有限元大作业

1、1推导有限元计算格式，理解有限元原理： 建立图示受拉直杆在自重（设单位长度重度为q，截面积为A）和外力P作用下的拉伸问题的微分方程，并分别利用不同的原理（变分求极值（最小势能或虚功原理）、加权残值法）推导有限元计算格式（取两个单元）。手工求出端点的位移（自己给定参数值）。设杆长为L，截面面积为A(x)，弹性模数为E,单位长重量q ，受拉杆x处的位移为u(x)。取微元dx的力平衡，建立受拉杆位移所满足的微分方程 ，dx上下截面内力与微元自重相等得 得解析解：将其分为两个单元，节点为1,2,3，得有限元法：1)位移函数 得令 2)应变、应力表达 3)势能表示4)单元平衡方程a)最小势能原理 b)虚

2、位移原理 由虚位移任意性得，积分得 记为同理 可得： 与解析解结果一致。试题1：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较：1） 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（注意ANSYS中用四边形单元退化为三节点三角形单元）2） 分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；3） 当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。答：1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（注意ANSYS中用四边形单元退化为三节点三角形单元）A 问题描述三角形大坝无限长，

3、可取大坝的界面，并视为平面应力应变问题。B 有限元建模1.1 建立一个工程名为quiz1 的工程， 在preference( 过滤) 选项中选择structural（结构）,过滤掉其他的物理问题；1.2 在命令栏中输入/PREP7,进入前处理阶段；1.3 接着就在material prop（材料）选项中选择弹性、线性、各向异性材料，同时为其配置杨氏弹性模量2.1e11和泊松比0.3；1.4 配置完之后就要开始进行模型的建立，根据大坝的尺寸建立模型；1.5 三节点常应变三角形单元采用确定边长后用Tri,free划分，六节点三角形单元将单元节点的配置改为ET，1，PLANE42即可，其他与常应变三

4、角形单元一致；1.6 求解和查看结果。图1.1 模型图C 计算结果及结果分析1) 采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 (a) (b) (c) (d) (e) (f)图1.2 3节点计算结果（a）变形图（b）X方向节点位移图（c）Y方向节点位移图（d）X方向节点应力图（e）Y方向节点应力图（f）Z方向节点应力图 图1.3 6节点计算结果（a）变形图（b）X方向节点位移图（c）Y方向节点位移图（d）X方向节点应力图（e）Y方向节点应力图（d）Von mises应力图分别采用相同的单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元的计算结果如下表1.1。单元类型变形大小节点位移节点应

5、力X方向Y方向X方向Y方向Von mises三节点三角形单元DMX=0.134E-5DMX=0.134E-5SMX=0.130E-5SMN=-0.339E-6SMX=0.657E-7SMN=-5782.27SMX=2283.17SMN=-18151.3SMX=5809.65SMN=690.95SMX=14648六节点三角形单元DMX=0.144E-5DMX=0.144E-5SMX=-0.139E-5SMN=-0.376E-6SMX=0.7E-7SMN=-4077.74SMX=1606.24SMN=-17828.3SMX=5787.56SMN=660.069SMX=17812.2表1.1 相同的

6、单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元的计算结果2) 不同数量的三节点常应变单元计算 (a) (b) (c) (d) (e) (f)图1.4 多节点数计算结果（a）变形图（b）X方向节点位移图（c）Y方向节点位移图（d）X方向节点应力图（c）Y方向节点应力图（d）Von mises应力图分别采用相同的不同单元数目的三节点常应变单元计算结果如下表1.2。单元类型变形大小节点位移节点应力X方向Y方向X方向Y方向Von mises三节点三角形单元DMX=0.134E-5DMX=0.134E-5SMX=0.130E-5SMN=-0.339E-6SMX=0.657E-7SMN=-5782.27SM

