相似三角形的判定预备定理

1、1.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定试确定x , y , m , n 的值。的值。 x2033482230m55452ay45803an12课前检测：2、如图：已知、如图：已知ABC AEF，请分别写出对应，请分别写出对应 边的比例式。边的比例式。（1）ABCEFABCEF（2）自学检测：这两个风筝图形相似，观察并思考：这两个风筝图形相似，观察并思考：ABAA1B1C1大胆猜想，大胆猜想，那么，那么，若已知若已知ABA1B1，能否得出能否得出ABC1 A1B1C1ABA1B1 除了根据相似三角形的除了根据相似三角形的定义定义来判断是否来判断

2、是否相似，还有相似，还有其它的方法其它的方法吗？吗？ 已知：已知：DE/BC，且，且D是边是边AB的中点的中点，DE交交AC于于E . 猜想：猜想：ADE与与ABC有什么关系有什么关系?并证明。并证明。ABCDE相似。相似。1 2已知：已知：DE/BC，ADE与与ABC有什么关系有什么关系?猜想：猜想：ADE与与ABC有什么关系有什么关系?相似。相似。ABCDEF当点当点D在在AB上任意一点时，上上任意一点时，上面的结论还成立吗？面的结论还成立吗？12你能证明吗？你能证明吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。相交，所构成的三角

3、形与原三角形相似。知识要点知识要点平行于三角形一边的定理平行于三角形一边的定理ABCDE即：即：在在ABC中，中，如果如果DEBC，那么那么ADEABCA型型 你还能画出其你还能画出其他图形吗？他图形吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边（或两（或两边的延长线）边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相相交，所构成的三角形与三角形相似。似。DEACB延伸延伸即：即：如果如果DEBC，那么那么ADEABC你能证明吗？你能证明吗？X型型 ABCDE相似具有传递性相似具有传递性ADEABCMN 如果再作如果再作 MNDE ，共有多少对相似三角形？，共有多少对相似三角形

4、？AMNADEAMNABC共有三对相似三角形。共有三对相似三角形。举举例例如图，点如图，点D为为ABC的边的边AB的中点，过点的中点，过点D作作DEBC，交边，交边AC于点于点E. .延长延长DE至点至点F ，使使DE= EF. .求证：求证：CFEABC. .练习练习 如图，在如图，在RtABC中，中，C = 90正正方形方形EFCD的三个顶点的三个顶点E、F、D分别在分别在边边AB，BC，AC 上上. . 已知已知AC= 7.5，BC= 5，求正方形的边长，求正方形的边长定义定义判定方法判定方法全等全等三角三角形形相似相似三角三角形形回顾并思考回顾并思考三角、三边对三角、三边对应相等的两个

5、应相等的两个三角形全等三角形全等三角对应相等三角对应相等, 三三边对应成比例的两边对应成比例的两个三角形相似个三角形相似 角边角角边角ASA角角边角角边AAS边边边边边边SSS边角边边角边SAS斜边与直角边斜边与直角边HL 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？边边边边边边SSS已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC111111.ABBCACABBCAC求证：求证：有效利用判定定理一去求证。有效利用判定定理一去求证。探究探究1 证明：在线段证明：在线段 （或它的延长线）上截（或它的延长线）上截取取 ，过点，过点D作作 ，交，交 于点于点

6、E根据前面的定理可得根据前面的定理可得 .11AB1ADAB11DEBC11AC1111ADEABCA1B1C1ABCDE11111111ADAEDEABBCAC1111111,ABBCACADABABBCAC1AEAC,DEBC111ABCABC1ADEABC又又A1B1C1ABCDE111111111,AEDEBCACBCBCACAC（SSS）1111ADEABC 如果两个三角形的三组对应边的比如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。相等，那么这两个三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之一判定三角形相似的定理之一ABCA1B1C1.111111,ABBCACA

7、BBCAC即：即：如果如果那么那么A1B1C1ABC边边边边边边SSSABBCACADDEAE，求证：求证：BAD=CAE。ADCEBABCADEBAC=DAEBACDAC =DAEDAC即即BAD=CAE已知：已知：解：解：ABBCACADDEAE，边角边边角边SAS探究探究2已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC1111,ABBCkABBC求证：求证：B =B1 .你能证明吗？你能证明吗？ 如果两个三角形的两组对应边的比相如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定

