东北大学线性代数_第六章课后习题详解 二次型

1、教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章 二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.一、二次

2、型与合同变换1. 二次型n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a1nx1xn+2an-1 nxn-1xn (6.1)称为一个n元二次型.当系数aij均为实数时，称为n元实二次型. (P131 定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.设，那么f(x1,x2,xn)=xTAx. (6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1 P132)二次型f与对称矩阵A一一对应，故称A是二次型f的矩阵，f是对称矩阵A的二次型，且称A的秩R(A)为二次型f的秩. (定义6.2 P132)由于二次型与对称矩阵是一

3、一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2 仅含平方项的二次型f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2 (6.3)称为标准形.系数a11,a22,ann仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P133)这是因为.2. 合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义6.3 设A,B是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使B=CTAC，则称A与B是合同的，或称矩阵B是A的合

4、同矩阵.对A做运算CTAC称为对A进行合同变换，并称C是把A变为B的合同变换矩阵. (定义6.4 P133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P134)A与B合同 可逆矩阵C，B=CTACA与B等价 可逆矩阵P,Q，B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P137)正交矩阵Q，Q-1AQ= QTAQ=B A与B既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.如果B是对角矩阵，则称f=yTBy是f=xTAx的标准形.

5、二、用正交变换化二次型为标准形1. 原理由第五章第三节知：对于实对称阵A，存在正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵(对角线上的元素为A的n个特征值).因此，二次型f=xTAx经正交变换x=Qy就能化为标准形f=yT(QTAQ)y=yT(Q-1AQ)y.定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P134)推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P137)推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，

6、正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=xTAx为标准形的过程与将实对称阵A正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A的全部互异特征值1,2,s；(2)求齐次线性方程组(iE-A)x=(i=1,2,s)的基础解系(即求A的n个线性无关特征向量)；(3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n个正交规范的线性无关特征向量1,2,n；(4)正交相似变换矩阵Q=(1,2,n)，正交相似变换x=Qy把二次型f=xTAx变为标准形f=yT(QTAQ)y.例6.2(例6.2 P134)例6.3(例6.3 P135

7、)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4 P139)例6.5(例6.5 P139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形：(1)二次型中含有平方项 例如，若二次型中含有平方项a11x12，则把所有含x1的项集中起来配方，接下来考虑a22x22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a12x1 x2，则令那么关于变量y1,y2,yn的二次型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型1. 惯性定理虽然把二次型化为

8、标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=xTAx的秩为r，且在不同的可逆线性变换x=Cy和x=Dy下的标准形分别为f=1y12+2y22+ryr2, i0，f=1y12+2y22+ryr2, i0，则1,2,r与1,2,r中正数的个数相同. (定理6.3 P142)定义6.4 二次型f的标准形中的正(负)系数的个数称为f的正(负)惯性指数. (定义6.5 P143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论 n阶实对称阵A与B合同的充分必要条件是A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P1

9、43)正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数，负惯性指数=负特征值的个数.2. 二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P143)由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4 n元实二次型f=xTAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是f的正(负)惯性指数等于n. (定理6.4 P143)定理6.5 n元实二次型f=xTAx为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f的正(负)惯性指数小于n，且负(正)惯性指数为0. (推论1 P143)推论2 n阶实对称阵A正定(负定)的充分必要条件是A的n

10、个特征值全是正数(负数)；A半正定(半负定)的充分必要条件是A的n个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数). (推论2 P143)例6.6(例6.6 P143)例6.7(例6.7 P144)例6.8(例6.8 P144)例6.9(例6.9 P144)定义6.4 设A=(aij)n，则行列式称为A的k阶顺序主子式. (定义6.8 P144)定理6.6 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零；A负定的充分必要条件是A的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零. (定理6.5 P144)例6.10(例6.10 P145)五、二次型应用实例6-1 二次曲面图形的判定

11、六、习题(P148)选择题：1.提示： |1|=1>0, , 选D2.提示：f(x1,x2,x3)= x12+2x22+3x32-2x1x2+2x2x3 =(x1-x2)2+(x2+x3)2+2x32 正惯性指数为3，故选A3.提示：方法一 特征值为2,-1,-1，故选C. 方法二 |0|=0，排除A,B , |A|=2>0，排除D 选C4. B填空题：1.提示：f(x1,x2,x3)= x12+2x22+3x32+4x1x2+8x1x3-2x2x3.2. .错误的解答：3.提示： 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3. 事实上，线性变换y1= x1+x2, y2= x2-x

