工程力学基础第7章概要

1、第7章 轴 向 拉 伸 和 压 缩7.1 7.1 拉伸和压缩拉伸和压缩7.27.2拉（压）杆横截面上的内力拉（压）杆横截面上的内力7.37.3轴力图轴力图7.4 7.4 轴向拉伸与压缩时的应力轴向拉伸与压缩时的应力7.5 7.5 拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力7.6 7.6 轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能7.7 7.7 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能7.8 7.8 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质7.9 7.9 拉伸（压缩）杆件的强度计算拉伸（压缩）杆件的强度计算 7.10 7.10 应力集中应力集中7.11 7.1

2、1 拉压超静定问题拉压超静定问题1 拉伸和压缩轴向拉伸，对应的外力称为拉力。PP轴向压缩，对应的外力称为压力。PP2 拉（压）杆横截面上的内力 以图示为例 ，用截面法确定杆件横截面 mm上的内力。用假想平面将杆件沿横截面 mm 截开根据平衡，如图 mmNmmNPP 杆件左右两段在横截面 mm 上相互作用的内力，是一个分布力系。 NmmPmmPN 设其合力为有平衡条件，可得 (2-1) N与轴线重合，称为轴力。0X NP一般规定：拉伸时的轴力为正，压一般规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。缩时的轴力为负。N3轴力图X坐标 表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。 N坐标 表示轴力的大小，垂直于杆

3、轴。NPx 按选定的比例绘出表示轴力与截面位置关系的图线 称为轴力图轴力图的意义：反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力的正号使微元区段有伸长趋势的轴力正。轴力的负号例：杆件受力如图（a）所示，试绘制轴力图。(b)解：（1）计算各段杆的轴力 AB段：轴力假设为拉力，用 表示ABN0ABPNABNP 得 (负号说明为压力)(a)P2PBCDABNPA0BCNPP22CDNPPPP 同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：PP2PABCDPPABPP2PABC(a)(d)(c)BCNCDN （2） 轴力图如图（e）所示。

4、NxP(e)2P在轴力图中，突变值=集中载荷PP2PABCD 例2-1 等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。3P1P2PABCD(a)1m2m1.5m3PR1P2PABCDIIIIIIIIIIII(b)解 （1）求支座反力 设支反力为R如b图 根据整个杆的平衡条件 求得1230RPPP123RPPP120906090kN 例2-1 等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。AIIR1N(c) （2）计算各段杆的轴力 AB段：用假想平面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象（图c），截

5、面上的轴力假设为拉力，用N1表示。由平衡条件IIIIIIIIII3P1P2P10NR190NRkN 例2-1 等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。AII(c)IIIIIIIIII3P1P2P 同理求得 :BC段（图d）、 CD段（图e）的轴力：2190 12030NRPkN1PABIIIIR2NN3P3IIIIII3360NP(e)(d)（3）绘制轴力图轴力图如图f所示。从轴力图可见，AB段内的轴力值最大，Nmax=N1=120kN。轴力是内力，它与外力有关，但又不同于外力。3P1P2PABCD(a)N/kNx(f)6090304 轴

6、向拉伸与压缩时的应力轴向拉伸与压缩时的应力一一. 正应力公式：正应力公式： ANdA仅由上述静力关系式还不能确定和N之间的具体关系。下面从研究杆件的变形入手来寻求的变化规律。如左图：变形后可观察到如下现象： 变形前变形后（1）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两相邻横向线相对地沿轴线平行移动了一段距离；（2）变形后，横线仍垂直于轴线。扭转弯曲由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设拉压 杆件的横截面在拉压、扭转或弯曲变形过程中始终保持是平面，并始终保持与轴线垂直。根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知：横截面各点处的分布内力集度（即正应力）均相等，于是有因此拉（压）杆横截面上的正应力为A

7、NdAANA的符号规定与的符号规定与N相同，拉应力为正，相同，拉应力为正，压应力为负。压应力为负。上述正应力公式的推导过程用到了变形几何，物理和静力平衡三方面的规律。 材料力学的分析方法1. 力学分析力学分析 研究构件中的各个力学要素（包括外力和内力；包括力和力偶矩）之间的关系。2. 物理分析物理分析 研究材料的力学性能，研究构件的力学要素（有时还包括热学要素）与几何要素之间的关系。 荷载与变形量之间的关系 温度变化与应力、变形量之间的关系 构件内部应力与应变之间的关系3.几何分析几何分析研究构件和结构中各几何要素之间的关系。构件中应变和变形量之间的关系结构中各构件变形量之间的关系二. 正应力

