函数——周期性对称性

1、函数周期性与对称性（同号看周期，异号看对称）编号周 期 性对 称 性1T=2对称轴Û是偶函数；对称中心（a,0）Û是奇函数2T=对称轴；对称中心；3f(x)= -f(x+a)T=2f(x)= -f(-x+a)对称中心4T=2对称中心5f(x) +f(-x+a)= b对称中心函数的周期性主要结论1如果函数对于一切xR,都有 (),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数2如果函数 对于一切xR, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的图像关于直线x=（由x=确定）对称3. 如果函数对于一切xR, 都有成立, 那么函数的图像关于点对称4.两个函数图像之间的对称性（

2、1）函数 与函数的图像关于直线 (即y轴)对称；函数 与函数的图像关于直线; 函数 与函数图像关于坐标原点对称。（2）函数,的图像关于直线(由确定)对称（3）函数与函数的图像关于直线对称（由确定（4）函数与函数的图像关于点中心对称5.左加右减（对一个x而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数的图像右移a、上移b个单位，得到函数的图像；若将曲线的图像右移a、上移b个单位，得到曲线的图像6.函数的图像是把的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的7.定义：对于函数，如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的

3、每一个值时，都有，则的最小正周期为T，T为这个函数的一个周期8.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么9. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为，如果是周期函数，那么的定义域无界10.关于函数的周期性的几个重要性质：（1）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（2）函数图像关于轴对称（3）函数图像关于中心对称（4）函数图像关于轴对称，关于中心对称（5）或或或, 则的周期T=2a（6），则的周期T=3a（7）则的周期T=4a；（8）,则的周期T=5a；（9），则的周期T= 6a练习题一、选择题：1、已

4、知是上的增函数，若令，则是上的（ ）A减函数B增函数C先减后增的函数D先增后减的函数2、已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数 的图象关于直线对称，则的值为 （ ）A2 B1 C0 D不能确定3、定义在上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值为（ ）A恒大于零 B恒小于零C可能为零 D可正可负4、已知函数对于任意，有，且，则的值为（ ）A2 B C D二、填空题：5、若函数满足，且对任意都有，则 。6、定义在上的函数的图象关于点中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为 。7、函数对于任意实数满足条件，若则_。 8、若，则（1）函数的一个周期为 ；（2）函数的一个周期为 .9、若则的

5、值为 。三、解答题：10、已知函数对任意非零实数都有，且时,。 （1）试判断函数的奇偶性；（2）求函数在上的值域；（3）解不等式。11、设函数的定义域为，且满足对任意，有，且当时，。（1）求的值；（2）判断的单调性并证明的你的结论；（3）设,若,试确定的取值范围；（4）试举出一个满足条件的函数。12.(2)当x(-1,0)时,有f(x)>0.求证:()f(x)是奇函数； （）参考答案一、选择题：1 解：（1）特例：满足条件的函数，如；（2），是将函数的图象关于轴对称，再右移一个单位得到，单调递减，是将函数向左移动一个单位得到，在关于轴对称，单调递减，故选。2、解：因为函数是定义在上的奇函数，所以， 关于点（1，0）对称. 因此，关于（0，1）对称 即 故3、解：有，知中有一个小于2，一个大于2，不妨设，又由知以为对称中心，且当时，单调递增，所以，所以，故选。4、解：， 二、填空题：5、解：（1）令 再令，（2）令，略。6、解：由函数的图象关于点中心对称，得，又由，所以，为偶函数 ，令，由，得；令，由，得，7、解：由，得,8、解：，把2x-3看成函数的自变量，则得函数的一个周期为9； 所以，函数的一个周期为.9、解： 三、解答题：10、解：（1）令 再令令，得 为偶函数（2）又且在上是单调递增函数 解得