矩阵特征值计算

1、1 1 引引 言言第第8 8章章 矩阵特征值问题计算矩阵特征值问题计算物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。nnnnnnnnijaaaaaaaaaa212222111211)det()( ,)( AIA则称已知定义1定义1.|) 1()( 12211特征多项式特征多项式的为AAaaannnnn.)( .(1.1) 0)det()( 的所有特征值的集合表示的的根称为的特征方程AAAAIA特征值特征值.(1.2) 0)( ,特征值特征向量特征向量的的对

2、应于称为的非零解相应的齐次方程组的为设AxxAIA.210131012 的特征值及其特征向量求A例1例1.1 ,10 )4( , )3()( )( , )2()0( (1) , 11xxAAAxxAAxxIAIAAxA即的特征值为且非奇异，则设；即的特征值是；即的特征值为；常数的特征值是向量，则是对应的非零特征的特征值是矩阵设kkkknnppppcccR定理1定理1.)det( )2(,1)(tr1 (1) ,), 1( 1niiiinianiniAAA则的特征值是矩阵若定理2定理2).()( , 3AAATnnR则设定理定理. )()( , , 122211211miiiiimmmmAAAA

3、AAAAAAA则均为方阵其中每个对角块为分块上三角阵设定理4定理4. , )2(; ) 1 (, , 1的特征向量是则的特征向量是若有相同的特征值与则使非奇异即为相似矩阵与若APyByBAPPPBABA定理5定理5. , 亏损矩阵亏损矩阵定义2定义2为，则称个数少于线性无关的特征向量的且其对应的重特征值有一个如果设AAAkkRnn., ,)( )2(. 1 2121211线性无关对应的特征向量则个不同的特征值有若个线性无关的特征向量具有的充要条件是使非奇异矩阵即可对角化，）（mmnnnnnxxxnmmRnRAAAPPPA定理6定理6则为对称矩阵设对称矩阵的正交约化, )7(nnRA定理定理；个

4、线性无关的特征向量有的特征值均为实数；nAA )2( (1).)(,), 2 , 1( )3(21211的特征向量为对应于向量的列而的特征值为且，使得存在正交矩阵jjnin,niuuuuPAAPPP.), 1( ,| | )2( | 1,)( 圆盘为半径的为圆心以为复平面上以称，）（令设nGerschgoriraDnizrazzDnijaraiiiiiiiiijinnijCA定义3定义3. ), 1( |,| ,)( (1) )( nijniaaanGerschgoriijiinnij某个圆盘之中一个特征值必属于下列的每则设圆盘定理AA定理8定理8.S ,S, 个特征值的中恰有则个圆盘分离与其

5、余且个圆盘构成一个连通域个圆盘中有如果上述的mmnSmnA(2)(2).), 2 , 1(. ),(diag11结果质获得特征值的进一步改变，根据相似矩阵性和连通性有时可使某些圆盘半径适当选取，得到选取非奇异对角矩阵niainnijijnADDD.411101014 的特征值的范围估计A例2例2.49 . 09 . 001014,119101910ADDD2|4| 2|1|4|2 . 28 . 553391929191.), 2 , 1(, )(922211211的特征值为其中使则存在酉矩阵，设定理AnirrrrrrrRSchuriinnnnTnnRAUUUA定理定理.), 2 , 1(, )

6、(1022211211的两个共轭复特征值的两个特征值是二阶时为的实特征值，当是为一阶时其中当使则存在正交矩阵，设分解实ARRARRRRRRRRAQQQAiiiiiiiimmmmTnnmiRSchur定理定理.)()(),()( , , 商商瑞雷瑞雷定义4定义4RayleighRRnn的为关于向量称对于任一非零向量阶实对称阵是设xxx,xAxxxA.)(),(min 3,)(),(max 2 ,)(),( 1 . , 11111xx,xAxxx,xAxxxx,xAxAAxxxx00nnRnRnnnRn）（）（对于任何非零向量）（则的特征值为阶实对称阵为设定理定理2 2 幂法及幂法及反幂反幂法法一

7、、一、幂法幂法幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值1及其对应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。 ., , ,)(2121nnnnnnijRaxxxA对应的特征向量为为其特征值有一个完全特征向量组设(2.1) , 21n满足的主特征值是实根，且并设A.11的基本方法及现在讨论求x)0( ,122110aaaann设xxxv,22211101nnnaaaxxxAvv.121221111nknnkkkkaaaxxxAvv.lim , , 111111111xvvAvvvxvaakkkkkkkkkk，很大时，当.1的近似的特征向量是即kv .1)()(1 ,)()( 1111njnjkj

8、kjkjkvvvv或而主特征值，则对任何非零初始向量其特征值个线性无关的特征向量有设)0( , , 121021anRnnnvA定理定理.)()(lim lim 11111jkjkkkkkavvxv，上述结果仍成立线性无关的特征向量时个有且，当nRnnnrrrA ,121.)()(lim ,lim 1111jkjkkriiikkkavvxv就有得值最大的分量，规范化的绝对为向量记做改进为了避免“溢出”下面 ).()max( )max( .0 0vvvuvv(2.9) )1,2,( ./),max( , , )0( , , 131001021kanRkkkkkkknnnvuvAuvvuvA计算，

