人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷

1、-X八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1 .已知0P平分ZAOB, ZDCE的顶点C在射线0P上，射线CD交射线0A于点F,射线CE交射线0B于点G.(1) 如图1,若CD_LOA, CE_LOB,请直接写出线段CF与CG的数呈：关系；(2) 如图2,若ZAOB=120e, ZDCE二ZAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理 由【答案】(1) CF二CG； (2) CF二CG,见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.结论：CF二CG,作CM1.0A于CN_LOB于N,证明 CMF'CNG,利用全等三角形 的性质即可解 决问题.【详解】解：(

2、1)结论：CF=CG；证明：VOP 平分 ZAOB, CF ± OA, CG J_ 0B,CF二CG (角平分线上的点到角两边的距离相等)；过点 C 作 CM_LOA, CNXOB,TOP平分ZAOB, CM ± OA, CN _L OB, ZAOB二220叫 . CM=CN （角平分线上的点到角两边的 距离相等），A ZAOC二ZBOC二60八（角平分线的性质），VZDCE=ZAOC, Z AOC= Z BOC= Z DCE=605, ZMCO=905-605 二 30 签 ZNC0=905-605 =30. . ZMCN=305+30-二605,AZMCN二ZDCE,I

3、 ZMCF=ZMCN-ZDCN, ZNCG 二 ZDCE-ZDCN,AZMCF二ZNCG,在 AMCF 和 ZkNCG 中,ZCMF 二乙 CNGCM = CN乙 MCF 二乙 NCGAAMCFlNCG (ASA), CF=CG (全等三角形对应边相等)：【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平 分线的性质的应用，熟练证明三角形全等.2.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA 二 PE, PE 交 CD 于 F(1)证明：POPE；(2)求z CPE的度数：(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD

4、,苴他条件不变，当Z ABC二120。时，连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.图1【答案】(1)证明见解析(2) 90°图2 AP二CE【解析】【分析】、根据正方形得出AB=BC, ZABP二ZCBP=45° ,结合PB二PB得出 ABP "CBP,从而得 出结论； (2)、根拯全等得出 ZBAP=ZBCP, ZDAP二ZDCP,根据 PA二PE 得出 ZDAP二ZE,即 ZDCP二ZE,易得答案； 、首先证明AABP和ACBP全等,然后得出PA二PC,ZBAP二ZBCP,然后得出ZDCP二ZE,从而得出ZCPF二ZEDF=60°

5、,然后得出AEPC是等边三角形，从而 得出AP二CE.【详解】、在正方形 ABCD 中，AB=BC, ZABP二ZCBP二45° ,在 AABP 和 ACBP 中，又 V PB=PB AAABP"ACBP (SAS) , /. PA=PC, VPA=PE, PC=PE；(2)、由(1知.AABP'CBP, . ZBAP二ZBCP, AZDAP=ZDCP, PA 二 PE, ZDAP 二 ZE, ZDCP 二 ZE, VZCFP=ZEFD (对顶角相等)，A180° - ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - ZE, 即ZCPF二ZED

6、F二90° ： (3)、AP = CE理由是：在菱形 ABCD 中，AB 二 BC, ZABP=ZCBP,在 ZkABP 和 ACBP 中，又 T PB=PB ZkABP 仝 ZCBP (SAS), ' PA 二 PC, ZBAP 二 ZDCP,VPA=PE, ' POPE. ZDAP 二 ZDCP, V PA=PC AZDAP=ZE, . ZDCP=ZE VZCFP=ZEFD (对顶 角相等)，A1800 - ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - ZE, 即ZCPF二ZEDF=180° - ZADC=180° - 120&

7、#176; =60° , AAEPC 是等边三角形，/. PC=CE, AAP二CE 考点：三角形全等的证明3.如图，在AABC中，ZC=90% AC=BC=4cm,点£ )是斜边A3的中点点E从点3出发以 lcm/s的速度向点C运动，点F同时从点C出发以一圮的速度沿射线CA方向运动，规左当点E 到终点C时停止运动设运动的时间为x秒，连接DE、DF (2) 当x=I且点F运动的速度也是lcm/s时，求证：DE二DF；(3) 若动点F以3cm/s的速度沿射线C4方向运动，在点E、点F运动过程中，如果存 在 某个时间”，使得AADF的而积是A5DEW积的两倍，请你求出时间的值.