8、公式的使用条件1. 外力合力作用线必须与杆轴线重合。 2. 杆件必须是等直杆。若横截面尺寸沿轴线变化，对于变化缓慢的杆：( )( )( )N xxA x（2-4） 3. 公式只在距外力作用点一定距离外才是正确 的。PP/2P/2P/AP 圣维南原理 虽然力作用于杆端的方式不同，只要它们是静力等效的，则杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。 应力等效应力等效PP/2P/2P/AP例2-2 图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。0:X 0:Y sin30ABoPN

9、ACBP30解（1）计算各杆轴力 用截面法，截取结点B为研究对象，各杆轴力假定为拉力。由平衡方程 得30BPABNBCNcos300oABBCNNsin300oABNP30KN例2-2 图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。ACBP30（2）计算各杆应力，得30BPABNBCNABABABNABCBCBCNA3622630 10149 10/14916104N mMPa3622626 10133 10/1331410N mMPa5 拉（压）杆斜截面上的应力沿斜截面kk（如图），将杆截分为二。研究

10、左段杆的平衡，得到斜截面kk上内力 pp(a)(b)kkppkkPP（a a） 斜截面kk的面积为 ， 横截面积为A， 于是有 cosAAPpA0PA0App(a)(b)kkppkk式中 为横截面（ ）上的正应力。（b）coscosPPAA0cosA斜截面全应力 的分解：垂直于斜截面的正应力 ： （2-5）相切于斜截面的剪应力 ： pcospsinp 可见，斜截面上不仅存在正应力，而且还存在剪应力，其大小随截面的方位而变化。P 20cos0sin22（2-6）x 、 、 的符号规定如下x000000 1.当 时（横截面） 0o0max00即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。0sin

11、sin22p20coscospp（2-5）（2-6） 3.当 时 当 时 即在斜截面上，剪应力有最大、最小值，且其数值为最大正应力的一半。0sinsin22p20coscospp（2-5）（2-6）45o0452045max245o 0452045min2 一、纵向变形虎克定律 一等直杆如图所示，设杆的原长为 ，横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，杆的长度由 变为 。1b1ll6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能l1llbpp轴线方向总伸长为 (a)1lll 1b1llbpp 试验表明： 引入比例系数E，则有 （b） 对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆，由于N=P，故式（b）可改写为PllA

12、 PllEA NllEA 杆件拉伸时， 为正；杆件压缩时， 为负。ll（2-7）式（2-7）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通常称为虎克定律。E 与材料的性质有关，称为材料的拉压弹性模量，其值可由实验确定。EA 反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。NllEA （2-7）1b1llbpp若将 和 代入公式（2-7）可得 或 （2-8）这是虎克定律的另一种表示形式。虎克定律又可表述为：当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。因为应变没有量纲，弹性模量E有与应力相同的量纲。最后指出，公式（2-7）只有当轴力N、横截面面积A、材料的弹性模量E在杆长l内为常

13、量时才能应用。NAllEENllEA （2-7）对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件： 当轴力 和横截面积 沿杆轴线x方向连续变化时，有 二、横向变形泊松比二、横向变形泊松比 设杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，则杆的横向线应变为 iiiN llE A()()lNx dxlE A x N x A x1bbbbb（2-92-9）（2-102-10） 试验表明：横向应变与纵向应变之间满足如下关系 因与的符号相反，故有 称为泊松比或横向变形系数，是一个无量纲的量，其值随材料的不同而不同。E 、 都是材料本身所固有的弹性常数，是反映材料弹性变形能力的参数。（2-11）（2-12）例1 阶梯钢杆如图所示

