第二章流体静力学_1 [修复的]

1、研究的内容：静压力分布规律、静止流体对固体的作用研究的内容：静压力分布规律、静止流体对固体的作用 力，测量压力的仪表的原理等。力，测量压力的仪表的原理等。- -欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式静止流体中取一微分六静止流体中取一微分六面体面体 dxdydz,dxdydz,()0ppdxdzpdy dxdzYdxdydzy第二章第二章 流体静力学流体静力学y y方向得平衡方程式为方向得平衡方程式为: :pppdyyyxzdydzdxA(x,y,z)化简后得：化简后得： 该式右边质量力，的分布通常是该式右边质量力，的分布通常是已知的，而左边各项表示流体中沿，已知的，而左边各项表示流体中沿，方向上

2、的压力梯度。该式表明，在平衡的情况方向上的压力梯度。该式表明，在平衡的情况下，压力梯度必须和质量力取得下，压力梯度必须和质量力取得平衡。平衡。 称为称为欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程。EulerEuler于于17751775年推导年推导. .,pppXYZxyzUUUXdx YdyZdzdUdxdydzxyz该式还可以变换成容易积分的形式。将该式该式还可以变换成容易积分的形式。将该式左右两边分别同乘以，然左右两边分别同乘以，然后相加，得：后相加，得：上式右边即为压力的全微分，故：上式右边即为压力的全微分，故： 称为欧拉平衡微分方程的称为欧拉平衡微分方程的综合形式综合形式。UUUXdx Ydy

3、ZdzdUdxdydzxyzUXxUYyUZz 对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，常量，上式左边常量，上式左边是一个函数的全微分，因此右边也必须是某个是一个函数的全微分，因此右边也必须是某个函数的全微分。这就是说，必须存在某个标函函数的全微分。这就是说，必须存在某个标函数（，），它满足：数（，），它满足：比较、和前面的系数，可得：比较、和前面的系数，可得：称为质量力势函数称为质量力势函数引进势函数之后，欧拉方程式变为：引进势函数之后，欧拉方程式变为： 即在该面上，常量，故，即在该面上，常量，故， 有势函数存在的力场，该力即称有势函数存在的力场，该力即称为有势力。不可压缩流体只有质量力是有势为

4、有势力。不可压缩流体只有质量力是有势力时才能处于平衡状态。例如重力就是一种力时才能处于平衡状态。例如重力就是一种有势有势力，故流体在重力作用下可以处于平衡状态。力，故流体在重力作用下可以处于平衡状态。有势力场有势力场: :压力相等之各点所组成的面压力相等之各点所组成的面等压面等压面: : 在流体静止时，质量力垂直于等压在流体静止时，质量力垂直于等压面，等压面与等势面重合。面，等压面与等势面重合。等压面特性等压面特性：证明：证明： 在等压面上取任一在等压面上取任一微弧，它在，轴微弧，它在，轴上的投影分别为上的投影分别为dx，dy，dz因此，沿微分弧长有：因此，沿微分弧长有：.pconstyxz(

5、 , , )F x y z( , , )ds x y zdsdxidyjdzk() ()0XdxYdyZdzXiYjZkdxidyjdzkf ds()0dpXdxYdyZdz例如，油罐车（或船舶油舱）静止时液面水平，例如，油罐车（或船舶油舱）静止时液面水平，以加速度作等加速线运动时，单位质量流体质以加速度作等加速线运动时，单位质量流体质点除受向下的质量力外，还受到惯性力，点除受向下的质量力外，还受到惯性力，其合力指向右下方。其合力指向右下方。arctanag 根据等压面必须垂直根据等压面必须垂直于质量力的原理，液面于质量力的原理，液面呈倾斜状态，而且其倾呈倾斜状态，而且其倾角角。aagF- -

6、 流体静力学基本方程式流体静力学基本方程式 坐标系如图，轴铅直向上，坐标系如图，轴铅直向上，xoy平面与容器底平面与容器底面相合。单位质量流体的重力是：面相合。单位质量流体的重力是： ，hyxz0zz代入平衡方程：代入平衡方程： d=gdz= g dz积分得积分得p= g由自由面上边界条件来确定。由自由面上边界条件来确定。pzCg在自由面上，在自由面上，0 0，0 0，则：，则： 0 0g0 0因此因此 p pp p0 0 g （0 0）令令0 0，有，有 p pp p0 0 g 上式即为流体静力学基本公式。上式即为流体静力学基本公式。- - 常用的测压仪表常用的测压仪表连通器原理连通器原理