8、4【答案】(1) 8; (2)见解析： m或4【解析】【分析】(!)直接可求AABC的面积；(2) 连接CD,根据等腰直角三角形的性质可求：ZA二ZB二ZACD二ZDCB=45即BD 二 CD,且 BE=CF,即可证CDLZkBDE,可得 DE 二 DF；(3) 分AADF的面积是ABDE的而积的两倍和ABDE与AADF的而积的2倍两种情况讨论，根 据题意列出方程可求X的值.【详解】 解：VSaabc=- xACxBC2/ SAABC二一x4x4=8 (cm2)故答案为：8如图：连接CDVAC=BC, D 是 AB 中点/. CD 平分 ZACB又 VZACB=90° Z A二 Z

9、B= Z ACD= Z DCB=45° ' CD - BD依题意得：BE=CFAlt A CDF 与 ABDE 中BE = CF< ZB = ZDCABD = CDAACD厂ABDE (SAS) ' DE 二 DF (3)如图：过点 D 作 DM J_ BC 于点 M,DN ± AC 于点 N,VAD=BD, ZA=ZB=45°. ZAND=ZDMB=90° AAADMABDM (AAS)ADN=DMP| Saadf=2Sabde 1 1一xAFxDN=2x xBExDM2 2A |4-3x|=2x.4/. Xl=4t X2二一4综

10、上所述：x二一或4【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判左，利用分类思想解决问题是本题的 关键.4.如图，在“IBC中，ZBAC=90° , AB = AC, AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，3D_L4E于D, CEJ_4E于E(1)求证：BD = DE + CE.(2)若将直线AE绕点A旋转到图的位置时(BD<CE),其余条件不变，问3D与DE、CE的关系如何？请予以证明.【答案】(1)见解析：(2) BD=DE-CE,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据已知利用AAS判泄ABD9/CAE从而得到BD=AE, AD=CE,因为AE二AD+

11、DE,所 以BD- DE+CE：(2)根据已知利用AAS判上ABD9/kCAE从而得到BD=AE, AD=CE,因为AD+AE 二 BD+CE,所以 BD=DE-CE.【详解】解：(1) V ZBAC=90° , BD ± AE, CE ± AE,AZBDA二ZAEC=90%V ZABD+ZBAE=90 ZCAE+ZBAE=90°AZABD=ZCAEtTAB 二 AC,在 ZkABD 和 ACAE 中,ZBDA = ZAEC< ZABD = ZCAEAB = ACAAABDACAE (AAS),ABD二AE, AD 二 CE,TAE 二 AD+DE

12、,由可知点E在ZACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1 (AC + CD),根据CD的长度计算出CE的长度即 2可.【详解】解：(1) ZC = 90° , AC = 3, BC = 7=1aCxBC = 1x3x7 =八，故答案为：一2(2)连接CE,过点E作EM _L AC于点M,作EN ± BC于点N.A ZEMA二Z END 二 90° ,又 V ZACB=90%AZMEN=90AZMED+Z DEN 二 90° , ZADE是等腰宜角三角形AZAED=90° t AE=DEA Z

13、AEM+Z MED 二 90° , ZAEM=Z DEN 在 ZkAEM 与 ADEN 中，ZEMA二Z END 二 90° , ZAEM二Z DEN, AE=DEAAAEMADEN (AAS) ME=NE 点E在ZACB的平分线上，即CE是ZACB的平分线£(3)由可知，点E在ZACB的平分线上, 直线，VAAEM"ADEN AM 二 DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZkCME 与 RtZkCNE 中，CE=CE, ME二NE, ARtACME"RtACNE (HL)当点D向点B运动时，点E的路径为一条 CM 二 CN. . CN=g

14、 (AC + C£ »,又 VZMCE二ZNCE=45% ZCME=90° , CE= y/2CN 二迟(AC + CD), 2当 AC=3, CD=CO二 1 时，/TCE 二丰(3 + I)= 2 返当 AC=3, CD=CB=7 时，CE=f (3 + 7) = 5jJ 点E的运动路程为：5忑-2忑=3忑、【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判龙，几何中动点问题，全等三角形的 性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P从点B出发，以2cm/s的 速度沿BC 向

15、点C运动，设点P的运动时间为ts.(1) PC=_cm：(用含t的式子表示)(2)当 t 为何值时，ABP9ADCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运 动，是否存在这样的v值，使得某时刻AABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等？若存 在，请求出v的值；若不存在，请说明理由.【答案】(2)(12 2/)；(2) / = 3；(3)存在，“二2 或【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长:(2) 先根据三角形全等的条件得出当BP二CP,列方程求解即得；(3) 先分两种情况：当

