第九章-导行电磁波

1、第九章第九章 导行电磁波导行电磁波主主 要要 内内 容容 几种常用的导波系统、矩形波导传播特性、几种常用的导波系统、矩形波导传播特性、圆波导传播特性、谐振腔、同轴线圆波导传播特性、谐振腔、同轴线1. TEM波、波、TE波及波及TM波波2. 矩形波导传播特性矩形波导传播特性3. 矩形波导中矩形波导中TE10波波4. 电磁波的群速电磁波的群速5. 圆波导传播特性圆波导传播特性6. 波导传输功率和损耗波导传输功率和损耗7. 谐振腔谐振腔8. 同轴线同轴线 沿一定的路径传播的电磁波称为沿一定的路径传播的电磁波称为导行电磁波导行电磁波，传输导行波的系统称为传输导行波的系统称为导波系统导波系统。 常用的导

2、波系统有常用的导波系统有双导线双导线、同轴线同轴线、带状线带状线、微带微带、金属波导金属波导等。等。 本章本章仅仅介绍介绍同轴线同轴线和和金属波导金属波导。尤其是。尤其是矩形矩形金属波导的传播特性。金属波导的传播特性。带状线带状线双导线双导线矩形波导矩形波导微微 带带介质波导介质波导光光 纤纤同轴线同轴线圆波导圆波导几种常用导波系统的示意图几种常用导波系统的示意图1. TEM 波、波、TE 波及波及TM 波波 TEM波、波、TE波及波及TM波的结构。波的结构。 TEM波波EHSTE波波EHSTM波波EHS 可以证明，能够建立可以证明，能够建立静电场静电场的导波系统的导波系统必然必然能够传输能够

3、传输TEM波。波。 根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输输TEM波。波。名名 称称波波 型型 电磁屏蔽电磁屏蔽使用波段使用波段 双导线双导线 TEM波波差差 3m 同轴线同轴线 TEM波波好好 10cm 带状线带状线 TEM波波差差厘米波厘米波 微微 带带准准TEM波波差差厘米波厘米波矩形波导矩形波导 TE或或TM波波好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 圆波导圆波导 TE或或TM波波好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 光光 纤纤 TE或或TM波波差差光波光波几种常用导波系统的主要特性几种常用导波系统的主要特性 根据导波系统根据导波系统横截面横截面的形状选取

4、的形状选取直角直角坐标系或坐标系或者者圆柱圆柱坐标系，且令其沿坐标系，且令其沿 z 轴放置，传播方向为正轴放置，传播方向为正 z 方向。方向。0022222222HHHHEEEE222222kzyxkzyx且满足下列且满足下列矢量矢量亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 zkzyxzyxj0e ),(),( EEzkzyxzyxj0e ),(),( HH 以以直角直角坐标系为例，则电场与磁场可以分别表坐标系为例，则电场与磁场可以分别表示为示为 上式包含了上式包含了 及及 6 6个直角坐标个直角坐标分量，分别满足齐次分量，分别满足齐次标量标量亥姆霍兹方程。亥姆霍兹方程。zyxEEE,zyxHHH,可以证明，

5、可以证明， x 和和 y 分量与分量与 z 分量的关系为分量的关系为 yHxEkkEzzzxjj12cxHyEkkEzzzyjj12cxHkyEkHzzzxjj12cyHkxEkHzzzyjj12c222czkkk式中式中 只要求出只要求出 z 分分量，其余分量即可量，其余分量即可求出。求出。 z 分量为分量为纵向纵向分量，因此这种方分量，因此这种方法又称为法又称为纵向场法纵向场法。 对于对于圆波导圆波导，选择，选择圆柱圆柱坐标系，坐标系，r 和和 横向横向分量可用分量可用 z 纵向纵向分量表示为分量表示为zzzrHrrEkkEjj12crHErkkEzzzjj12crHkErkHzzzrjj

6、12czzzHrkrEkHjj12c2. 矩形波导传播特性矩形波导传播特性 矩形波导如图所示，矩形波导如图所示，宽宽壁的壁的内内尺寸为尺寸为 a ，窄窄壁的壁的内内尺寸为尺寸为 b 。 azyxb , 已知金属波导已知金属波导只能只能传输传输 TE 波及波及TM 波，若仅传输波，若仅传输 TM 波，则波，则 Hz = 0 。 按照纵向场法，此时仅需求出按照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，然后分量，然后即可计算其余各个分量。即可计算其余各个分量。 Ez 满足的齐次满足的齐次标量标量亥姆霍兹方程为亥姆霍兹方程为02c2222zzzEkyExE222czkkk 考虑到考虑到 ，其，其振幅振幅 也

7、应满足也应满足上述方程，上述方程，zkzzzyxEEj0e ),(0zE已知电场强度的已知电场强度的 z 分量可以表示为分量可以表示为 zkzzzyxEEj0e ),(002c202202zzzEkyExE即即采用采用分离变量法分离变量法求解上述方程。求解上述方程。得得2ckYYXX 式中，式中，X 表示表示 X 对对 x 的二阶导数；的二阶导数；Y 表示表示Y 对对 y 的二阶导数。的二阶导数。002c202202zzzEkyExE)()()(0yYxXyxEz、令令 式中的第二项式中的第二项仅仅为为 y 函数，而右端为常数，因函数，而右端为常数，因此，若对此，若对 x 求导，得知左端第一项

