线性代数总结

1、线性代数总结在学习线性代数之前就有几个老师说过线性代数并不比高数简单，我就这样半信半疑的开启了学习这门课的旅程。在这本书的第一章中，我们主要学了以下几点：一、 利用对角线法则计算二阶和三阶行列式。二、 n阶行列式的定义及性质。三、 代数余子式的定义及性质。四、 计算简单的n阶行列式的方法和克拉默法则。 在这第一章中还有一些细节值得我们注意：1、 行列式展开的每项均由不同行不同列的元素组成。2、 进行列式的初等变换时ri+rj与rj+ri的区别。3、 特殊行列式如范德蒙德行列式的公式。4、 上三角行列式与下三角行列式的特殊应用。第二章我们主要学习了矩阵及其运算方法，主要内容如下：一、同型矩阵（两

2、个行列式的行数和列数均相等）、零矩阵（元素均为0）、对角矩阵（不在对角线上的元素都为0）、单位矩阵（对角线上的元素都为1的对角矩阵）、对称矩阵(AT=A,其元素以对角线为对称轴相对应)等特殊矩阵的定义。二、如何计算矩阵的加法、数乘、转置以及矩阵间的乘法。三、可逆矩阵和伴随矩阵的概念和性质及其之间的联系。四、分块矩阵的概念及其运算规律，行向量组与列向量组。同样第二章中也有一些细节，如：1、 利用A=PBP-1则f(A)=Pf(B)P-1计算矩阵的多项式。2、 |A*| = |A|(n-1)，|b*A|=bn|A| 其中n是方阵A的阶数。3、 矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。4、 矩

3、阵|A|=0的充分必要条件是ATA=0。5、 |A|=0时，A成为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。在第三章里老师向我们介绍了矩阵的初等变换与线性方程组，以下是主要内容：一、 利用初等行变换将矩阵转化为行阶梯形和行最简形。二、 矩阵的秩的概念及其性质，矩阵等价的定义及其充要条件。三、 线性方程组解的无解、有唯一解和有无限个解的充要条件以及当矩阵为方阵时的特殊情况。四、 矩阵方程AX=B有解的充要条件和求解线性方程组的方法。在这一章中有几点值得我们特别注意：1、 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数。2、 经有限次初等行变换矩阵的秩不变。3、 当进行初等行变换时如果进行初等列变换，化成的行最简行会发生变化

4、。4、 AB=0，且A为列满秩矩阵，则B=0。5、 在矩阵Am*n的左边乘以m阶初等矩阵即进行了一次初等行变换，右乘n阶矩阵则进行一次初等列变换。很快我们进入到了这门课的主干部分，我们学习了向量组的线性相关性，以下是主要内容；1、 向量组的概念以及与矩阵的对应，向量组的线性组合概念。2、 向量组间能线性表示的概念及其充要条件以及向量组等价的概念。3、 向量组线性相关与线性无关的充要条件以及向量组的线性相关性的一些性质。4、 向量组的最大无关组和秩的概念以及如何利用初等变换来求。5、 基础解系、通解的概念以及求线性方程组的基础解系、通解的方法。6、 向量空间以及其基和维、解空间的概念，如何求向量

5、在一个基中的坐标。同样在这一章中也有值得我们注意的地方。1、 当方程组中有“多余的”方程时，方程组则是线性相关的，否则是线性无关的。2、 含零向量的向量组是线性相关的。3、 向量组的最大无关组一般不是唯一的。4、 向量组A和自己的最大无关向量组等价。5、 过渡矩阵的求法。之后我们学习了第五章，也是我们所学习的最后一章。其主要内容如下：1、 向量内积、长度、正交、规范正交基、正交矩阵的概念以及 施密特正交化的方法。2、 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及其求法。3、 相似矩阵的概念和性质，矩阵可对角化的充要条件。4、 对称矩阵的概念及有关其特征值的性质，将对称矩阵转化为 对角阵的方法。5、 用

6、矩阵表示二次型的方法及将二次型化为标准型的方法。6、 二次型及矩阵正定、负定的概念及其充要条件。在第五章中也有一些细节值得我们注意：1、 内积的一些运算规律和施瓦茨不等式。2、 向量长度的性质包括三角不等式。3、 实行正交变换时保持向量长度不变。4、 若z为矩阵A的特征值，则zk是Ak的特征值，f(z)是f(A)的特征值。5、 A、B矩阵合同的条件以及性质。6、 判断某二次型是否正定即判断其矩阵是否正定即需要判断矩阵的各阶主子式的值。注意：1、 遇到行列式时，注意是要求出它的值时要进行行列式的展开，不能什么都想着进行初等行变换。2、 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为0. 若系数行列