9、对任何非零初始向量其特征值个线性无关的特征向量有设定理定理.lim ,)max(lim 111kkkkxxu则 ,)max()max( , 对于任0011100100AvAvvvuAvAuvvu，给非零向量事实上，,)max()max( ,)max( 020222200212vAvAvvuAvvAAuv.)max()max( ,)max( , 00010vAvAvvuvAvAvkkkkkkkk,121221110nknnkkkaaaxxxvA)( )max( max)max(111212211121221100kaaaaaanknnknknnkkkkxxxxxxxxvAvAu)( maxmax

10、 )max(max)max(111211221112122111010kaaaaaanknnknknnkkkkxxxxxxvAvAv.12确定收敛速度由比值r.225. 05 . 025. 0115 . 011 特征向量的按模最大特征值及其用幂法求A例3例3A=1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2u=1,1,1v=A*u,v1=max(v),u=v/v1二、二、加速方法加速方法 原点位移法原点位移法1.1. IABp.5,3,1A)( 量的收敛速度最大特征值及其特征向的按模法求，考察带原点平移的幂设A例4例4，若n21 .2*2np则.225. 05 . 025. 0115 . 0

11、11 特征向量的按模最大特征值及其用带原点平移的幂法求A例5例5.75. 0p取 瑞雷商加速法瑞雷商加速法2.2.),(),( )9 . 2( , , 142121121kkkkkknnnORuuuAuuA的较好近似的瑞利商给出，则应用幂法其特征值满足为对称矩阵设定理定理).( 1 ,333aP：作作业业三、反幂三、反幂法法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。 .)max( ),max( , 2 , 1 ,)max(, ,11100kkknknkkkkknkRvvuxvvvuuAvuv计算任取非零向量. , , 11kkkkkkkyUvuLyLUuAvv求解即分解求得利用经常来求

12、得求解可通过主元高斯消去法 ).1,2,( ,)max( , )0( , 0 , 151100121kanRkkkkknnnnnvvuuAvvuA计算，对任何非零初始向量其特征值满足向量个线性无关的特征为非奇异矩阵且有设定理定理.1)max(lim ,)max(lim nkknnkkvxxu则特征值.移来加速迭代或求其他在反幂法中可用原点位.,1 ,1 ,1 )(21211nnppppxxxIA对应的特征向量仍然为存在，则特征值为若(2.12) ).1,2,( ,)max( ,)( 1100kpkkkkkvvuuIAvvu，计算对任何非零初始向量)( , 0 ijpppijj的近似，并且满足的

13、特征值是如果A.)()()(111及其对应的特征向量特征值法可求的主特征值，用上述算是则pppjjIA).( , 0 , ), 2 , 1( , 16ijpppninRijjiinn且的近似是而和值和特征向量记为的特征个线性无关的特征向量有设xAA定定理理(2.12) ).1,2,( ,)max( ,)( ),0(110kpakkkkkjvvuuIAvu计算对任何非零初始向量.)max(1,1)max( ,)max( jkjkjjkppvvxxu则 .min确定收敛速度由比值pprijij.算迭代一两次就可完成计很小，离较好，一般的较好近似且特征值分是只要rpj. ) 1 , 1 , 1 (:

14、10110vPuLUvu，即得使得实际选取T. )( :.)( 11kkkkkkppyUvPuLyLUIAPLUuvIA，组：，需解两个三角形方程分解借助反幂法需要解方程组：反幂法计算公式反幂法计算公式: .)max( )( 1kkkkkpvvuuvIA., 3 , 2 ,/ ),max( , (2) ;/),max( , ) 1 , 1 , 1 (1 . 2.,)( : . 111111111kpkkkkkkkkkTvuvyUvPuLyvuvvUvULPLUIAPLU得）解（反幂法迭代，保存分解.2679. 133410131012 3的特征向量的特征值求A例例6 6format long;

15、A=2 1 0;1 3 1;0 1 4,p=1.2679,B=A-p*eye(3);L U P=lu(B);L,U,P,v=U1 1 1, mu=max(v);u=v/mu,v=U(L(P*u), mu=max(v);u=v/mu,lamda=p+1/mu3 Householder3 Householder方法方法一、引言一、引言本节讨论两个问题:. ) 1 ( 伯格矩阵海森似变换约化实矩阵为上用初等反射阵作正交相. )2( 对角矩阵的问题对称似变换约化对称矩阵为用初等反射阵作正交相. 值问题或对称对角矩阵的特征格矩阵题就转化为求上海森伯于是，原矩阵特征值问已经学过的知识：阶矩阵则且设nRTn

16、 , 1 , www定义定义TwwIH2 .rHouseholde,)(矩阵也称矩阵或镜面反射称为初等反射都有初等反射阵对于因此 , 0u , ,.2)( 22uuuIuHT , ,)0 , 0 , 1 (0),( 11121，使得则总存在初等反射阵，设约化定理eHxuuIHexTTTnxxx) )定定理理( (其中 . )(,),( ,)sgn(1222121121xxxxxTnuexux 般矩阵为上海森伯格阵用正交相似变换约化一二二、 .),(,1131211) 1 (221) 1 (12112122221112111TnnnnnnnaaaaaaaaaaaaacAcAAA其中步约化：设第