8、理之二判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。两三角形相似。边角边边角边SASA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果1111,ABBCkABBCB =B1 .那么那么 大家一起画一个三角形大家一起画一个三角形 ，三个角分别为，三个角分别为60、45、75，大家画出的三角形相似吗，大家画出的三角形相似吗?同桌的同桌的同学，通过测量对应边的长度进行比较。同学，通过测量对应边的长度进行比较。探究探究3即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形的三个角对

9、应相等，那么这两个三角形_。相似相似一定需要三一定需要三个角吗？个角吗？角边角角边角ASA角角边角角边AAS角角角角AAA1B1C1ABC已知：已知：ABCA1B1C1.求证：求证：A =A1，B =B1 .你能证明吗？你能证明吗？ 如果两个三角形的两个角与另一个如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之三判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。角角角角AAA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果那么那么A =A1，B =B

10、1 . 如果两个三角形有一个内角对应相等，如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。一角对应相等的两个三角形不一定相似。ACD CBD ABC找出图中所有的相似三角形。找出图中所有的相似三角形。“双垂直双垂直”三角形三角形BDAC有三对相似三角形：有三对相似三角形：ACD CBDCBD ABCACD ABC常用的成比例的线段：常用的成比例的线段：常用的相等的角：常用的相等的角：A =DCB ；B =ACD2ACAD AB2BCBD AB2CDAD DBAC BCAB CDBDAC例题已知：已知：DEBC，EFA

11、B.求证：求证：ADEEFC. AEFBCD解解: DEBC，EFAB（已知）（已知） ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）AEDC（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ADEEFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似）（两个角分别对应相等的两个三角形相似）相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1 又又ADB = A1D1B1 =900 ADB A1D1B1（角角）（角角）1111ADABkADABA1B1C1ABCDD1证明：证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分

12、线的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1，BAC = B1A1C1 AD，A1D1分别是分别是BAC和和B1A1C1的角平分线的角平分线 BAD = B1A1D1 ADB A1D1B1（角角）（角角）1111ADABkADABA1B1C1ABCDD1证明：证明：相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比A1B1C1ABCDD11111ADABkADAB探究探究4已知：已知：ABCA1B1C1.1111,ABBCkABBC求证：求证：你能证明吗？你能证明吗？HLABCA1B1C1RtABC 和和 RtA1B1C1. 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜

13、边和一条和一条直角直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。那么这两个直角三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之四判定三角形相似的定理之四HLABCABCA1B1C1.即：即：如果如果那么那么A1B1C11111,ABBCkABBCRtABC 和和 RtA1B1C1.1. 相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法： 通过定义通过定义 平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线 三边对应成比例三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等两角对应相等

14、两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL） 对应角相等。对应角相等。 对应边成比例。对应边成比例。 对应高的比等于相似比。对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：（1）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。

15、（4）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定大小不等。）相似的两个三角形一定大小不等。1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。判断下列说法是否正确？并说明理由。 2. ADBC于点于点D， CEAB于点于点 E ，且，且交交AD于于F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF5030

16、10030303. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ACBA1C1B1DEFABC60相似相似相似相似 4. 过过ABC(CB)的边的边AB上一点上一点D 作一条直线与另一边作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角相交，截得的小三角形与形与ABC相似，这样的直线有几条？相似，这样的直线有几条？CD BCADEEBCAD ADE ABC AED ABCA=AAED=CA=AAED=B作作DE，使，使AED=C作作DE，使，使AED=B这样的直线有两条：这样的直线有两条： 5. 已知：如图，已知：如图，ABEF CD，图中共有，图中共有_对对

17、相似三角形。相似三角形。CDABEFO3EOFCOD ABEFAOB FOE ABCDEFCDAOB DOC 6. 如果两个三角形的相似比为如果两个三角形的相似比为1，那么这两个，那么这两个三角形三角形_。 7. 若若ABC与与ABC相似，一组对应边的长相似，一组对应边的长为为AB=3 cm，AB=4 cm，那么，那么ABC与与ABC的相似比是的相似比是_。 8. 若若ABC的三条边长的比为的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个与其相似的另一个ABC的最小边长为的最小边长为12 cm，那么，那么ABC的最大边长是的最大边长是_。全等全等4324cm 9. 如图，在如图，在ABC中，中，DGEHFIBC， （1）请找出图中所有的相似三角形；）请找出图中所有的相似三角形； （