14、。已知AC段的截面面积为A1=500mm2，CD段的截面面积为A2=200mm2，钢杆的弹性模量E=200GPa。试求：（1）各段杆横截面上的内力和应力；（2）杆的总伸长。BACD1P= 30KN2P=10KN1001001002P1P1122R解 （1）内力计算2P1P1N2P2N 用截面法沿11、22面截开，计算轴力, 得：2210BCCDNNNPkN 11230 1020ABNNPPkN绘出轴力图。2010_xN(KN)BACD（2）应力计算（3）杆的总伸长 计算结果为负，说明整个杆是缩短的。11ABNA21BCNA22CDNA31i iADiiNllEA36620 1040 10405

15、00 10PaMPa36610 1020 1020500 10PaMPa36610 1050 1050200 10PaMPa3333336666120 10 100 1010 10 100 1010 10 100 10()200 10500 10500 10200 1030.015 100.015mmm例2 钢板如图所示，其材料的弹性模量E=200GPa，泊松比0.25。求钢板在两端受到合力为140kN的均布载荷作用时厚度的变化。2501050140KN140KN2501050140KN140KN解 在两端的均布载荷作用下，钢板发生轴向拉伸变形。其横截面上正应力可按公式（2-1）计算，即 （a

16、）由虎克定律 （b） PAE2501050140KN140KN横向线应变为于是 （c）bbbb 2501050140KN140KN将式（b）代入式（c），并考虑式（a），得 即钢板的厚度减小了0.0035mm。 PbbEA 33140 100.25100.0035200 1050 10mm 三、轴向拉压时的变形能在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，成为变形能或应变能。弹性体变形储存能量外力做功外力减小变形减小释放能量如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直至最终数值P。作用点的位移也逐渐增大至 ,在应力小于比例极限的范围内，拉力P与 成正比。llpp(a)(b)lp1p

17、1dp1ll1d lll 显然 dW 等于图中画阴影线部分的微分面积。W 等于 图中三角形的面积: 11dWP dl（）Pl12WP l若不计任何能量损耗，根据功能原理，弹性体内储存的变形能U应等于拉力P所做的功W。即 考虑轴力，并引出虎克定律，得 12UWP l22NlUEA（2-13）（2-14）变形能的单位为焦（J）引入单位体积内的变形能的概念，我们称为变形比能（简称比能），记作u。由虎克定律，上式又可写成 比能的单位是（2-15）UuAl12u33焦耳 米（J m ）1焦耳（J）=1牛 米（N m）（2-16）2P lAl1222E22E7 材料拉伸时的力学性能材料的力学性能 材料在受

18、力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。1.实验条件：材料在室温下，以缓慢平稳加载方式进行的拉伸试验和压缩试验2.实验对象：圆截面的拉伸标准试件如图所示： pp27ldlpp2710ld5ldd 标矩。 圆试件的直径 在国家标准中标矩，与直径d有两种比例： 即 和ld一、低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢是指含碳量在0.25%以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性材料的一些特性。下图是低碳钢拉伸时绘制的曲线，这个曲线也称为拉伸图。efgpl0abcddhfPl1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其曲线可以分为如下四个阶段： hgbd0apebcs一、弹性阶段二、屈服阶段三、强化阶段 四、局部变形阶段

19、fed2.2.延伸率和截面收缩率延伸率和截面收缩率0100%ll延伸率是衡量材料塑性的主要指标。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收缩率 A1 试件断裂后断口处最小横截面面积， A0 试件原来的横截面面积 截面收缩率也是衡量材料塑性的指标。1100%AAA（2-18）100100%lll3.卸载定律和冷作硬化 （1 1） 卸载定律 ep超过弹性范围后的任一点d所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。hgef0abcdpbsd （2）冷作硬化 efhg0abcdpbs在常温下，把材料拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，比例极限提高而塑性降低d工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定

20、塑性应变 时的应力为名义屈服极限，用 表示。0.2%0.20.2%p0.2二、其他塑性材料拉伸时的力学性能二、其他塑性材料拉伸时的力学性能灰口铸铁是典型的脆性材料断裂时的应力就是强度极限它是唯一的强度指标。有时选一条割线来确定E值，并认为材料服从虎克定律。三、铸铁拉伸时的力学性质12510075502500.15 0.30 0.452(MN/m )(%)8 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质（一）塑性材料黄色线 低碳钢压缩时的曲线绿色线 低碳钢拉伸时的曲线Ps（二）脆性材料如图：铸铁压缩时 的曲线。实验表明：曲线没有“屈服点”，试件在较小变形下突然破坏，破坏面与轴线大致成45度的倾角。

