第四章第七课时正余弦定理.

1、第7课时 正、余弦定理基础知识梳理基础知识梳理(2)变形式：变形式：a ，b ，c .2RsinA2RsinB2RsinC基础知识梳理基础知识梳理1.正弦定理的适用条件是什么？正弦定理的适用条件是什么？【思考思考提示提示】(1)(1)已知一边和已知一边和两角解三角形；两角解三角形；(2)(2)已知两边和一边的对角解三已知两边和一边的对角解三角形；角形；(3)(3)已知两边与夹角求面积已知两边与夹角求面积基础知识梳理基础知识梳理2余弦定理余弦定理(1)基本形式：基本形式：a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC.(2)变形式：变形式：2.余弦定理的适用条

2、件是什么？余弦定理的适用条件是什么？【思考思考提示提示】(1)(1)已知两边与已知两边与夹角求第三边；夹角求第三边；(2)(2)已知三边解三角形；已知三边解三角形；(3)(3)已知两边及一对角求第三边已知两边及一对角求第三边( (利用方程思想利用方程思想) )基础知识梳理基础知识梳理A60B120C135 D150答案：答案：B三基能力强化三基能力强化三基能力强化三基能力强化A45或或135 B135C45 D75答案：答案：C三基能力强化三基能力强化3在在ABC中，若中，若A120，AB5，BC7，则，则ABC的面积是的面积是()答案：答案：C三基能力强化三基能力强化三基能力强化三基能力强化

3、答案：直角三角形答案：直角三角形课堂互动讲练课堂互动讲练已知两角和一边，该三角形是确已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据正弦定理和大边对大角定理通常根据正弦定理和大边对大角定理进行判断进行判断考点一考点一正弦定理的应用正弦定理的应用课堂互动讲练课堂互动讲练已知下列各三角形中的两已知下列各三角形中的两边及其一边的对角解三角形，边及其一边的对角解三角形，先判断三角形是否有解？有解先判断三角形是否有解？有解的作出解答的作出解答【思路点拨思路点拨】已知三角形的两已知三角形的两

4、边及其中一边的对角，可利用正弦定边及其中一边的对角，可利用正弦定理解三角形，但要注意解的判断理解三角形，但要注意解的判断课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【易误点评易误点评】在在(2)中容易漏掉中容易漏掉B120的情形，对于已知两边和其的情形，对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意是一解、二解还是出错，一定要注意是一解、二解还是无解无解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练已知三边已知三边”解三角形主要运用余解三角形主要运用余弦定理的推论弦定理的推论“已知两边和它们

5、的已知两边和它们的夹角夹角”解三角形可使用余弦定理求第解三角形可使用余弦定理求第三边，然后利用推论求出另一个角，三边，然后利用推论求出另一个角，最后利用最后利用ABC求出第三个求出第三个角角课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二余弦定理的应用余弦定理的应用课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】本题本题(1)中法一是中法一是利用余弦定理把角转化为边，把边转利用余弦定理把角转化为边，把边转化为角法二是利用正弦定理化为角法二是利用正弦定理课堂互动讲练课堂互动讲练判断三角形的形状，应围绕三角判断三角形的

6、形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意特别注意“等腰直角三角形等腰直角三角形”与与“等腰等腰三角形或直角三角形三角形或直角三角形”的区别的区别课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三三角形形状的判定三角形形状的判定课堂互动讲练课堂互动讲练在在ABC中，中，a，b，c分别表分别表示三个内角示三个内角A、B、C的对边，如的对边，如果果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的，试判断该三角形的形状形

7、状【思路点拨思路点拨】利用正、余弦定利用正、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系角角关系【解解】法一：由已知法一：由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，得得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)2a2cosAsinB2b2cosBsinA.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】判断三角形形判断三角形形状，主要有如下两条途径：状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配转化为边边关系，

8、通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；角形的形状；课堂互动讲练课堂互动讲练(2)利用正、余弦定理把已知条件利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用要注意应用ABC这个结论，这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解式，以免漏解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动

9、讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四求三角形的面积求三角形的面积课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(1)若若ABC的面积等于，求的面积等于，求a，b；(2)若若sinCsin(BA)2sin2A，求求ABC的面积的面积【思路点拨思路点拨】利用余弦定理和三角形面积公式利用余弦定理和三角形面积公式列方程组解方程组得列方程组解方程组得a，b诱导公式、诱导公式、和差角的正弦公式、倍角公式用正弦和差角的正弦公式、倍角公式用正弦定理将角化边列方程组求定理将角化边列方程组求a，b，进而，进而求三角形面积求三角形面积课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂

10、互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【易误点评易误点评】在第在第(2)题中容易题中容易犯约分的错误而不分犯约分的错误而不分cosA0和和cosA0去讨论去讨论课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(2)已知两边已知两边b，c与其夹角与其夹角A，由，由a2b2c22bccosA, 求出求出a，再由正，再由正弦或余弦定理，求出角弦或余弦定理，求出角B，C.规律方法总结规律方法总结(3)已知三边已知三边a、b、c，由余弦定，由余弦定理可求出角理可求出角A、B、C.规律方法总结规律方法总结规律方法总结

11、规律方法总结A90 A90Ab一解一解一解一解一解一解ab无解无解无解无解一解一解absinA两解两解absinA一解一解absinA无解无解2.解决三角形中的计算与证明问解决三角形中的计算与证明问题，要注意以下几点题，要注意以下几点(1)用正弦定理解三角形时，要注用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解意解题的完整性，谨防丢解(2)要熟记一些常见结论，如三内要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为角成等差数列，则必有一角为60；若三内角的正弦值成等差数列，则三若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：公式结合产生的结论：规律方法总结规律方法总结(3)对轮