8、应为常数。求导，得知左端第一项应为常数。若对若对 y 求导，获知第二项应为常数。求导，获知第二项应为常数。令令 2xkXX 2ykYY 式中，式中，k x 和和 k y 称为称为分离常数分离常数。222cyxkkk显然显然两个两个常微分方程的常微分方程的通解通解分别为分别为xkCxkCXxxsincos21ykCykCYyysincos43 式中，常数式中，常数C1 ，C2 ， C3 ， C4 取决于导波系统取决于导波系统的边界条件。的边界条件。, 3 , 2 , 1 ,nbnky, 3 , 2 , 1 ,mamkx已知已知 ，求出，求出0, ; 0,0zxa ybE那么矩形波导中那么矩形波导

9、中TM 波的各个分量为波的各个分量为j0sinsinezk zzmnEExyabzkzxzybnxamamkEkEj2c0esincosjzkzyzybnxambnkEkEj2c0ecossinjzkxzybnxambnkEHj2c0ecossinjzkyzybnxamamkEHj2c0esincosj 1，相位仅与变量，相位仅与变量 z 有关，而振幅与有关，而振幅与 x, y 有关。因此，有关。因此，在在z 方向上为方向上为行波行波，在，在 x 及及 y 方向上形成方向上形成驻波驻波。 2，z 等于常数的平面为波面。但振辐与等于常数的平面为波面。但振辐与 x, y 有关，因此有关，因此上述上

10、述TM波为波为非均匀非均匀的平面波。的平面波。 3，当，当 m 或或 n 为零时，上述各个分量均为零，因此为零时，上述各个分量均为零，因此 m 及及 n 应为应为非零非零的整数。的整数。 m 为宽壁上的为宽壁上的半个驻波半个驻波的数目，的数目， n 为窄壁为窄壁上上半个驻波半个驻波的数目。的数目。 4，由于，由于 m 及及 n 为多值，因此场结构均具有为多值，因此场结构均具有多种模式多种模式。 m 及及 n 的每一种组合构成一种模式，以的每一种组合构成一种模式，以TMmn表示。表示。 例如例如 TM11表示表示 m = 1, n = 1 的场结构，具有这种场结构的波称为的场结构，具有这种场结构

11、的波称为TM11波。波。 5，大的，大的 m 及及 n 模式称为模式称为高次模高次模，小的称为，小的称为低次模低次模。由于由于 m 及及 n 均均不为不为零零，故矩形波导中，故矩形波导中TM波的波的最低模式最低模式是是TM11波。波。j0sinsinezk zzmnEExyabzkzxzybnxamamkEkEj2c0esincosjzkzyzybnxambnkEkEj2c0ecossinjzkxzybnxambnkEHj2c0ecossinjzkyzybnxamamkEHj2c0esincosjTE波波zkzzybnxamHHj0ecoscoszkzxzybnxamamkHkHj2c0eco

12、ssinjzkzyzybnxambnkHkHj2c0esincosjzkxzybnxambnkHEj2c0esincosjzkyzybnxamamkHEj2c0ecossinj式中式中 ，但两者，但两者不能同时不能同时为零。为零。, 2 , 1 , 0,nm 与与TM波一样，波一样，TE波也具有波也具有多模特性多模特性，但是，但是m 及及 n 不能同时为零。因此，不能同时为零。因此，TE波的波的最低模式最低模式为为TE01波或波或TE10波。波。已知已知 ，即，即 。222czkkk2c22kkkz 若若 ，则，则 ，意味波的传播被截止，因此，意味波的传播被截止，因此， 称为称为截止传播常数截

13、止传播常数。ckk 0zkck截止传播常数和截止频率截止传播常数和截止频率 由由 求出对应于截止传播常数求出对应于截止传播常数 的的截止截止频率频率 ，fk2ckcf222cxykkk222cbnamk22cc212bnamkf即即传播常数传播常数 , 1j ,11c2cc2c2cffffkffffkffkkz 当当 时，时， 为实数，因子为实数，因子 代表向正代表向正 z 方向方向传播的波。传播的波。cff zkzkzje当当 时，时， 为虚数，因子为虚数，因子cff zk 1j2ceeffkzzkz 对于一定的模式和波导尺寸来说，对于一定的模式和波导尺寸来说，f c 是能够传输是能够传输该

14、模式的该模式的最低频率最低频率，波导相当于一个，波导相当于一个高通滤波器高通滤波器。 表明电磁场没有传播，而是沿正表明电磁场没有传播，而是沿正 z 方向不断衰减方向不断衰减的的凋落场凋落场。 由由 ，求得对应于截止传播常数，求得对应于截止传播常数 的的截止截止波长波长 为为2kckc22cc22bnamk截止波长截止波长 截止频率截止频率和和截止波长截止波长均与波导均与波导尺寸尺寸 a, b 及及模式模式m, n 有关。有关。 波导尺寸为波导尺寸为 时，时，各种模式的截止波长分布各种模式的截止波长分布如图所示。如图所示。ba2TM11TE01TE20TE100a2ac 模次模次越越高，高，截止

