圆与方程复习课.

1、直线与圆的方程直线与圆的方程Ynsdfz bxd一、知识扫描：一、知识扫描：1、直线的倾斜角和斜率、直线的倾斜角和斜率2、圆的标准方程和一般方程、圆的标准方程和一般方程3、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系4、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系5、圆系问题、圆系问题6、直线和圆方程的应用、直线和圆方程的应用7、轨迹问题、轨迹问题 1、倾斜角 2、斜率tan902121yyxx0,)3.求斜率的一般方法求斜率的一般方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式已知直线上两点，根据斜率公式k (x1x2)求斜率求斜率.(2)已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角或或的某种三角函数根据的某种三角函数根据kta

2、n来来 求斜率求斜率.4.利用斜率证明三点共线的方法利用斜率证明三点共线的方法 已知已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若，若x1x2x3或或kAB kAC，则有，则有A、B、C三点共线三点共线.5.两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 若直线若直线l1和和l2的斜截式方程为的斜截式方程为l1：yk1xb1，l2：yk2x b2，则：，则：(1)直线直线l1l2的充要条件是的充要条件是 .(2)直线直线l1l2的充要条件是的充要条件是 . 若若l1和和l2都没有斜率，则都没有斜率，则l1与与l2平行或重合平行或重合. 若若l1和和l2中有一条没有斜率而另一条斜

3、率为中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则，则l1l2.k1k2且且b1b2k1k21例例1、设设a，b，c是互不相等的三个实数，如果是互不相等的三个实数，如果A(a，a3)、B(b，b3)、C(c，c3)在同一直线上，求证：在同一直线上，求证：abc0.3322ACackaac ca c3322ABabkaab ba bA BA Ckk2222aabbaacc例例2：直线直线2xcosy30( )的，则的，则直线倾斜角的变化范围是直线倾斜角的变化范围是 (B),63练习1：直线方程为ax+3y+c=0的倾斜角为A，若tanA+cotA=2，则a 为多少？ 解：由题意可知， 0 ， tanA=K

4、= 则cotA= 故有 解得：a=-3a a-33-aa3-= 23a（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为 半径为当D2+E2-4F=0时，只表示一个点（-D2,-E2）；当D2+E2-4F0时，不表示任何图形224DEF ；12r ,22DE （）， 例例3：已知圆的半径为 ，圆心在直线y=2x上， 圆被直线x-y=0截得的弦长为4 .求圆的方 程。ACBDOxy210 解法1：根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构

5、成直角三角形，由勾股定理， 可得弦心距 因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0的距离， 所以 又已知b=2a， 解得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.224 210822dr（）22abd ， ()解法2：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10， 由圆心在直线y=2x上，得b=2a， 由圆在直线x-y=0截得的弦长为4 ， 将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10. 整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0. 由弦长公式得 化简得a-b=2. 解得a=2,b=4或a=-2,b=-4

6、, 所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.2222()2(10)42abab ，2练习2：求经过点(8，3)，并且和直线x6与x10都相切的圆的方程 解：设所求圆的方程为 根据题意：r2，圆心的横坐标a628， 所以圆的方程可化为： 又因为圆过(8，3)点，所以 解得b5或b1， 所求圆的方程为： 或222()()x ax br22(8)()4xxb22(8 8)(3)4b22(8)(5)4xy22(8)(1)4xy例4：已知圆C： x2+(y-2)2=1，过P （1，0），作圆C的切线，切点A,B，（1）求弦AB的长（2）求AB所在直线的方程yA

7、BPCyABOCPDx解： (1)由圆方程x2+(y-2)2=1知其圆心为C（0,2），半径为1。 连接CP交弦AB于点D。易知D为AB的中点，且AB与CP垂直。 CP= ，AC=r=1,故AP=由等面积法可得AD=故AB=2CD=22(1 0)(0 2)52222( 5)12CPAC2 12 555AP ACCP455（2） ， 不妨设AB所在直线方程为x-2y+C=0。而即P点到AB所在直线的距离为即解得：C=3或C=-5又由于直线与圆相交，可知C=-5情况不符合题意，舍去。所以AB所在直线方程为：X-2y+3=002210PCk yABOCPDx12A Bk22222 54 52()55

8、DPAPAD45522|1-20+c|12d455练习3：如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x 8分别与x 轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作 P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断 P与直线l的位置关系,并说明理由；（2）当k为何值时，以 P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？yABP解： （1） A、B两点分别为直线方程l：y=2x 8分别与x轴，y轴的交点， A（-4,0）、B（0，-8）。又 P（0，k）且PA=PB即 解得：k=-3，即动圆圆心为(0,-3)圆心到直线距离 r.所以 直线和圆相交。(2)

9、如右图所示， 为正三角形。所以 即点到直线的距离解得k= 或k=2248kk22| 2038 |521dyABPDEFPED333P F =P D =2222|k + 8 |33d =21 + 231 58231 582xo例5（2012年江苏高考）：在平面直角坐标系 中，圆C的方程为 ,若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为多少？228150 xyx2ykxxCOyBy=kx-2解：由圆的方程 可知其圆心坐标为C(4,0),半径为1.设C点到直线 的距离为d，则 因为以直线上的点为圆心，1为半径的圆和圆C有公共点，所以 即有解得所以 22815

10、0 xyx2ykx2| 43 |1kdk1 11 1d 2| 43 |021kk403km ax43k练习4：一个圆和已知圆 外切,并与直线L : 相切于点M（ ）,求该圆的方程。解: 由圆方程可知其圆心P（1,0）,半径为1。设所求圆的圆心为C（a,b）,则半径为 , 因为两圆外切, ,从而 1+ (1)又所求圆与直线： 相切于M( ) ,直线 ,于是 ,即 （2）将（2）代入（1）化简,得 , a=0或a=4当a=0时, ,所求圆方程为当a=4时,b=0,所求圆方程为2220 xyx30 xy3,3 2233ab1PC 2233ab221ab2233ab30 xy3,3,1CMlCMl k

11、k 13133ba 34 3ba240aa224 336xy4 3b 22(4)4xy 例6：已知两个圆C1：x2y24，C2：x2y22x4y40，直线l：x2y0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程 解：所求的圆经过C1，C2的交点，故可用圆系方程求解 设所求圆的方程为 x2y22x4y4(x2y24)0(1) 即(1)x2(1)y22x4y4(1)0 例7：一座城门下半部分是正方形，上半部分是一段圆弧，城门宽为8米，最高点离地面10米，云梯高为9.1米，宽为1米，六架云梯并排一起进城，如果不放倒也不倾斜的话，可以通过吗？ 解析：建立坐标系，得城门上半部分所在圆的方程为 ，当x=3

12、时，y=1，故高为9，所以不能通过。22(3)25xy、建立恰当的坐标系、建立恰当的坐标系、寻找等量关系，几何条件、寻找等量关系，几何条件、将找到的等价关系转变为代数表达式、将找到的等价关系转变为代数表达式、化简得到轨迹方程、化简得到轨迹方程、检查是否有空缺的不满足条件的点，若、检查是否有空缺的不满足条件的点，若有则需挖去有则需挖去例8已知点P(0,2)及圆C ，过P点的直线与圆C交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程由圆的方程知道圆心为C（-2,6），半径为4.设AB中点为M（x，y），则PM所在直线的斜率而CM所在直线的斜率又因为 ，故即 ， 整理得：故AB中点的轨迹方程为22412240 xyxyAPBOyx220PMyykxx6622CMyyk