④当代数式x+1+|x-2+x-4|取最小值时，相应的x的值是（4）提升：⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？17．（2022秋·北京·七年级期末）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为-1、3，则线段MN的长度可以这样计算|-1-3|=4或|3-(-1)|=4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度可以表示为|m-n|或|n-m|．请你参考小兰的发现，解决下面的问题．在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c给出如下定义：若|a-b|=2|a-c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．（1）如图1，a=-1①若c=2，点D、E、F在数轴上分别表示数-3、5、7，在这三个点中，点_______是点A、C的双倍绝对点；②若|a-c|=2，则b=