15、截止频率频率越越高，高，截止截止波长波长越越短短。TE10波为矩形波导中的波为矩形波导中的常用模式常用模式或称为或称为主模主模。截截 止止 区区TM11TE01TE20TE100a2ac 当当 时，只有时，只有TE10 波存在，其他模式波存在，其他模式被截止。被截止。aa2当当 时，才有其他模式出现。时，才有其他模式出现。a 若工作波长满足若工作波长满足 ，即可实现，即可实现单模传输单模传输，单模传输的单模传输的惟一惟一模式就是模式就是TE10波。波。aa2 通常取通常取 ，以便在，以便在 波段内实现波段内实现TE10波波单模传输。单模传输。ba2aa2 当当 时，全部模时，全部模式被截止。式

16、被截止。a2 窄壁尺寸的窄壁尺寸的下限下限取决于传输取决于传输功率功率，容许的波导，容许的波导衰减衰减以及以及重量重量等。等。国际上对于各波段使用的波导尺寸已有国际上对于各波段使用的波导尺寸已有统一规定统一规定。 可见，当工作波长可见，当工作波长增加增加时，为保证单模传输，时，为保证单模传输，波导的尺寸必须相应地加大。因此，实际中金属波波导的尺寸必须相应地加大。因此，实际中金属波导适用于导适用于3000MHz以上的微波波段。以上的微波波段。工程上常取工程上常取 左右，左右， 或或 。7 . 0aab)5 . 04 . 0(a)2 . 01 . 0(将可获知，窄壁减小会使传输将可获知，窄壁减小会

17、使传输衰减衰减增大。增大。a22b为了保证仅传输为了保证仅传输TE10波，应该满足下列不等式波，应该满足下列不等式)2(aa)2(ba 矩形波导的相速矩形波导的相速 为为pvvvffvkvz2c2cp11式中，式中， ，对于真空波导，对于真空波导， 。1vcv001波导波导尺寸尺寸及及模式模式不同，其相速也不同。不同，其相速也不同。 波导中的相速与波导中的相速与频率频率有关。因此，电磁波在有关。因此，电磁波在波导中传播时会出现波导中传播时会出现色散现象色散现象。已知已知 ， ，求得真空波导中，求得真空波导中 。cff ccv p波导中的波导中的相速相速不能代表不能代表能速能速。矩形矩形波导中电

18、磁波的波长波导中电磁波的波长 为为 g2c2cg112ffkz式中，式中， 为为工作波长工作波长； 称为称为波导波长波导波长。g已知已知 ， ，故，故 。cff cg波导中的波导中的横向横向电场与磁场之比称为电场与磁场之比称为波导波阻抗波导波阻抗。Z2c2cTM11ZffZZ求得求得xyyxHEHEZTM对于对于TM波，其波阻抗为波，其波阻抗为同理可得，同理可得，TE波的波阻抗为波的波阻抗为2c2cTE11ZffZZ可见，当可见，当 ， 时，时， 及及 均为均为虚数虚数，表明，表明横向电场与横向磁场相位相差横向电场与横向磁场相位相差 ，因此，沿，因此，沿 z 方向方向没有能量单向流动，这就表明

19、电磁波的传播被没有能量单向流动，这就表明电磁波的传播被截止截止。cff cTMZTEZ22c2cTM11ZffZZ 例例 某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为寸为 25 mm10 mm ， 当频率当频率 的电磁波的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当进入波导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当波导中填充介电常数波导中填充介电常数 的理想介质后，能够传输的理想介质后，能够传输的模式有无改变？的模式有无改变？ MHz104f4r 解解 当内部为真空时，工作波长为当内部为真空时，工作波长为mm 30fc截止波长为截止波长为2222c25.

20、 6502nmbnam若填充若填充 的的理想介质理想介质，则工作波长为，则工作波长为4rr15 mm因此，除因此，除TE10波及波及TE20波外，还可传输其他模式。波外，还可传输其他模式。 计算表明，计算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可传输。等模式均可传输。 因为因为 ， ，更高次模的，更高次模的截止波长更短，可见，当该波导中为截止波长更短，可见，当该波导中为真空真空时，时，仅仅能能传输的模式为传输的模式为TE10波波。 10cTE()50 mm20cTE()25 mm3. 矩形波导中矩形波导中TE10波波 令令 ，求得，求得TE10波方程为波方程为0

21、 , 1nmzkzzxaHHj0ecos)(rzkzxzxaakHkHj2c0esinj)(rzkyzxaakHEj2c0esinj)(r其余分量为其余分量为零零)sin(cos2),(0zktxaHtHzzr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHktHzzxr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHtEzyr对应的对应的瞬时值瞬时值为为yHxEyHzxagHzHxEyzyt = 0沿沿 x 方向为方向为驻波驻波，沿，沿 z 方向为方向为行波行波。 Hz 的振辐沿的振辐沿 x 按按余弦余弦分布，分布， Hx 及及 Ez 的振幅沿的振幅沿 x 按按正弦正弦分布，但是分布，但是其