17、),1否则这步不需做不妨0(c ,111111111，使得取初等反射阵ecRuuIRT其中 . )(,),( ,)sgn(2111221211131121111121211aaaaaTnuecuc,00 )2(222)2(12)2(11)2()2(3)2(2)2(3)2(33)2(32)2(2)2(23)2(221)2(1)2(13)2(12111) 1 (221111) 1 (12111112AcAARARcRRAUAUA 0nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa，则令111RU.),()2(2)2(322Tnaac其中)()(1,)(,)(, 1)(1, 1)(, 1)(,1) 1(1

18、, 12)(2)(1, 2)(2) 1(1, 2)2(221)(1)(1, 1)(1) 1(1, 1)2(12) 1 (1111111111121 ,1, 1knnkknkknknkkkkkkkkkkkkkkknkkkkkkknkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaakkUUAUUUAUAUUU使得步，即有步约化：假定已完成第第, )(22)(12)(11knkkkkkAcAA 0.)(11阶上海森伯格矩阵是其中kkA ,11，使取初等反射阵不妨ecRuuIRckkkTkkkkk0其中 . )(,),( ,)sgn()(, 12221)(,)(, 2)(, 112)(,

19、 1kkkkkkkTkknkkkkkkkkkkkkkkkaaaaauecuc. ) 1(221) 1(12) 1(11)(22)(12)(111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkAcAARARcRRAAUAUARIU0000，则令.1) 1(11阶上海森伯格矩阵是其中kkA. )(22)(22)(12）为对称阵时只需计算（当及步约化只需计算第RARARARRAkkkkkkk.* 2) 1(1)2(1, 1)3(332)2(221) 1 (1121121nnnnnnnnnnaaaaanUAUUUA步约化：第).( , 002112221上海森伯格矩阵使得，则存在初等反射阵设HAUUUAUUU

20、UUUATnnnnnR定定理理1 17 7.32 12,1, . 2; . 10010kkkkkkkkkknkIUUURIUAUUAecRRU）（；，其中）约化计算（；，使）计算初等反射阵（对：00算法1.724232734 1约化为上海森伯格矩阵用豪斯霍尔德方法将 AA例例7 7 ,)4 , 2(111111，使得，求初等反射阵解：ecRRcT.0.4472 0.8944- 0.8944- 0.4472- 16)522(4)522(4)522()522(52111 )522(52)( ,)4 , 522( , 5220)sgn(21111121111111121211TTaauuIRecuc

21、，.2.2000 0.4000- 0.0000 0.4000- 7.8000 4.4721-0.4472- 7.6026 4.0000-1112HUAUA，111RU 称阵为对称三对角阵用正交相似变换约化对三、. , 81112221112112221CUAUUUUUUAnnnnnnnnncbbcbbcbbcR使得反射阵为对称阵，则存在初等设定定理理1 1.17知：由定理证明, .11) 1(221) 1(12) 1(11)(22)(12)(111knkkkkkknkkkkkkkkkkkkkkAcAARARcRRAAUAUA00步约化中，在第下面考虑实现过程).()(22即可实际上对角线以下元

22、素和对称，故只需计算因kkkkRARRA,)(21,1)(221knkkTkkkkknkkkkRRururtuAr记)( )(221)(221)(22TkkkkkTkkkkkkuuAAuuIRAR则TkkTkkkTkkkTkkkTkkTkkkkkTkkTkkkTkkTkkkTkkTkkkkTkkkTkkkuttuAuururururuAuruuruurAuruuAuuurA)(2211)(221)(221)(221)(22 )(2)(2 )( )算法2(略. 9 , 4 ,334P：作作业业4 QR4 QR方法方法Rutishauser(1958)利用矩阵的三角分解提出计算矩阵特征值的LR算法

23、，Francis(1961,1962)利用矩阵的QR分解建立计算矩阵特征值的QR方法.QR方法是一种变换方法，是计算一般(中小型)矩阵全部特征值问题的最有效方法之一.目前QR方法主要用来计算：（1）上海森伯格阵全部特征值问题；（2）对称三对角阵全部特征值问题.下面先介绍求非奇异矩阵的全部特征值的基本QR方法，再讨论上海森伯格阵和对称三对角阵的全部特征值问题.一、基本一、基本QR方法方法 , 30 ,111RQAAA知存在正交三角分解由第五章定理对非奇异矩阵).2(30,222. , , ,ThRQQRAApnRnn为上三角阵交阵阶正为其中交三角分解则存在正为非奇异矩阵设交换乘法次序得, 111112QQQRAAT, 2222RQAA作正交三角分解得再对, 222223QAQQRAT再交换乘法次序得, ,kkkkRQAA作正交三角分解得对一般地, 1kkTkkkkQAQQRA交换乘法次序得并且有如下结果：相似，有相同的特征值与可见 , ,1AAk. 111111kTkkTTkkkkTkTkkkTk