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文档简介
1、函数周期性与对称性(同号看周期,异号看对称)编号周 期 性对 称 性1T=2对称轴Û是偶函数;对称中心(a,0)Û是奇函数2T=对称轴;对称中心;3f(x)= -f(x+a)T=2f(x)= -f(-x+a)对称中心4T=2对称中心5f(x) +f(-x+a)= b对称中心函数的周期性主要结论1如果函数对于一切xR,都有 (),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数2如果函数 对于一切xR, 都有f(a+x)=f(b-x)成立,那么函数的图像关于直线x=(由x=确定)对称3. 如果函数对于一切xR, 都有成立, 那么函数的图像关于点对称4.两个函数图像之间的对称性(
2、1)函数 与函数的图像关于直线 (即y轴)对称;函数 与函数的图像关于直线; 函数 与函数图像关于坐标原点对称。(2)函数,的图像关于直线(由确定)对称(3)函数与函数的图像关于直线对称(由确定(4)函数与函数的图像关于点中心对称5.左加右减(对一个x而言),上加下减(对解析式而言):若将函数的图像右移a、上移b个单位,得到函数的图像;若将曲线的图像右移a、上移b个单位,得到曲线的图像6.函数的图像是把的图像沿x轴向左平移a个单位得到的;函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的;函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的7.定义:对于函数,如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的
3、每一个值时,都有,则的最小正周期为T,T为这个函数的一个周期8.如果函数是R上的奇函数,且最小正周期为T,那么9. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期,如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为,如果是周期函数,那么的定义域无界10.关于函数的周期性的几个重要性质:(1)如果是R上的周期函数,且一个周期为T,那么(2)函数图像关于轴对称(3)函数图像关于中心对称(4)函数图像关于轴对称,关于中心对称(5)或或或, 则的周期T=2a(6),则的周期T=3a(7)则的周期T=4a;(8),则的周期T=5a;(9),则的周期T= 6a练习题一、选择题:1、已
4、知是上的增函数,若令,则是上的( )A减函数B增函数C先减后增的函数D先增后减的函数2、已知函数是定义在上的奇函数,函数的图象与函数 的图象关于直线对称,则的值为 ( )A2 B1 C0 D不能确定3、定义在上的函数满足,当时,单调递增,如果,且,则的值为( )A恒大于零 B恒小于零C可能为零 D可正可负4、已知函数对于任意,有,且,则的值为( )A2 B C D二、填空题:5、若函数满足,且对任意都有,则 。6、定义在上的函数的图象关于点中心对称,对任意的实数都有,且,则的值为 。7、函数对于任意实数满足条件,若则_。 8、若,则(1)函数的一个周期为 ;(2)函数的一个周期为 .9、若则的
5、值为 。三、解答题:10、已知函数对任意非零实数都有,且时,。 (1)试判断函数的奇偶性;(2)求函数在上的值域;(3)解不等式。11、设函数的定义域为,且满足对任意,有,且当时,。(1)求的值;(2)判断的单调性并证明的你的结论;(3)设,若,试确定的取值范围;(4)试举出一个满足条件的函数。12.(2)当x(-1,0)时,有f(x)>0.求证:()f(x)是奇函数; ()参考答案一、选择题:1 解:(1)特例:满足条件的函数,如;(2),是将函数的图象关于轴对称,再右移一个单位得到,单调递减,是将函数向左移动一个单位得到,在关于轴对称,单调递减,故选。2、解:因为函数是定义在上的奇函数,所以, 关于点(1,0)对称. 因此,关于(0,1)对称 即 故3、解:有,知中有一个小于2,一个大于2,不妨设,又由知以为对称中心,且当时,单调递增,所以,所以,故选。4、解:, 二、填空题:5、解:(1)令 再令,(2)令,略。6、解:由函数的图象关于点中心对称,得,又由,所以,为偶函数 ,令,由,得;令,由,得,7、解:由,得,8、解:,把2x-3看成函数的自变量,则得函数的一个周期为9; 所以,函数的一个周期为.9、解: 三、解答题:10、解:(1)令 再令令,得 为偶函数(2)又且在上是单调递增函数 解得
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