12、3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、对称 A-1=(A-1)TAA-1 x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值为t-1, t-2, t-n t >n.6.提示：方法一 与相似 3a=6 a=2 方法二 f(y1,y2,y3) =6y12 A有2个0特征值 R(A)=1 a=2方法三 f(y1,y2,y3)=6y12 A的特征值为6,0,0二次型的特征值为a+4, a-2, a-2 a+4=0, a-2=0 a=27.提示：A的各行元素之和为3 A(1,1,1)T=3(1,1,1)TR(f)=1 3是A的唯一非零特征值 标准形为f(y1,y2,y3)=

13、3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见P134-135的例6.2、例6.32.参见P139的例6.4、例6.53.参见P145的例6.104.(1)|5|=5>0, , t>2(2)|1|=1>0, , -4/5<t<05.提示：f=xTAx=xTUTUx=|Ux|20.因为U可逆，故当x时，Ux，从而f=|Ux|2>0，所以f为正定二次型(A=UTU是正定矩阵).6.提示：因为A正定，故存在正交矩阵Q和正定对角矩阵D=diag(1,2,n)，使A=QDQT.令D1=diag()，则A=QDQT= QD1

14、D1TQT=UTU，其中U=(QD1)T.5、6两题表明A是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U使A=UTU.7.提示：设对称矩阵A与矩阵B合同，则存在可逆矩阵C，使CTAC=B. BT=(CTAC)T=CTAC=B，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一 矩阵A与矩阵-A合同，则存在可逆矩阵C，使CTAC=-A.从而|CTAC|=|-A| |C|2·|A|=(-1)n|A| |A|(|C|2-(-1)n)=0|C|2=(-1)n |C|2>0，故n为偶数 方法二 A的正惯性指数= -A的负惯性指数A的负惯性指数= -A的正惯性指数A与-A合同 A与-A有相同

15、的正惯性指数和负惯性指数 A的正惯性指数= A的负惯性指数 n为偶数9.提示：因为R(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.)余下略.10.提示：与相似余下略.11. 提示：与相似余下略.12.提示：(1)A的特征值为1,1,0，Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为(2/2,0,-2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)QT=.(2)A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵.13.提示：(1)A的特征值为a-2,a,a+1.(2)二次型f的规范形为f(y1,y2,y3)=y12+y22，所以A有2个正

16、特征值，一个0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A正定 A的任意特征值>0 |A|>0 A-1的任意特征值1/>0 A-1正定 A*的任意特征值|A|/>0 A*正定15.提示：x，xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 A+B正定16.提示：A与对角矩阵diag(1,2,n) (12n)相似 正交矩阵Q，QAQ=diag(1,2,n)当分别取和时，得.17.提示：设是A的特征值，则3+2+-3=0，的值为1或复数. 因为A是实对称矩阵，所以A的特征值全为1，因此A为正定矩阵.18.提示：A,B实对称 A,B的特征

17、值都是实数A的特征值都大于a，B的特征值都大于b A-aE和B-bE正定 (若是A的特征值，则-a是A-aE的特征值) (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E正定 A+B的特征值都大于a+b.19.提示：必要性 设R(A)=n，令B=A，则AB+BTA=2A2为正定矩阵.充分性 设AB+BTA是正定矩阵，若R(A)<n，那么Ax=有非零解y. 因此，yT(AB+BTA)y=(Ay)TBy+ yTBT(Ay)=，这与AB+BTA正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考虑二次型g(x,y,z)=2x2+4y2+5z2-4xz，由于， A的特征值全为正数 g(x,y,z)=2

18、x2+4y2+5z2-4xz是椭球曲面 f(x,y,z)=2x2+4y2+5z2-4xz+2x-4y+1是椭球曲面附加题：1.设A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵，证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件为R(B)=n.提示：BTAB正定 x, xTBTABx=(Bx)TA(Bx)>0 x，有Bx Bx=只有零解 R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例6.1 设, 则在实数

19、域上与A合同的矩阵为D.(A); (B); (C); (D).(2008 数二 三 四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数与负惯性指数.故选D.例6.2 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.(1)求a的值；(2)求正交变换x=Qy，把f化成标准形；(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解. (2005 数一)解 (1) 1+a=1-a a=0(2) 略.(3) f(x1,x2,x3)=0 (x1+x2)2+2x32=0 x1=-x2, x3=0 解为k(-1,1,0)T, kR例6.3

20、若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y12+4z12=4，则a= 1 . (2011 数一)提示：二次型f(x,y,z)=x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz经正交变换化为标准形f=y12+4z12，因此二次型矩阵与相似.所以.例6.4 设矩阵，则A与BB.(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 数一）解 即A的特征值为0,3,3.故A与B不相似.由于A与B有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A与B合同.故选B.例6.5 设A为3阶非零矩阵，如果二次曲面在正交变换下的标准方程的图形如下图，