16、BP=CQ, AB=PC 时，AABPAPCQ：或当 BA=CQ, PB=PC 时，AABPNQCP,然后分别列方程计算出t的值，进而计算出v的值.【详解】解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时BP = 2tCHI , BC - ncmPC = BC-BP = （2-2t） cm故答案为：（12-力）（2） : ZBP 三 DCP . BP = CP - 2z=12-2r解得f=3.（3） 存在，理由如下： 当 BP=CQ, AB=PC 时，ZABP 竺 ZkPCQ,PC二AB二5.BP=BC-PC=12-5=7 . * BP = Item2t=7解得t=3. 5.CQ

17、=BP=7,则 3. 5v=7解得V=2.当 B4 二 CQ, PB = PC 时，AABP = OCP , BC - 2cmBP = CP = -BC = 6cm 2J BP 二 Item2/ = 6解得f=3CO - 3vcm / AB = CO = 5cm3V 二 5（TV 3综上所述，当v=2nJcv=一时，”BP与以p, Q, C为顶点的直角三角形全等.3【点睛】本题考查全等三角形的判左及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.(1)问题发现：如图(1),已知：在三角形AABC中，加IC二夕0X8= 47直线/经过点A, BD_

18、L直线/, CE_L直线/,垂足分别为点以 £ ,试写出线段BZXDE和CE之间的数 量关系为.(2) 思考探究：如图(2),将图(1)中的条件改为：在AABC中，二三点都在直线/上，并且ZBD4=ZAEC = ZBAC=a,英中a为任意锐角或钝角.请 问(i)中结 论还是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由.(3) 拓展应用：如图(3) , D、£是。.4 £三点所在直线川上的两动点，(DAE三 点互不重合)，点尸为血IC平分线上的一点，且AABF与AACF均为等边三角形，连 接BD. CE,若ZBDA = ZAEC = ZBAC,试判断AD

19、3; F的形状并说明理由.图(2) 图(3)【答案】3)DE=CE+BD；(2)成立，理由见解析；(3) ADEF为等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】(1) 利用已知得出ZCAE二ZABD,进而根据AAS证明AABD与ACAE全等，然后进一步求 解即可；(2) 根据 ZBD4 = ZAEC = ZBAC = a 得出 ZCAE=ZABD,在 AADB 与 ACEA 中，根拯 AAS 证明二 者全等从而得出AE二BD, AD=CE,然后进一步证明即可；(3) 结合之前的结论可得AADB与ACEA全等，从而得出BD二AE, ZDBA=ZCAE,再根据等边三 角形性质得出ZABF二ZCAF=6

20、0然后进一步证明ADBF与AEAF全等，在此基础上 进一步证明求解 即可.【详解】(1) :做_直线/, CE_L直线AZBDA=ZAEC=90AZBAD+ZABD=90° ,V ZBAC=90° ,AZBAD+ZCAE=90° ZCAE 二 ZABD,氐否BD与ACAE中,TZABD ZZ ZCAE, ZBDA二ZAEC, AB 二 AC,AAABD"ACAE(AAS), BD 二 AE, AD 二 CE,VDE=AD+AE, DE - CE+BD, 故答案为：DE - CE+BD：(2) (1)中结论还仍然成立，理由如下： ZSDA = ZAEC =

21、 ABAC = a,ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=1800 -a, ZCAE二ZABD,在Aadb与Acea中,V ZABD二ZCAE, ZADB二ZCEA, AB=AC, AADBACEA (AAS), AE=BD, AD=CE, BD+CE=AE+AD=DE,即：DE 二 CE+BD,(3) ADEF为等边三角形,理由如下：由可知:AADB"ACEA, BD=EA, ZDBA二ZCAE, 4ABF与AACF均为等边三角形，A ZABF=ZCAF=60° , BF=AF, ZDBA+ ZABF= ZCAE+CAF,AZDBF二ZFAE.在ZkDBF 与 ZkEA

22、F 中，VFB二FA, ZFDB=ZFAE, BD=AE,AADBF"AEAF(SAS), DF=EF, ZBFD二ZAFE,A ZDFE= ZDFA+ ZAFE= ZDFA+ ZBFD=60° , .ZDEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判左的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.8.如图，在边长为4的等边AABC中，点D从点A开始在射线AB上运动，速度为1个单位/ 秒，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE _L AC,连结DF交射线 AC于点G(2)当点D在线段AB上运动时，是否始终有DG二GF?若成立，请说明理由。聪明的