21、pp600500(%)2MN/m 1100200300400423506（三）几种常用材料的主要力学性能比例极限弹性极限 屈服极限 （ ）强度极限 弹性模量 E延伸率 截面收缩率pes0.2b衡量材料力学性能的主要指标有： 材料允许承受的最大应力。 破坏应力材料破坏时的应力值， 或称极限应力 0 0nn 为大于1的数，称为安全系数。(2-19)0s0b塑性材料脆性材料9 拉伸（压缩）杆件的强度计算一、许用应力与安全系数二、强度条件 对等截面杆 式（2-20a，b）即是轴向拉（压）杆件的强度条件。产生最大工作应力的截面称为危险截面。maxmax NAmaxmax NA(2-20a)（2-20b）

22、利用强度条件，可以解决工程中下列三个方面的强度计算问题：1.强度校核2.设计截面由上式算出需要的横截面面积，然后确定截面尺寸。max NA3.确定许用载荷 NA例简单结构受力如图，q是均布在水平长度上的载荷集度，设AC为刚性杆，BD杆为圆截面，。计算BD杆的直径以及C点的铅垂位移。 150MPa200EGPaq=17.3kN/m1m1m1mABDC30P=20kN解（）设BD 杆的拉力为N，由平衡条件得再由强度条件得0AM1 17.3 2 1 20 20N 74.6NKN 342674.6 104.97 10150 10NAm4244 4.97 102.52 10Admq=17.3kN/m1m

23、1m1mABDC30可取d=26mm(2)计算C点的铅垂位移。刚性杆AC转到新位置AC1，D点移到D1。在小变形时，用作垂线代替作弧，可知CC就是C的铅垂位移，可得BD杆的伸长再由几何关系21D D21D Dl 211cos30D DDD112CCDD31cos30CCCCABDCD2D1C1C2C330NlEA39474.6 101200 104.97 1047.5 100.75mmm于是讨论：对于本题，如规定C点的铅垂位移不超过，即要求整个结构具有一定的刚度。这时，可先算出C点的铅垂位移，再和容许位移进行比较，如能满足，刚度是足够的，我们称此条件为刚度条件。对于某些结构或系统，如桁架，汽阀

24、机械等要考虑刚度条件，即要求某些点的位移不能过大。对于大多数承受拉压的工程构件，往往只要求强度足够，而不用讨论它的刚度312cos30CCDD 212D D2 0.751.5mm 例3 等圆截面直杆受力如图所示，材料为铸铁，其拉伸许用应力 ，压缩许用应力 ，弹性模量 。求：（1）画出轴力图；（2）设计横截面直径；（3）计算杆的总伸长。60TMPa120CMPa80EGPa2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII解 （1）画轴力图。由截面法求得N1=20kN、N2=0、N3=-30kN,由此可画出轴力图如图所示。20KNN(b)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(

25、a)IIIIII30KN（2）设计横截面直径。 I、III两段中的截面都是危险截面。 按拉伸强度设计14TNd 2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII3364 20 101020.63.14 60 10mm2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII按压缩强度设计故该杆直径应取20.6。结果表明，尽管该杆的轴向拉力比轴向压力小，但是杆件的横截面尺寸还是由拉力决定，这是因为铸铁的抗拉能力比抗压能力低。24CNd 3364 30 101017.83.14 120 10mm2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（3）计算杆的总伸长。

26、根据公式（2-6），该杆的总伸长为 “-”表示杆件实际上是缩短了。123llll 3333223320 102 1030 102 1003.14 (20.6)3.14 (20.6)80 1080 1044 0.75mm 例4 铆钉连接结构如图a所示，已知主板受到的轴向拉力P=110kN，其材料许用应力 ，板宽b=80mm，板厚t=12mm。若各铆钉的材料和直径均相同，且铆钉孔直径d=16mm。试校核板的强度。PP(a) 160MPadP(b)P解 （1）分析内力，做出上主板的轴力图。 （2）确定危险截面。 得出2-3段和1-2段都是危险截面。1-2段 3max110 10143 (80 16)