7、X=2283.17SMN=-18151.3SMX=5809.65SMN=690.95SMX=14648六节点三角形单元DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.142E-5SMN=-0.373E-6SMX=0.705E-7SMN=-8042.38SMX=2491.95SMN=-23131.4SMX=6305.1SMN=345.475SMX=18440.7表1.2 相同的单元数目的不同数量单元的计算结果根据不同单元数量的计算结果，随着单元数的增加，计算结果呈单向变化。可知单元数越多，计算结果越精确。3）采用不同划分方案计算 方案一 方案二 （a） (b) (c) (d) (e

8、) (f)图1.5 方案一计算结果（a）变形图（b）X方向节点位移图（c）Y方向节点位移图（d）X方向节点应力图（c）Y方向节点应力图（d）Von mises应力图 （a） (b) (c) (d) (e) (f)图1.2 方案二计算结果（a）变形图（b）X方向节点位移图（c）Y方向节点位移图（d）X方向节点应力图（c）Y方向节点应力图（d）Von mises应力图分别采用相同的不同单元数目的三节点常应变单元计算结果如下表1.3。单元类型变形大小节点位移节点应力X方向Y方向X方向Y方向Von mises方案一DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.143E-5SMN=-0.

9、375E-6SMX=0.697E-7SMN=-7925.18SMX=2562.66SMN=-23020.2SMX=6380.43SMN=345.475SMX=18426.5方案二DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.142E-5SMN=-0.375E-6SMX=0.704E-7SMN=-7988.35SMX=2463.79SMN=-22904.2SMX=6335.71SMN=345.475SMX=18440.7表1.3 相同的单元数目的不同数量单元的计算结果可以看出，两种划分方案的计算结果中，X/Y方向的节点位移接近，而节点应力部分相应的值也都比较接近。试题2：图示薄板

10、左边固定，右边受均布压力P=100Kn/m作用，板厚度为0.3cm；试采用如下方案，对其进行有限元分析，并对结果进行比较。1）三节点常应变单元；（2个和200个单元）2）四节点矩形单元；（1个和50个单元）3）八节点等参单元。（1个和20个单元）答：1） 三节点常应变单元； A、 问题描述及数学建模题中给出的是一个平面应力应变问题，左边受固定约束，右边施加P=100kn/m的均布载荷。B、 建模及计算过程假定薄板的材料为钢，杨氏模量E=210GPa，泊松比v=0.3，使用solid单元的4节点42单元退化得到三节点常应变单元。C、 计算结果及分析其中使用2个三节点常应变单元的计算的几何模型如图

11、2.1所示。图2.1 4节点2单元几何模型计算结果如图2.2所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 图2.2 2个三节点常应变单元的计算a）变形图 （b）X方向节点位移图 （c）Y方向节点位移图 （d）X方向节点应力图 （c）Y方向节点应力图 （d）Z方向节点应力图使用200单元的计算结果如图2.3所示。 （a） （b） （c） （a） （b） （c） 图2.3 200个三节点常应变单元的计算a）变形图 （b）X方向节点位移图 （c）Y方向节点位移图 （d）X方向节点应力图 （c）Y方向节点应力图 （d）von mises应力图单元数目变形大小节点位移节点应力X方向Y方向X方向

12、Y方向von mises2单元DMX=0.742E-6DMX=0.742E-6SMN=0.725E-6SMN=-0.829E-7SMX=0.156E-6SMN=-103346SMX=-96653.6SMN=-28996。1SMX=5949.06SMN=86254.5SMX=100801200单元DMX=0.742E-6DMX=0.742E-6SMX=-0.723E-6SMN=-0.139E-6SMX=0.163E-6SMN=-111116SMX=-90306.6SMN=-33334.7SMX=1762.98SMN=-86602.5SMX=104805由对比可以看出，两种不同数目单元的计算结果在

13、Y方向的位移都显现出了不对称性，与老师上课所讲的例子出现一样的结果，这是由于单元类型的原因，此例采用三角形单元会出现这样的误差。 2） 四节点矩形单元（1个和50个单元）1个单元的计算结果如下图2.4所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 图2.4 1个四节点常应变单元的计算a）变形图 （b）X方向节点位移图 （c）Y方向节点位移图 （d）X方向节点应力图 （c）Y方向节点应力图 （d）von mises应力图50个四节点矩形单元的计算结果如下图2.5所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 图2.5 50个四节点常应变单元的计算a）变形图 （b）X方向节点位移图