22、振幅均与其振幅均与 y 无关无关。)sin(cos),(zktxaCtHzzr)2sin(sin),(zktxaBtHzxr)2sin(sin),(zktxaAtEzyr上式可简化为上式可简化为式中，式中，A、B、C为为正正实数。实数。xzyxyzgba磁场线磁场线电场线电场线zyx内壁电流内壁电流gHzHxEyzyyHxEyHzxa几种高次模的场分布几种高次模的场分布TE10TE11TE20TE21TM21TM11磁场线磁场线电场线电场线令令 m = 1, n = 0，求得，求得TE10波的截止波长为波的截止波长为a2c可见，可见，TE10波的截止波长波的截止波长与窄壁尺寸无关与窄壁尺寸无关

23、。 zkxaxayzEEjjj0e )ee ()ee (j21sinjjxaxaxa2p21avv2g21a根据根据 ，求得求得c 为了说明为了说明TE10波的波的 、 及及 的的物理意义物理意义以及以及它们之间它们之间关系关系，将电场分量，将电场分量 Ey 改写为改写为 gevpv上式可以看成是传播常数为上式可以看成是传播常数为 k ， 但传播方向不同的但传播方向不同的两个均匀平面波两个均匀平面波。xza 当当 时，时， 。那么，该均匀平面波在两个。那么，该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回反射。因此，无法传播而被窄壁之间垂直来回反射。因此，无法传播而被截止截止。 c0利用三角公式，上式改写为

24、利用三角公式，上式改写为)sincos(j0)sincos(j0eezxkzxkyEEEc2cosa 两个两个均匀平面波又均匀平面波又可合并为在两个可合并为在两个窄壁窄壁之之间来回反射的间来回反射的一个一个均匀均匀平面波。平面波。 两个平面波的两个平面波的波峰相遇波峰相遇处形成处形成合成波合成波的的波峰波峰，波谷波谷相遇相遇处形成合成波的处形成合成波的波谷波谷。 实线实线表示平面波表示平面波的波峰，的波峰，虚线虚线表示平面波表示平面波的波峰。的波峰。xzaABCD若波导为若波导为真空真空，则，则 AC 长度等于真空中波长。长度等于真空中波长。 线段线段 AB长度等于长度等于波导波导波长，波长，

25、AC长度等于长度等于工作工作波长。波长。2cg12gcos1sin由图得由图得c2cosa 平面波平面波由由 A 至至 C 的的相位相位变化为变化为2 ，而合成波，而合成波的空间相位变化的空间相位变化2时经过距离为时经过距离为 AB。可见，合成波。可见，合成波的相速的相速大于大于均匀平面波的相速。均匀平面波的相速。2cp1vv 再从再从能量能量传播来看，当平面波传播来看，当平面波的能量由的能量由A传播传播到到C时，就传播方向时，就传播方向z而言，此能量传输的距离仅为而言，此能量传输的距离仅为AD长度，可见波导中能速长度，可见波导中能速小于小于均匀平面波的能速。均匀平面波的能速。2ce1vvsi

26、npvv 由图求出由图求出sinevv 由图求出由图求出xzaABCD 例例 若内充若内充空气空气的矩形波导尺寸为的矩形波导尺寸为 ，工作，工作频率为频率为3GHz。如果要求工作频率至少高于主模。如果要求工作频率至少高于主模TE10波波的截止频率的的截止频率的20%，且至少低于，且至少低于TE01波的截止频率的波的截止频率的20%。试求：。试求：波导尺寸波导尺寸a及及b；根据所设计的波导，根据所设计的波导，计算工作波长，相速，波导波长及波阻抗。计算工作波长，相速，波导波长及波阻抗。2 a解解 TE10波的截止波长波的截止波长 ，对应的截止频率为，对应的截止频率为a2caccf2ccTE01波波

27、 ，对应的截止频率，对应的截止频率 。b2cbcf2c求得求得 ， ，取，取 ， 。m06. 0am04. 0bm06. 0am04. 0b2 . 121039ac8 . 021039bc题意要求题意要求 工作波长，相速，波导波长及波阻抗分别为工作波长，相速，波导波长及波阻抗分别为m1 . 0fcs/m1042. 52132pacvm182. 0212ga682212TE10aZZ4. 电磁波的群速电磁波的群速 相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散介质中的传播速度。本节介绍的介质中的传播速度。本节介绍的群速群速，将可用来描述，将可用来描述窄带信号

28、窄带信号在色散介质中的传播特性。在色散介质中的传播特性。设电磁波仅具有两个频率设电磁波仅具有两个频率非常接近非常接近的频率分量为的频率分量为 )cos(),()cos(),(22021101zktAtzAzktAtzA其合成信号为其合成信号为21AAA)cos() cos(2000zktkztA式中式中)(21)(211210)(21)(2110210kkkkkk 由于由于 ， ，因而在一个足够小的时间间，因而在一个足够小的时间间隔内，上式中的第一个余弦项尚未发生明显变化时，第隔内，上式中的第一个余弦项尚未发生明显变化时，第二个余弦项已经历了几个周期的变化，所以二个余弦项已经历了几个周期的变化