7、式的值不为0，则其只有零解。 三、若AB=BA，则A和B是可交换的。 矩阵A的逆矩阵是唯一的。 若矩阵A的行列式不为0或存在有限个初等矩阵P1，P2.Pl,使A=P1P2.Pl或矩阵A和单位矩阵E等价，则该矩阵可逆且该矩阵的 逆矩阵也是可逆的,该矩阵的转置矩阵也是可逆的。 求矩阵的逆矩阵时要先求该矩阵的行列式的值，判断是否可逆。 矩阵A和B等价的条件是矩阵A可以经过初等变换变成矩阵B。 矩阵的等价关系具有反身性、对称性、传递性。 进行初等行变换时通常都将矩阵转化为行最简形，其特点是非零行的第一个非零元素为1且非零元素所在列的其他元素均为0. 可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。 行阶梯形矩阵中，其秩即

8、为非零行的行数。 经有限次初等行变换矩阵的秩不变，即等价矩阵的秩相等。 向量组B(A)能由向量组A(B)线性表示的充要条件：R（A(B)=R(A,B) 当某一方程组含有多余的方程时，该方程组线性相关，否则线性无关。 向量组A线性相关的充要条件，R（A）<向量组中向量的个数。 M个a向量组成的向量组A线性相关，则M+1个a向量组成的向量组B也线性相关。 含零向量的向量组线性相关。 矩阵A的最高阶非零子式所在的r列即为A的列向量组的一个最大无关组。 向量组的最大无关向量组一般不是唯一的。 向量组和自己的最大无关向量组是等价的。 等价向量组的秩相等。 解向量对加法和数乘运算是封闭的。 当R（A

9、）=n时，齐次线性方程组只有零解，没有基础解系。 方阵A为正交阵的充要条件：A的列向量均为单位向量且两两正交。 正交变换过程中保持向量的长度不变。 若方阵特征值各不相等，则其所对应的特征向量组成的向量组线性无关且其特征向量两两正交。 基础解系和通解都是不唯一的。 相似矩阵的特征多项式相同，且特征值也相同。- 矩阵能对角化的充要条件：矩阵有n个线性无关的特征向量。 Max(R(A),R(B)<=R(A,B)<=R(A) + R(B) R(A)<=R(A,b)<=R(A) +1 R(A+B)<=R(A)+R(B) R(AB)<=min(R(A),R(B) 若Am

10、*n* Bn*l = 0,则R(A)+R(B)<=n 若AB=0，若A为可逆矩阵，则B=0 四、矩阵的运算法则： A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) (ab）A=a(b A) (a+b）A=a A+b A a(A+B)=a A+a B 一般情况下 AB< > BA (AB)k<>Ak Bk 可能有 A<>0,B<>0,但BA=0 （AB）C= A(B C) a(AB)=(a A)B=A(a B) A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA (a En)An=a An=An(a En) AkAl = A k+l (Ak)l

11、 = Akl (AT) T=A (A+B)T = AT +BT (a A)T = a AT (AB)T = BTAT |AT|=|A| |aA|=an|A| |AB|=|A|B| AA*=A*A=|A|E A-1 = 1/|A| A* （A-1）-1 = A (aA)-1 = 1/a A -1 (AB)-1 = B-1A-1 (AT)-1=(A-1)T R(AT) = R(A) 五、易混概念集合 解向量：方程组Ax=b的解称为方程组的解向量。 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。 最高阶非零子式：在矩阵A中有一个不为0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全为0，则D为A的最高阶非零子式

12、。 满秩矩阵：即可逆矩阵。 奇异矩阵：即不可逆矩阵，即降秩矩阵。 等价矩阵：矩阵A可以经过初等变换变成矩阵B或存在可逆矩阵P、Q使得PAQ=B。 向量组：若干个同维数的列向量或行向量所组成的集合。 线性表示：83页 向量组等价：矩阵能相互线性表示。 线性相关：87页 最大线性无关组：向量组A中选出的r个向量线性无关，任意r+1个向量线性相关或任意向量组A中任意向量都可以用这r个向量线性表示。 基础解系：齐次线性方程组的解集的最大无关组即线性方程组的基础解系。 向量空间：若V为n维向量的集合，且集合非空，且集合对向量的加法和数乘封闭，则称集合V为向量空间。 基：向量组的最大无关组即为V的基。 维数：即向量组的最大无关组的秩。 解空间：齐次线性方程组的解集是一个向量空间，即为该方程组的解空间。 正交：两向量组内积为0.即ATB=0 正交矩阵：ATA=E即A-1=AT 相似矩阵：存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A和B相似。 合同：存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，则矩阵A和B合同。若A为对称矩阵，则B也为对称矩阵