渗流力学课件第三章(复势).

1、一、势函数、流函数及复势一、势函数、流函数及复势1、势函数和流函数、势函数和流函数单相液体平面径向稳定渗流时，渗流速度为：单相液体平面径向稳定渗流时，渗流速度为：ypkvxpkvyx有yvxvyx0vdiv在无源区域内，因在无源区域内，因即0yvxvyx（1）（2）将（将（1）代入有：）代入有：02222xx 渗流场中渗流速度为矢量，渗流场为有势场，则渗流场中渗流速度为矢量，渗流场为有势场，则 称势函数或速度势。称势函数或速度势。（3）由（由（3）式知，势函数满足）式知，势函数满足Laplace方程。方程。1),(CyxC1为一常数，表示一条等势线。为一常数，表示一条等势线。vxvvydsdy

2、dxxyS 设在渗流场中有流线设在渗流场中有流线S，其中，其中一点一点M处的切线方向，为该点处的切线方向，为该点流体质点运动方向。流体质点运动方向。 设设M点渗流速度为点渗流速度为v，则在，则在x、y方向的分速度为方向的分速度为vx、vy。 在在M点沿流线点沿流线S取一微小增量取一微小增量dS，则在，则在x、y方向的增量为方向的增量为dx、dy，由相似关系有：，由相似关系有：Mvxvdyvdx即即0dyvdxvxy（4）（4）为流线方程。）为流线方程。因无源渗流场中，因无源渗流场中，0vdiv即0yvxvyxyvxvyx（5）（5）式表示（）式表示（4）式是某一函数的全微分，并用）式是某一函数

3、的全微分，并用d 表示：表示：dyvdxvydxxdxy（6）0 QdyPdx（a）（a）为全微分的充要条件是xQyP全微分函数xxyydyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0（6）式积分有：）式积分有：Lxydyvdxv 则则称为流函数，称为流函数， 为常数时表示流线方程，给为常数时表示流线方程，给定不同的常数可得不同的流线。定不同的常数可得不同的流线。由（由（6）式知渗流速度与流函数关系：）式知渗流速度与流函数关系：xvyvyx（7）因渗流场为有势场，其旋度因渗流场为有势场，其旋度ovrot即zyxvvvzyxkjivrot有有xvyvyx将（将（7）式代入有：）式代入有：022

4、22yx即流函数也满足即流函数也满足Laplace方程。方程。 由复变函数理论知，满足由复变函数理论知，满足Laplace方程的函数称调和方程的函数称调和函数，因此在平面渗流场中，势函数函数，因此在平面渗流场中，势函数（x x，y y）和流函）和流函数数（x x，y y）都为调和函数，且与渗流速度的关系为：）都为调和函数，且与渗流速度的关系为：xyvyxvyx（9）（8） （9）式为柯西）式为柯西-黎曼（黎曼（Chuchy-Rieman）条件。）条件。证明势函数与流函数正交：证明势函数与流函数正交：沿等势线，势函数的全微分为零，即：沿等势线，势函数的全微分为零，即：0dyydxxd则等势线上任

5、一点处的切线斜率为：则等势线上任一点处的切线斜率为：yxvvyxdxdyk1（10）沿流线，流函数的全微分也为零：沿流线，流函数的全微分也为零：0dyydxxd则流线上任一点处的切线斜率为：则流线上任一点处的切线斜率为：yxvvyxdxdyk2（11）121xyyxvvvvkk 所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭调和函数。调和函数。 因势函数和流函数满足因势函数和流函数满足C-R条件，则任知其中一条件，则任知其中一个可求出另一个，从而确定渗流场。个可求出另一个，从而确定渗流场。（12）例例1、求线性渗流时势函数及流函数、求线性渗流时势函数及流函

6、数由达西定律知：由达西定律知：dxdv1cvxvdxd则则所以：所以：0yvx由由C-R条件条件vxyyx0单向流势单向流势则则2Cvy 为单向流流函数为单向流流函数例例2、设已知生产井的势、设已知生产井的势crqln2求流函数。求流函数。解、解、Cyxqcrq)ln(4ln222则222yxxqx因222yxxqyx)()(2222xCxyarctgqdyyxxq又又xy即即)(222222xCyxyqyxyq0)(xC2)(CxC则则2)(2Cxyarctgq22Cq（13）2、平面渗流场的复势、平面渗流场的复势 如复变函数如复变函数w（z）在某一区域内解析，其实部和虚部）在某一区域内解析