29、，所以 代表代表载载频频， 代表代表调制频率调制频率。2100 若若介介质是非色散的，质是非色散的，波包波包随随载波载波一起运动，载波一起运动，载波及波包都保持正弦波形。及波包都保持正弦波形。波包波包的移动速度称为的移动速度称为群速群速，以，以 表示。表示。gv这是一个幅度变化缓慢的这是一个幅度变化缓慢的调幅信号调幅信号。由由 常数常数 ，求得群速为，求得群速为 tkzktzvddg21AAA)cos() cos(2000zktkztA 对于非色散对于非色散介介质，质，k与与的关系是线性的，因的关系是线性的，因此此 ，求得，求得群速群速为为 kkddkvddg再由再由 常数，求得常数，求得载波

30、载波相速相速 为为00tk zpv00pkv已知非色散介质中，已知非色散介质中， ，得，得k1dddd1gkkvpgvv 可见，可见，非非色散色散介介质中质中 对于对于色散色散介介质，对于质，对于给定的给定的频率频率 ，可将，可将 k 作作为频率为频率 的函数的函数在在 附近展开为泰勒级数，即附近展开为泰勒级数，即00)(dd)(000kkk2022)(dd210k对于对于窄带窄带信号，仅取前两项，即信号，仅取前两项，即)(dd)(000kkk且可认为且可认为 ，得，得kkvddg00dddd1gkkv 由于色散由于色散介介质的质的k 与与 的关系是的关系是非线性非线性的，不的，不同的载波频率

31、，其群速不同。群速同的载波频率，其群速不同。群速不再不再等于相速。等于相速。 载波载波以以相速相速传播，传播，波包波包以以群速群速传播。传播。 为为波包等相位点，波包等相位点，P 为载为载波等相位点。当波等相位点。当P 点点 位位移为移为d 时，由于波包速时，由于波包速度较慢，度较慢， 点仅位点仅位移移 。PP)( ,dddgp2vv 传播一段距离后，传播一段距离后，波包变形波包变形，导致信号失，导致信号失真。真。 对于对于窄带窄带信号，上式应为信号，上式应为0dd1pppgvvvv若若 ，则，则 ，即，即无无色散时相速色散时相速等于等于群速。群速。0ddpvpgvv 若若 ，则，则 ，这种情

32、况称为，这种情况称为正常色散正常色散。0ddpvpgvv 若若 ，则，则 ，这种情况称为，这种情况称为非正常色散非正常色散。0ddpvpgvv dd1pppgvvvv根据上述关系，求得根据上述关系，求得 矩形矩形波导的相速波导的相速 ，可见电磁波发生，可见电磁波发生正常正常色散。色散。 0ddpv即矩形波导中电磁波的即矩形波导中电磁波的群速群速等于等于能速能速，这是，这是正常正常色色散介质的共性。散介质的共性。 根据上面结果，求得矩形波导中电磁波的根据上面结果，求得矩形波导中电磁波的 vp 与与vg 满足下列方程满足下列方程2gpvvve2c2cg11vvffvv群速群速 当电磁波在当电磁波在

33、导电导电介质中传播时，电磁波发生介质中传播时，电磁波发生非非正正常色散。此时，常色散。此时， ，上述关系不再成立。，上述关系不再成立。 gpvv 5. 圆波导传播特性圆波导传播特性圆波导的圆波导的惟一惟一尺寸是内半径尺寸是内半径 a。 与矩形波导类似，采用与矩形波导类似，采用纵向场法纵向场法，即先求出纵向分，即先求出纵向分量量 Ez 或或 Hz ，然后再导出其，然后再导出其余分量：余分量：Er , E , Hr , H 。xyza ,电场和磁场的电场和磁场的纵向纵向分量可分别表示为分量可分别表示为zkzzzrEzrEj0e ),(),(zkzzzrHzrHj0e ),(),(在在圆柱圆柱坐标系

34、中，得坐标系中，得01102c202220202zzzEkErrErrE采用采用分离变量法分离变量法，令，令)()(),(0rRrEz得得 22c2rkRRrRRr式中式中 及及 分别为分别为R 对对 r 的二阶和一阶导数的二阶和一阶导数 为为 对对 的二阶导数的二阶导数 R R 022zzEkE 对于对于TM波，波， ，Ez 分量满足下列分量满足下列标量齐次标量齐次亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程0zH类似以前步骤，首先求出函数类似以前步骤，首先求出函数 满足的方程为满足的方程为02 mmAmAsincos21此方程的通解为此方程的通解为 由于波导中的场分布随由于波导中的场分布随 的变化应以的变化应

35、以2 为周期，为周期，因此上式中因此上式中m 一定为一定为整数整数，即，即 0, 1, 2m ， 圆波导具有圆波导具有轴对称性轴对称性， 的坐标平面可以任意的坐标平面可以任意确定。那么，适当地选择坐标平面，可使上式中的第确定。那么，适当地选择坐标平面，可使上式中的第一项一项或或第二项消失。第二项消失。0mmAsincos因此，因此， 的解可以表示为的解可以表示为求得求得0)(dddd222c222RmrkrRrrRr令令 ，则上式变为标准的，则上式变为标准的贝塞尔贝塞尔方程，方程，xrkc此式通解为此式通解为)(N)(JxCxBRmm式中，式中， 为第一类为第一类m阶贝塞尔函数；阶贝塞尔函数；