23、斯扬同学通过测量发现.当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当 点D运动到图2的情况时，EG的长是否发生变化?若改变，说明理由：若不变，求出EG的长。【答案】(1)(2)见详解：(3)不变.3解析】【分析】(1)设AD二x,则BD二4-x, BF二4+x 当DF_LAB时，通过解直角ZXBDF求得x的值，易 得t的值：(2)如图1,过点D作DH BC交AC于点H,构建全等三角形：DHG9AFCG,结合全等 三角形的 对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG二GF；(3过 F 作 FH-LAC,可证 ADENCFH,得 DE 二 FH, AC 二 EH,再证 GDE“G

24、FH> 可得 EG 二GH,即可解题.【详解】解：设 AD=x,则 BD=4-x, BF=4+x.当 DF1AB 时，V ZB二60.ZDFB=30%ABF=2BD,即 4+x=2 (4-x ),4解得X二y,/4故 t=:3(2)如图1,过点D作DH BC交AC于点H,则ZDHG=ZFCG图i ZABC是等边三角形，AAADH是等边三角形，AAD=D H.又 AD=CF,ADH 二 FC. 在 ADHG 与 AFCG 中，ZDGH=ZFGC< ZDHG=ZFCG ,DH=FCAADHG"AFCG (AAS), DG=GF；A(3)如图 2,过 F 作 FH_LAC, 在

25、AADE和山阳中，'ZAED= ZFHC=90o< ZA= ZFCH ,AD=CFAAADE"ACFH (AAS), DE二FH, AE=CHt AC 二 EH,在AGDE和GFH中.ZDEG=ZFHG<ZDGE=ZFGH AAGDEAGFH (AAS),DE=FH EG 二 GH,1 1AEG二-EH二-AC 2 2【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判左，考查了全等三角形对应边相等的性 质，本题中求证 GDENGFH是解题的关键.9.如图，及8c是等边三角形，点D在边AC上(点D不与A,C重合)，点E是射线BC上的一个动点(点E不与点8. C重

26、合),连接QE,以DE为边作作等边三角形ADEF,连接CF.(1)如图当DE的延长线与43的延长线相交，且C,F在直线QE的同侧时，过点D 作 DGHAB, DG 交 BC 于点、G,求证：CF = EG；(2)如图2,当£ >E反向延长线与A3的反向延长线相交，且C,F在直线DE的同侧 时，求证：CD = CE+CF；(3)如图3,当DE反向延长线与线段A3相交，且C,F在直线£ )£的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.【答案】证明见详解；证明见详解：=3-CE理由见详解.【解析】【分析】由AABC是等边三角形，Q%48/ZCDG=Z

27、A=60° , ZACB=60° , |CG是 等边三角形，易 证AGDE竺ACDF (SAS),即可得到结论：(2)过点D作DG AB交BC于点G,易证A GDE2 CDF (SAS),即可得到结论：(3)过点D作DG/AB交BC于点G,易证A GDE2 CDF (SAS),即可得到结论.【详解】(1) VAABC是等边三角形，DGHAB,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ACDG是等边三角形， .DG=DC.V ADEF是等边三角形， DE二DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE二ZCD

28、F,右 SA GDE 和a CDF 中 >DE = DF ZGDE = ZCDF ,DG = DCAGDE八aCDF(SAS),：,CF = EG；(2)过点D作DGAAB交BC于点G,如图2,V加纪是等边三角形，DGAB.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° ,ACDG是等边三角形，:.DG=DC ZDEF是等边三角形， DE二DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE,即：ZGDE=ZCDF,右GDE 和 4 CDF 中DE = DF ZGDE = ZCDF ,DG = DC AGDE2ACDF (SAS) CD = CG =

29、CE+GE = CE+CF(3) CF = CD + CE,理由如下： 过点D作DG/7AB交BC于点G,如图3, VAABC是等边三角形，DGHAB, :,ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° ,ACDG是等边三角形， .DG=DC=GC. / 4?牛是等边三角形，.DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：ZGDE=ZCDF,在 A GDE 和Zx CDF 中,DE = DF. ZGDE = ZCDF ,DG = DC AGDE2ACDF (SAS)CF : GE=GC+CE=CD+CE.图3【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质泄理，添加辅助线，构造全等三角 形，是解题的关键.10. 综合与实践：我们