27、 12MPa2-3段 因为板的各段都满足强度要求，故此主板安全。3max3110 104143 (80 16 2) 12MPa2345P321(c)454p4p4p4p123PSx(d)4p34p1例5 薄壁圆筒容器承受内压p作用，如图a所示。若已知圆筒直径为D，壁厚为t，试求其横截面上的应力及纵截面上的应力。mnABCDmnl(a)nnDtt24DPp(b)lmnnmp(c) pyttDNNjdj(d)解 因为圆筒承受内压，故其横截面和纵截面上的应力都是拉应力。求：横截面上的应力 。平衡方程： 得P是沿圆筒轴线作用于筒低的总压力，其值为 x0X 0NP24DPpnnDttP(a)(b)N是圆

28、筒横截面上的轴力， 由于薄壁圆筒横截面面积为 ，故轴力为 而(a)、(b)式为 (a) (b)将式（b）、(c)代入式（a），得0NP24DPpxNdt4xpDtAdt(c)nnDttP（2）求纵截面上的应力取上半圆环为研究对象，其受力图如图c、d所示。由平衡方程 得由此求得 即薄壁圆筒受内压作用时，周向应力 为轴向应力 的两倍。y0Y 02sin2yDtspsdj j 2ypDtyxlmnnmp(c) pyttDNNjdj(d)pDs10 应力集中应力集中应力集中 在构件截面突然改变的局部区域内，应力急剧增加，而离开这个区域稍远处，应力又趋于缓和。PPP(a)PPP(b)max0应力集中系数

29、 : max 发生应力集中的截面上的最大应力0 截面上的平均应力AApp(a)p(b)Amaxmax1.比较均质的脆性材料2.灰口铸铁这类非均质的脆性材料 在静载下，不同材料对应力集中的敏感程度是不同的(d)SSAAp(c)SSAp11 拉压超静定问题拉压超静定问题一、超静定的概念作用于研究对象上的未知力数多于静力平衡方程的数目，就不能单凭静力平衡方程求出未知力，这种问题称为超静定问题超静定问题（或静不定问题）。未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次数。ABCDQQ1N2N3NB123二、超静定问题的解法以图为例，说明超静定问题的解法。两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为

30、A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。（1）平衡方程： A、B 两端的约束反力ARBRPPACBDlll(a)PP(b)0ABRPPRABRRABRR、(a)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。（2）变形协调方程：（3）通过物理关系将变形用未知力表示0ACCDDBlllACACN llEACDCDNllEA(b)AR lEA()ARP lEAACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。0ACCDDBlll

31、ACACN llEACDCDNllEADBDBN llEA带入(b)式得：()0AABR lRP lR lEAEAEA(b)AR lEA()ARP lEABR lEAACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。2ABRRP整理后得：(c) （c）式称为补充方程ABRR0ACCDDBlll(b)(a)联立（a）、（c）求解得3ABPRRACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段内力：可见CD段内力最大，故3ACPNmaxmaxNACDNA23PA 2,3CDNP ,3DBPN求解超静定问题的一般步骤归

32、纳为： 平衡方程； 几何方程变形协调方程； 物理方程胡克定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。例2-3 由三根杆组成的结构，如下图所示。若1、2杆的抗拉刚度同为 ，3杆的抗拉刚度为 ，在P力作用下，试求三杆的内力。11E A33E A ABCD123ElP 解：（1）静力平衡关系 设三杆轴力皆为拉力，有节点A的平衡条件 （2）变形几何关系 在中有以下变形谐调条件 0:Y 1AEA13cosll ABCD123E1AP3ll1(a)A2N1N3NP(b)132cosNNP（b）（a） ABCD123E1AP3ll1(a)A2N1N3NP(b)（3）物理关系 根据虎克定律代入（b）式得补充方程 （4）联立求解式（a）、（c）得 1111cosN llE A 3333N llE A131133coscosN lN lE AE A1332112coscosPNE AE A31133312cosPNE AE A132cosNNP（a）（c）（d）例.4 支架中三根杆件的材料相同，横截面面积分别为 ，试求各杆内的应力。P123A3030(a)123AAA、N