7、连通器液体静止，等压面是连通器液体静止，等压面是水平面，任意一水平面水平面，任意一水平面上的压力上的压力: :1 1g1 1，或，或2 2g2 22 21 1 g（1 12 2） g水位计水位计 于是：于是：hh1p1p2h2aa假若假若p p2 2=p=p1 1，那么，那么h=0h=0。换句话说，对于相等的表面压力，。换句话说，对于相等的表面压力，两边液面的高度也相等，这就是连通器原理。两边液面的高度也相等，这就是连通器原理。水位计水位计：容器内液面和玻璃管内液面：容器内液面和玻璃管内液面上压力相同均为上压力相同均为p p0 0，根据连通器原理，根据连通器原理，二者液面高必须相同，因此玻璃管

8、中二者液面高必须相同，因此玻璃管中的液面高度就指示出容器中的水位。的液面高度就指示出容器中的水位。p0玻玻璃璃管管p0形测压计：形测压计： 形管一端通大气，另一端与存形管一端通大气，另一端与存有压力为，密度为有压力为，密度为的液体的容器相连。的液体的容器相连。12apghpgh得容器内压力（表压）：得容器内压力（表压）：21appghgh对形管两边和用静力学基本方程得：对形管两边和用静力学基本方程得：h2h1ABh1ppa2appgh若容器内为气体，压力可近似表达为：若容器内为气体，压力可近似表达为： 通常形管中使用的液体为酒精。酒精表面通常形管中使用的液体为酒精。酒精表面张力较小，其缺点是重

9、度较小。当被测的压力张力较小，其缺点是重度较小。当被测的压力较大时，为避免有过高的较大时，为避免有过高的h h2 2，可将形管中的，可将形管中的液体改为水银，也可采用由多个形管串接起液体改为水银，也可采用由多个形管串接起来的多管式测压计来的多管式测压计. .3 3差压计差压计：用于测量两点的压力差：用于测量两点的压力差对形管两边和对形管两边和由静力学基本方程得：由静力学基本方程得：12)ABpphbppghgb水汞水g(AB水流方向12hb由等压面知由等压面知12pp()ABppgh汞水所以所以1135224()()appg hhhg hh4.4.多管式测压计多管式测压计2h1h2h3h4h5

10、1pap当被测的压力较大时，为避免有过高的当被测的压力较大时，为避免有过高的h h2 2，可，可由多个形管串接起来的多管式测压计由多个形管串接起来的多管式测压计. .5 5 倾斜管微压计倾斜管微压计倾斜管微压计的结构如图倾斜管微压计的结构如图: :2Fhlf1sinhl12()( sin)appg hhfg llFsin(1)sinafppglFsinappglk1sinfkF 其中其中称为称为 校准系数校准系数, 其值不是根据面积和以及角其值不是根据面积和以及角度计算出来，而是根据实验来确定。度计算出来，而是根据实验来确定。2-4 2-4 静止流体对平板的作用力，压力中心静止流体对平板的作用

11、力，压力中心3.3.求静止流体对物体表面合压力的作用点（压力求静止流体对物体表面合压力的作用点（压力中心）的位置。中心）的位置。1.1.求静止流体中的压力分求静止流体中的压力分布布2.2.求静止流体对物体表面合压力（总压力）。求静止流体对物体表面合压力（总压力）。例如，在设计油库、储罐、桥墩、水坝、闸门以及潜艇例如，在设计油库、储罐、桥墩、水坝、闸门以及潜艇的壳体时，静水压力的计算都是必不可少的。的壳体时，静水压力的计算都是必不可少的。任务任务：如图平板浸没在静止流体中，微小面积如图平板浸没在静止流体中，微小面积A A上总上总压力是压力是p=p=dA=dA=（p p0 0gh h）dAdA =

12、 =0 0 dAdAgysindAysindA积分便得积分便得A上总压力上总压力大小为大小为00()sinAAAPpgh dAp dAgydA0sinApgydAAAydA：平面图形：平面图形A对水对水 平轴平轴ox的静矩的静矩hyp0 xdAy00sinccyPp Agp AAhgAh hc c：A A形心的垂直深度形心的垂直深度hyp0 xdAychccy2sinsinDoxAP ygy dAgI压力中心压力中心：合力作用点合力作用点. .力矩定理：合力对某轴之矩等于诸分力对该轴之矩力矩定理：合力对某轴之矩等于诸分力对该轴之矩由移轴定理有由移轴定理有: :2oxAIy dA平面图形平面图形