7、，其实部和虚部存在二阶偏导数，并满足存在二阶偏导数，并满足Laplace方程，即实部和虚部为方程，即实部和虚部为共轭调和函数。共轭调和函数。 又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，且势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，且称该复数为渗流场的复势，表示为：称该复数为渗流场的复势，表示为：),(),()(yxiyxzw（14）由（14）式：)()()()()(idydxyixidxdyydydxxdyydxxidyydxxidddwvivvyixdzdwyx即dzdwv （15）例、

8、复势例、复势w（z）=az+C，求势函数、流函数及渗流速度的，求势函数、流函数及渗流速度的绝对值。绝对值。解：iCCiyxaCazzw21)()(21CayCaxaadzdwv习题：习题：54、55、56、57二、复势叠加原理二、复势叠加原理1、平面上点源和点汇的复势、平面上点源和点汇的复势生产井生产井在坐标原点在坐标原点时，其势函数和流函数为：时，其势函数和流函数为：1ln2crq22Cq点源的复势为：点源的复势为：CreqCqiCrqizwiln2)2(ln2)(21即：即：Czqzwln2)(（1）（1）式中，）式中，w（z）距汇点任意处的复势；距汇点任意处的复势； z复平面上任意点；复

9、平面上任意点； r复变量复变量z的模；的模； 复变量复变量z的幅角。的幅角。井点为点源时，复势为：井点为点源时，复势为：Czqzwln2)(如井点在任意点如井点在任意点A=a+ib，其复势为：，其复势为：CerqCAzqzwAiAln2)ln(2)(（2）势函数流函数为：势函数流函数为：212ln2CqCrqAAzrAAyx（3）若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：),(),()(111yxiyxzW),(),()(222yxiyxzW 因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满足叠加原

10、理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复满足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势函数和流函数仍满足势的势函数和流函数仍满足Laplace方程。方程。)()()()(2121221121iiizWzWzW（4）且02222yx02222xx 则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单的代数相加，即可得多井汇单独存在时的复势进行简单的代数相加，即可得多井同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。如平面上有如平面上有n个点源汇，分别位于个点源汇，分别位于A1、

11、A2.An,则任则任意点复势为：意点复势为：则势函数为：则势函数为：11)ln2(Crqjnjj流函数为：流函数为：21)2(Cqjnjj（7）（6）CerqCAzqzWjijnjjjnjj)ln(2)ln(2)(11（5）三、复势理论在解决多井工作问题中的应用三、复势理论在解决多井工作问题中的应用（一）无限地层中的等产量一源一汇（一）无限地层中的等产量一源一汇r2r12 xy-q+qaa1 由复势叠加原理：由复势叠加原理：CererqCazazqCazqazqzWii2121ln2ln2)ln(2)ln(2)(（1）则势函数为：则势函数为：121ln2Crrq流函数为：流函数为：221)(2

12、Cq（3）（2）由（由（2）式可得等势线方程。）式可得等势线方程。由（由（3）式：）式：021C为流线方程为流线方程则则)(1221axaxyaxyaxyarcaxyarctgaxyarctg令令02)(1Caxaxyaxyaxy化简为：化简为：022022ayCayx配方得：配方得：22002202)1 ()(CCaCayx（4）（5）流线为圆。流线为圆。CazqazqzW)ln(2)ln(2)()(22)11(2)(azazaqazazqdzzdW2111)(rraqazazaqdzzdWvxyqqaa1 2 r1r2M22112121)(2ln2ln2)(ln(2)ln()ln(2)(2

13、1iciqcrrqcererqcazazqcazazqzWii（1）121ln2crrq（2）221)(2cq（3）221c2222212)(1ayxxyarctgaxaxyaxyaxyarcaxyarctgaxyarctg令令022212cayxxy022022axycyx（4）21)(22112)(rrrqazazzqazazqdzzdwvizeqzw0)( 在复平面上复变数在复平面上复变数z=x+iy，引入新的复变数，引入新的复变数 = +i ， 与与z z之间有关系之间有关系z=zz=z（ ）或）或= = （z z），则），则),(),()()(),(),()()(yxiyxiyxzi