36、 为第二类为第二类 m 阶贝塞尔函数。阶贝塞尔函数。)(Jxm)(Nxm 当当 时，时， ， 。但是波导中的场总。但是波导中的场总是是有限有限的，因此，常数的，因此，常数 ，上式的解应为，上式的解应为0r0 x)0(Nm0C)(JcrkBRmzkmzzmmrkEEjc0esincos)(J求得求得Ez 的通解为的通解为0)(dddd22222RmxxRxxRx即即xJ0(x)J1(x)J2(x)J3(x)第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数x = kc rN0(x)N1(x)N2(x)N3(x)x第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数x = kc rzkmzrzmmrkkEkEjcc0esincos)(

37、JjzkmzzmmrkrkmEkEjc2c0ecossin)(JjzkmrzmmrkrkmEHjc2c0ecossin)(JjzkmzmmrkkEHjcc0esincos)(Jj各个各个横向横向分量分别为分量分别为式中式中 为贝塞尔函数为贝塞尔函数 的的一阶导数一阶导数; ;常数常数 决定于决定于边界条件边界条件。)(Jcrkm)(Jcrkmck利用边界条件利用边界条件 ，得，得arzEE022caPkmn式中式中 为第一类为第一类 m 阶贝塞尔函数的第阶贝塞尔函数的第 n 个个根根。 mnP值值mnP14.8011.628.4175.136213.3210.177.0163.832111.7

38、98.6545.5202.40504321mn 每一组每一组 m ，n 值对应于一个值对应于一个 值，从而形成值，从而形成一种模式。可见，圆波导也具有一种模式。可见，圆波导也具有多模特性多模特性。mnP 对于对于TE波，波，Ez= 0。采用上述同样方法，先。采用上述同样方法，先求出求出 Hz 分量，然后再分量，然后再 计算各个横向分量。计算各个横向分量。2 .2caPkmn根据边界条件求得根据边界条件求得式中式中 为第一类贝塞尔函数的一阶为第一类贝塞尔函数的一阶导数根导数根。mnPzkmzzmmrkHHjc0esincos)(JzkmzrzmmrkkHkHjcc0esincos)(Jjzkmz

39、zmmrkrkmHkHjc2c0ecossin)(JjzkmrzmmrkrkmHEjc2c0ecossin)(JjzkmzmmrkkHEjcc0esincos)(Jj其结果为其结果为13.179.9656.7053.054211.718.5265.3321.841113.3210.177.0163.83204321mn值值mnP当当 时，时， ，表示传播被截止。，表示传播被截止。ckk 0zk 由由 ，求得，求得TM波的波的截止频率截止频率和和截止波长截止波长分别为分别为ccc22fkmnmnPaaPf 2 2ccTE波的截止频率和截止波长为波的截止频率和截止波长为mnmnPaaPf 2 2c

40、c圆波导中各种模式的截止波长分布如图。圆波导中各种模式的截止波长分布如图。Oa2aTE01TE21TM01TE113a4ac根据前面公式，求得根据前面公式，求得aa62. 2 :TM41. 3 :TEc01c11 若工作波长若工作波长 满足满足 ，即可实现，即可实现TE11波的波的单模传输单模传输。 aa41. 362. 2TE11波是圆波导的波是圆波导的主模主模。 反之，若工作波长反之，若工作波长 给定，为了实现给定，为了实现TE11波波单模传输，圆波导半径单模传输，圆波导半径 a 必须满足必须满足62. 241. 3 a 截截 止止 区区 圆波导的圆波导的相速相速、群速群速、波导波长波导波

41、长及及波阻抗波阻抗公公式与矩形波导的相应公式式与矩形波导的相应公式完全相同完全相同。TE11，TE01及及TM01波的波的电场线电场线及及磁场线磁场线分布。分布。 电场线电场线磁场线磁场线TE01 TM01TE11 例例 已知圆波导的半径已知圆波导的半径 a = 5 mm，内充，内充理想介理想介质质的相对介质常数的相对介质常数 r = 9。若要求工作于。若要求工作于TE11主模，主模，试求最大允许的频率范围。试求最大允许的频率范围。 解解 为了保证工作于为了保证工作于TE11主模，其工作波长必主模，其工作波长必须满足须满足 aa41. 362. 2max3.41 517.1 mmmin2.62

42、 513.1 mm 即即对应的频率范围为对应的频率范围为maxminmin017634 MHzvf minmaxmax015848 MHzvf 6. 波导传输功率与损耗波导传输功率与损耗 根据电场及磁场的根据电场及磁场的横向横向分量，算出复能流密分量，算出复能流密度矢量，将其度矢量，将其实部实部沿沿横截面横截面积分，即可求得积分，即可求得传输传输功率功率。 当当矩形矩形波导传输波导传输TE10波时，求得的传输功率波时，求得的传输功率为为 TE202ZabEP 若波导中填充介质的若波导中填充介质的击穿场强击穿场强为为 ，则矩形，则矩形波导的波导的最大传输功率最大传输功率为为bETE2bb4Zab