13、对对oxox轴的惯性矩轴的惯性矩2cxoxcIIAy过形心过形心C C并平行于并平行于x轴的惯性矩轴的惯性矩hyp0 xdAychccyDhDDyCxDCCIyyAy2sinsin()sinoxCCxDCIggAyIyPgyA于是有于是有合力的作用点永远合力的作用点永远在在A A形心的下方形心的下方因此因此hyp0 xdAychccyDhDDy3112CIBHccPgh Ap AcDCCIyyA y不计大气压力不计大气压力hyp0 xdAychccyDhDDyHBCD若为宽若为宽B 的矩形平板的矩形平板常见图形的yC和IC图形名称矩形三角形CyCI2h312bh23h336bh梯形圆半圆23a

14、bhab322436haabbab2d464d23d249641152d图解法图解法1122CCVSbgh h bghAgh Ap AP 作用点：V的形心处2h/3pgh平板上静水总压力平板上静水总压力=压强分布图形的体积压强分布图形的体积V2-52-5静止流体对曲面的作用力静止流体对曲面的作用力 1. 1. 总压力的水平分量：总压力的水平分量：d d=(=(a a+ +gh)dAcosh)dAcos(x.n)(x.n) =(=(a a+ + g) dA) dAx xaxzAxhdAbdphco()cos()xxxaaxAAaxxaxcxAPpgh dApgh dAp AghdAp Agh A

15、xcxPgh A若不计大气压作用同理同理, ,对对yozyoz坐标平面上的二维曲面（或三维曲坐标平面上的二维曲面（或三维曲面）合力在面）合力在y y方向的分量方向的分量: :d dy y=(=(a ag)dA cos)dA cos(y,n)(y,n) =(=(a a g) dAy) dAy()cos()yyyaayAAayyaycyAPpgh dApgh dAp AghdAp Agh AycyPgh A若不计大气压作用合压力在合压力在z z方向的分量方向的分量: :d dz z=(=(a ag)dA cos)dA cos(z,n)(z,n)=(=(a ag)dAz)dAz()cos()zaaz

16、AAzazAPpgh dApgh dAp Ag hdAzbaxAzhdAdpocd曲面曲面abab以上到自由液面以上到自由液面的体积的体积abcd abcd 称为称为压力体压力体zAVhdA 实压力体实压力体V压力体压力体 所以合压力在z方向的分量为zazPp AgV不考虑大气压力的作用不考虑大气压力的作用, ,则为则为zPgV 压力体是由受力曲面、液体自由表面（或其压力体是由受力曲面、液体自由表面（或其延长面）以及两者间的铅垂面所围成的封闭体延长面）以及两者间的铅垂面所围成的封闭体积。压力体是从积分积。压力体是从积分 得到的一个体积，得到的一个体积，是一个纯数学的概念，与体积内有无液体无关。

17、是一个纯数学的概念，与体积内有无液体无关。zhdA 虚压力体虚压力体222xyzPPPP三维曲面上总压力：注意注意: :2.2.对三维曲面水平方向两个分力的计算公式如下对三维曲面水平方向两个分力的计算公式如下cyyPgh AcxxPgh A: : 一般情况下是不同的一般情况下是不同的ch1.1.如果为二维曲面如果为二维曲面, ,则合力简化为两个方向的分力则合力简化为两个方向的分力 沉没于液体中的物体受到浮力（垂直向上沉没于液体中的物体受到浮力（垂直向上的合压力）的大小等于该物体所排开液体的重的合压力）的大小等于该物体所排开液体的重量，浮力的作用点称为浮心，为物体的形心。量，浮力的作用点称为浮心

18、，为物体的形心。浮力的本质：浮力的本质：物体上下表面受到物体上下表面受到的静水压力差。的静水压力差。2-6 2-6 阿基米德原理阿基米德原理2100010220000/ApghNm例例 2.1 2.1 如图所示，求、如图所示，求、D D点的相对压力。点的相对压力。23200003000010000/BAppgN m CBpp2340000/DCppgN m 例例 2.2 2.2 如图如图2-162-16所示单位长半圆弧面浸没在重所示单位长半圆弧面浸没在重度为度为的流体中，周围都是大气压力的流体中，周围都是大气压力a a，求单位，求单位长半圆弧面上所受流体作用的总压力长半圆弧面上所受流体作用的总压力d/2dxz0p0p22281 61 6zPg Vddggdg2223()24 2288xaadd dddPp dgdp dgggd解：解：22223616xzPPPd例例 2.3 挡水板如图所示，上部是重挡水板如图所示，上部是重 度为度为1的