14、 （c）Y方向节点位移图 （d）X方向节点应力图 （c）Y方向节点应力图 （d）von mises节点应力图单元数目变形大小节点位移节点应力X方向Y方向X方向Y方向von mises1单元DMX=0.713E-6DMX=0.742E-6SMN=-0.690E-6SMN=-0.179E-6SMX=0.179E-6SMN=-106204SMX=-93796.3SMN=-31861.1SMX=9497.06SMN=105081SMX=10743650单元DMX=0.732E-6DMX=0.742E-6SMX=-0.716E-6SMN=-0.154E-6SMX=0.154E-6SMN=-127278S

15、MX=-94304.2SMN=-38183.3SMX=4526.3SMN=86354.8SMX=120532可以看出，50个四节点单元的计算结果比1个四节点单元的结果在x方向、y方向和von mises应力都表现出更加细致的信息，结果更加精确。 3） 八节点等参单元。（1个和20个单元）1个八节点等参单元（在ANSYS中选择8node183）的计算结果如图2.6所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 图2.6 1个八节点等参单元的计算a）变形图 （b）X方向节点位移图 （c）Y方向节点位移图 （d）X方向节点应力图 （c）Y方向节点应力图 （d）von mises应力图20个八

16、节点等参单元的计算结果如图2.7所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 图2.6 20个八节点等参单元的计算a）变形图 （b）X方向节点位移图 （c）Y方向节点位移图 （d）X方向节点应力图 （c）Y方向节点应力图 （d）von mises应力图单元数目变形大小节点位移节点应力X方向Y方向X方向Y方向von mises1单元DMX=0.728E-6DMX=0.728E-6SMN=-0.715E-6SMN=-0.133E-6SMX=0.133E-6SMN=-100000SMX=-100000SMN=-21011.7SMX=7003.89SMN=98309.7SMX=1052642

17、0单元DMX=0.733E-6DMX=0.733E-6SMX=-0.716E-6SMN=-0.154E-6SMX=0.154E-6SMN=-132258SMX=-90206.2SMN=-34114.6SMX=7379.44SMN=82284.1SMX=131091可以看出单元数越多，所能表征的几点位移或应力细节越丰富，所得结果也越精确。试题3：图示一简化直齿轮轮齿截面，高h=60mm，齿根宽b=60mm，齿顶宽c=25mm，齿顶作用力P=10Kn；试采用不同单元分析轮齿上位移及应力分布，并只指出最大应力位置。 解：分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元和四节点单元计算；A、

18、问题描述及数学建模题中给出的是一个平面应变问题。 B、 建模及计算过程假定薄板的材料为钢，查阅相关资料可得钢的杨氏模量E=210GPa，泊松比v=0.3，使用solid单元的4节点42单元退化得到三节点常应变单元。其中斜力加载方法：1.激活工作平面WorkPlaneChange Active CS toWorking Plane2.工作坐标系调整：WorkPlaneOffset WP by Increments.3.建立局部柱坐标系：WorkPlaneLocal Coordinate SystemsCreate Local CSAt WP Origin4.选择加载对象5.节点坐标系设置（保持与

19、局部坐标系一致）Main MenuPreprocessorModelingCreateNodesRotate Node CS To Active CS6.加载斜力，即可！ 其中使用三节点常应变单元的计算的几何模型及局部放大如图3.1所示。图3.1 三节点常应变单元建模和加载力图C、 计算结果及分析 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 图3.2 三节点常应变单元的计算结果a）变形图 （b）X方向节点位移图 （c）Y方向节点位移图 （d）X方向节点应力图 （c）Y方向节点应力图 （d）von mises应力图使用六节点三角形单元的计算结果如下图3.3所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 图3.3 六节点三角形单元的计算结果a）变形图 （b）X方向节点位移图 （c）Y方向节点位移图 （d）X方向节点应力图 （c）Y方向节点应力图 （d）von mises应力图使用四节点单元的计算结