14、yxizzzor即),(),(yyxx),(),(yxyx（1）ixyyxiyxzz2)()(2222则xyyx2,222、解析函数的导数和幅角、解析函数的导数和幅角iMedzd或dzMedi（2）xzyRwldn w dv由（由（2）式知：）式知：wWwRdzdMR或或wwddzR（3）dldndQ（4）由（由（2）式：）式：dddzdldvddzdn（5）代入（代入（4）有：）有：ddvddddzdvddzddldnd（6）表示对应井产量相等。表示对应井产量相等。)()(iyxAAzzw则则AyAx,作变换：作变换：ze则则iyxiyxieeee即即yex,1、直线供给边沿附近一口井、直线

15、供给边沿附近一口井xyzaPw，Rwxx ePw作变换作变换iaziaze（1）令令z=ia，得，得=0=0令令z=x，由（，由（1）式有：）式有：xaiarctgexaiarctgxaiarctgeeeeeaxaxiaxiax22222即即ewwWeWiazewwRaRiaiaRiaziaziazRdzd2)2(2)()()(22（3）weweqln)(2把（把（3）代入：）代入：wweweeweRaRaq2ln)(22ln)(2（4）2、圆形地层一口偏心井、圆形地层一口偏心井xyZ0， Rwdw Re pw作变换：作变换：ZZRZZRee020)(（5）0Z为为Z0的共轭复数的共轭复数00

16、0000iyxZ,iyxZ 则则Z平面平面Z0点变到点变到平面平面=0=0点点在在Z平面圆周上任取一点平面圆周上任取一点Z，代入，代入（5）式：）式：020)(ZZRZZRee2eRyx)iyx)(iyx(ZZ22 )ZZ(Z)ZZ(RZZZZ)ZZ(R00e00e 11RRZZZZZRee00e 即即Z平面半径为平面半径为Re圆周上的点对应圆周上的点对应平面为单位圆周平面为单位圆周上的点。又上的点。又202e00ee02e)ZZR(Z)ZZ(RR)ZZR(dzd 因,0dZ)1 (1)()(22220020020eeeeeeeZZRdRdRRZZRZZRRdZd则)1 (122eewwwRd

17、RRRdzd)1 (ln)(21ln)(222ewewewweRdRRq（7）为偏心井产量公式。为偏心井产量公式。一、水电相似原理一、水电相似原理2apw+qxpe)RalnaL()pp(kh2Qwwe L井排产量为：井排产量为：wwewwepaiRakhnLBkhppRakhnLakhnppnQQln21ln22（1）式中式中LBkh相当于液流渗过相当于液流渗过Bh断面面积，流经断面面积，流经L距离的阻距离的阻力力wRakhnln21 相当于从各井周围一个假想的供给边沿（供给半径为相当于从各井周围一个假想的供给边沿（供给半径为a/）流经各井的渗流阻力的并联，用渗流内外阻表示）流经各井的渗流阻

18、力的并联，用渗流内外阻表示为：为： LBkhRoutwinRakhnRln21（2）（3）则（1）为：inoutwepaiRRppQ（4）（5）在电学中，两电阻串联时的电流为在电学中，两电阻串联时的电流为2121RRUUI（4）、（）、（5）具有物理相似，称水电相似。）具有物理相似，称水电相似。QRinRoutPepW 在圆形供给边沿内半径为在圆形供给边沿内半径为R的圆上的圆上有一环形井排，井相距有一环形井排，井相距2a，单井产，单井产量公式为：量公式为：)lnln()(2wewenRRRRnppkhQ环形井排产量：环形井排产量：wewepainRRkhnRRkhppnQQln2ln2（6）又又2 R=n2aR=n2a，即，即R/n=a/ R/n=a/ ，则（，则（6 6）式可写为：）式可写为：wewepaiRakhnRRkhppQln2ln2（7）渗流内外阻为：渗流内外阻为：RRkhReoutln2wwinnRRkhnRakhnRln21ln21L1L2L3PE2a1、n1、PW12a2、n2、PW22a3、n3、PW3B1、一个三面封闭一边液、一个三面封闭一边液源供给的油藏内源供给的油藏内3排井排井用等值渗流阻力法用等值渗流阻力法求解：求解：1）绘等