43、EP 为了安全起见，通常取为了安全起见，通常取b5131PP 波导壁波导壁损耗的严格计算非常复杂，通常仍然利用损耗的严格计算非常复杂，通常仍然利用理想导电壁理想导电壁情况下的场强公式计算波导壁的损耗。情况下的场强公式计算波导壁的损耗。设衰减常数为设衰减常数为 ，则电场振幅可以表示为，则电场振幅可以表示为k zkEE e0传输功率传输功率可以表示为可以表示为zkPP 20e2EP 计算计算填充介质填充介质产生的损耗，仅以有耗介质的产生的损耗，仅以有耗介质的等效等效介电常数介电常数代替原来的介电常数即可代替原来的介电常数即可, ,je即即波导中的损耗主要来自波导中的损耗主要来自填充介质填充介质和和

44、波导壁波导壁。将上式对将上式对 z 求导，得求导，得单位长度单位长度内的功率衰减为内的功率衰减为PkzP 2此功率衰减就是单位长度内的功率损耗，即此功率衰减就是单位长度内的功率损耗，即PkPl 21zkPP 20e因此，衰减常数为因此，衰减常数为PPkl21 为了计算波导壁损耗，在宽为了计算波导壁损耗，在宽壁上取一小块导体，其长度及宽壁上取一小块导体，其长度及宽度均为度均为单位长度单位长度，深度等于，深度等于集肤集肤厚度厚度，如图所示。，如图所示。 zy111x 当当电流为电流为z 方向时方向时，该小，该小块导体的电阻为块导体的电阻为fSlRS1式中式中 为波导壁的电导率，为波导壁的电导率，R

45、S 称为称为表面电阻率表面电阻率。 zy111x 单位单位宽度宽度且单位且单位长度长度波导波导壁内的损耗功率为壁内的损耗功率为 SSlSRJP2式中，表面电流式中，表面电流 ，SSHeJn 为波导壁表面的磁场强度。为波导壁表面的磁场强度。SHf71052. 2f71061. 2f71026. 3铝铝铜铜银银RS金金 属属表面电阻率表面电阻率 当矩形波导尺当矩形波导尺寸一定时，寸一定时，TE10 波波的的损耗最小损耗最小。当宽。当宽壁尺寸一定时，窄壁尺寸一定时，窄壁愈窄，衰减愈大。壁愈窄，衰减愈大。 TM11 将将 沿单位长度波导沿单位长度波导内内壁进行积分，即可求得单壁进行积分，即可求得单位长

46、度内波导壁引起的损耗功率位长度内波导壁引起的损耗功率 。 lSP1lP 由左图可见，在高频端，由左图可见，在高频端， 圆波导中圆波导中TE01波波损耗最小损耗最小。 当横截面的面积相等时，当横截面的面积相等时，矩形的周长大于圆的周长，因矩形的周长大于圆的周长，因此，此，圆波导损耗较小圆波导损耗较小。 但是但是 TE01 波的截止波长波的截止波长并不是最长。若要实现并不是最长。若要实现 TE01 波波单模单模传输，必须设法传输，必须设法抑制抑制TM01、TE21及及TE11波。波。 椭圆波导椭圆波导既可避免场型偏转，又可获得较小既可避免场型偏转，又可获得较小的损耗。的损耗。 但是圆波导传输但是圆

47、波导传输TE11波时，其场分布会发生波时，其场分布会发生横向横向偏转偏转。 为了减少波导壁的损耗，应提高表面的为了减少波导壁的损耗，应提高表面的光洁度光洁度，可以镀可以镀银银或或金金。还可在波导中充入干燥的。还可在波导中充入干燥的惰性惰性气体气体以防止表面氧化。以防止表面氧化。 例例 计算矩形波导中传输计算矩形波导中传输TE10波时，波导壁波时，波导壁产生的衰减。产生的衰减。 aaxzlaxRJxRJP 0 0 S2SS2Sdd2 解解 已知当矩形波导传输已知当矩形波导传输 TE10 波时，波时， 波导波导宽壁宽壁上的电上的电流具有流具有 x 分量及分量及 z 分量，而窄分量，而窄壁上只有壁上

48、只有 y 分量。因此，分量。因此，单位单位长度长度内，内，宽壁宽壁上的损耗功率为上的损耗功率为式中，式中，xySzHeJzySxHeJ单位长度内单位长度内窄壁窄壁上的损耗功率为上的损耗功率为bylbyRJP 0 S2Sd2式中式中, ,zxyHeJSzyxPPkl21 再算出传输功率再算出传输功率P，即可求得，即可求得TE10波波衰减常数衰减常数为为 221221212aabaRPPkSl则单位长度内总损耗功率为则单位长度内总损耗功率为lblalPPP17. 谐振腔谐振腔 微波波段必须使用相应波段的传输线形成谐振器微波波段必须使用相应波段的传输线形成谐振器件，这种谐振器件称为件，这种谐振器件称

49、为谐振腔谐振腔。 因为随着频率升高，必须减小因为随着频率升高，必须减小 LC 谐振电路的电谐振电路的电感量和电容量，但是当感量和电容量，但是当 LC 很小时，很小时，分布参数分布参数的影响的影响不可忽略。电容器的不可忽略。电容器的引线电感引线电感、线圈之间以及器件之、线圈之间以及器件之间的间的分布电容分布电容必须考虑。必须考虑。 此外，随着频率升高，回路的此外，随着频率升高，回路的电磁辐射电磁辐射效应显著，效应显著，电容器中的电容器中的介质损耗介质损耗也随之增加，这些因素导致谐振也随之增加，这些因素导致谐振电路的品质因素电路的品质因素 Q 值显著下降。值显著下降。 当矩形波导终端当矩形波导终端

50、短路短路时，波导中形成时，波导中形成驻波驻波。若工作于。若工作于主模主模，TE10波的电场仅有横向分量，波的电场仅有横向分量，短路端短路端形成形成电场驻波电场驻波的的波节波节。dg /2baxyz 根据场强公式及边界条件，根据场强公式及边界条件，求得谐振腔中电磁场方程式为求得谐振腔中电磁场方程式为xaHHzkzkzzzcos)ee (jj0 xaaHkHzkzkzxzzsin)ee (jjj0 xaaHEzkzkyzzsin)ee (jjj0 在离短路端半个在离短路端半个波导波长波导波长处，又形成处，又形成第二个第二个电场驻波电场驻波的波节。若在此处放置一块横向短路片，仍然满足电场边的波节。若

51、在此处放置一块横向短路片，仍然满足电场边界条件。界条件。 xazkHHzzcos)sin(j20 xazkaHkHzzxsin)cos(j20 xazkaHEzysin)sin(20利用三角公式，上式又可写为利用三角公式，上式又可写为 可见，电场及磁场在可见，电场及磁场在 x 及及 z 方向上均形成方向上均形成驻波驻波，但，但两者两者时间时间相位差为相位差为 。2 电磁能量在电场与磁场之间不断地交换，这种现象电磁能量在电场与磁场之间不断地交换，这种现象称为称为谐振谐振。因此这种金属腔称为。因此这种金属腔称为谐振腔谐振腔。 电场能量达到电场能量达到最大值最大值时，磁场能量为时，磁场能量为零零；反

52、之，；反之，磁磁场场能量达到最大值时，能量达到最大值时，电场电场能量为零。能量为零。dg /2baxyz 对于对于尺寸一定尺寸一定的谐振腔，仅对的谐振腔，仅对特定的频率特定的频率出现谐出现谐振现象。发生谐振的频率称为振现象。发生谐振的频率称为谐振频率谐振频率，对应的波长，对应的波长称为称为谐振波长谐振波长。但是，只要谐振腔的长度但是，只要谐振腔的长度 , 3 , 2 , 1 ,2glld均可发生谐振。均可发生谐振。 波导波长与波导波长与模式模式有关，因此，有关，因此，模式模式不同，不同，谐振频率谐振频率也不同。也不同。当当 时，时， ， ，得，得2gld ldkzdlkz222dlbnamk2

53、222bnamkkz已知矩形波导中传播常数已知矩形波导中传播常数 为为zk因此，谐振腔的谐振频率具有因此，谐振腔的谐振频率具有多值性多值性。由由 ，求得，求得谐振波长谐振波长及及谐振频率谐振频率分别为分别为 fk222222dlbnammnl22221dlbnamfmnl可见，可见，谐振波长谐振波长或或谐振频率谐振频率与谐振腔的与谐振腔的尺寸尺寸及及模式模式有关，有关，每组（每组（mnl）对应于一种模式。）对应于一种模式。 为了有效地设计谐振腔的为了有效地设计谐振腔的耦合耦合及及调谐调谐装置，必须了装置，必须了解谐振腔中的解谐振腔中的场分布场分布。 TE101模式代表矩形波导谐振腔工作于模式代

54、表矩形波导谐振腔工作于TE10波，腔波，腔长为长为半个半个波导波长。波导波长。xzyxyzbad磁场线磁场线电场线电场线xazdAHzcos)sin(jxazdBHxsin)cos(jxazdCEysin)sin(场方程场方程及及场分布场分布如下：如下：dkdlnmz2 ,2 ),1, 0, 1(gg当矩形谐振腔工作模式为当矩形谐振腔工作模式为TE101时，则时，则 为了衡量谐振腔的损耗大小，通常使用为了衡量谐振腔的损耗大小，通常使用品质因品质因数数Q 值，其定义为值，其定义为lPWQ0式中，式中，0 为谐振角频率；为谐振角频率；W 为腔中为腔中总储能总储能，也就是，也就是电场储能的时间最大值

55、电场储能的时间最大值或或磁场储能的时间最大值；磁场储能的时间最大值；Pl 为腔中的为腔中的损耗功率损耗功率。 根据前述根据前述TE10波的波的场强公式，求出电场储能的场强公式，求出电场储能的时间最大值时间最大值为为22022032| HbdaW 采用采用波导壁波导壁的损耗计算方法，可以求出矩形的损耗计算方法，可以求出矩形谐振腔中谐振腔中TE101模式的模式的损耗功率损耗功率为为 2023333|222HRdbdaddabaPSl)22(43333233230bdaddabaRbdaQS求得矩形谐振腔工作于求得矩形谐振腔工作于TE101模式时的模式时的 Q 值为值为谐振角频率为谐振角频率为22101101112daf那么，那么，TE101模式的模式的Q 值可表示为值可表示为)22(4)(3333322101bdaddabaRdaZbQSZ 波导谐振腔可以获得波导谐振腔可以获得很高很高