确定临界荷载的能量法.

1、13.3确定临界荷载的能量法确定临界荷载的能量法 一、能量法及临界状态的能量特征一、能量法及临界状态的能量特征临界状态的能量特征临界状态的能量特征 UWP0E 其一其一，从，从能量守恒原理能量守恒原理出发，有出发，有（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。其二其二，从，从势能驻值原理势能驻值原理出发，有总势能出发，有总势能（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利里兹能量法。（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利里兹能量法。二、能量守恒原理和铁木辛柯能量法二、能量守恒原理和铁木辛柯能量法在位于凹面内稳定平衡情况下，其势能E

2、P最小。当受到某受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而势能增加，即势能增加，即 D D EP 0在位于凸面上不稳定平衡情况下，其势能 EP最大。当受到最大。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从而势能减小，即而势能减小，即 D D EP 00PEEP0ABPFB1lEI弹性中心压杆，若由于某种外因使压杆发生横向弯曲，杆件的应变能将会增加(增加了弯曲应变能)，杆件的荷载势能将会减小 整个体系的势能的增量为PPEUU体系处于随遇平衡状态时，势能的增量恒等于零 即即

3、 D D EP 0P0UUPUW UW铁木辛柯能量法 1、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）用能量法重解上节图用能量法重解上节图13-6所示刚性中心压杆的临界荷载。所示刚性中心压杆的临界荷载。第一，假设失稳形式，第一，假设失稳形式，如图实线所示，位移参数为如图实线所示，位移参数为q q 。第二，根据临界状态的能量特征第二，根据临界状态的能量特征 AlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EIUW建立临界状态平衡方程建立临界状态平衡方程 荷载功的增量为AlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EIPWFD222cos1cos112sin

4、2sin2222llllllDqqqqq 22lqD212ylD2P2F lWq2122k lUkllqqqAlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EI22P22k lF lqq2P0klFq此即临界状态平衡方程。这是一个以q 为未知量的齐次方程。能量法以下的步骤与静力法完全相同 PcrFkl能量法计算临界荷载，按以下步骤进行：能量法计算临界荷载，按以下步骤进行：1)假定失稳形式。2)根据能量特征 。3)由位移有非零解的条件，建立稳定方程。4)解稳定方程，求特征荷载值。UW5)由最小特征荷载值，确定临界荷载。建立临界状态方程（即以能量形式表示的临界状态平衡方程）【例【例13-4】

5、试用能量法重解上节例】试用能量法重解上节例13-1图图13-7a所示具有所示具有两个自由度体系的临界荷载。两个自由度体系的临界荷载。（1）假设失稳形式，如图所示。 ABCDFPkklllFPDCBAPFAxF =FR11kyky2R2F =FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EIABCDFPkklllFPDCBAPFAxF =FR11kyky2R2F =FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EI根据UW建立临界状态能量方程：荷载功的增量为PWF 22222121211221122yyyyyy yylDABCDFPkklllFPD

6、CBAPFAxF =FR11kyky2R2F =FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EI22P1122FWyy yyl2211221211222kUkyykyyyy又弹性支座的应变能增量为2212P2211222yyklFyy yyP2klAFB2212Ayy221122Byy yy2110ABBAByyP10FyP20Fy110AAByBy220AAByBy P1P2P1P22020klFyF yF yklFy 能量法以下的计算步骤与静力法完全相同能量法以下的计算步骤与静力法完全相同 PPcrP min3F lFF2、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）、无限

7、自由度体系的稳定（铁木辛柯法）现以图示弹性中心压杆为例现以图示弹性中心压杆为例 xxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd =ds)dxBAEIB1取压杆直线平衡位置作为参考状取压杆直线平衡位置作为参考状态。假设失稳形式，如图实线所态。假设失稳形式，如图实线所示，示，y(x)为满足位移边界条件的为满足位移边界条件的任一可能位移状态。任一可能位移状态。220011dd22llEIyMUxxEIEI201d2lUEI yxxxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd =ds)dxBAEIB1xxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxl

8、xd =ds)dxBAEIB1取微段dx进行分析，微段两端点竖向位移的差值为 d1cosdxDq24cos12!4!qqq 按泰勒级数展开 tanyqq略去高阶微量，则可改写为 2211ddd22xyxDq2001dd2llyx荷载功的增量2PP0d2lFWFyxDxxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd =ds)dxBAEIB120P20ddllEI yxFyxUW20Pcr20dmindllEI yxFyx临界荷载的计算公式为 ( )yx20Pcr20dmindllEI yxFyx1) 假设失稳形式y(x)。2) 计算y(x)和3) 代入铁木辛柯能量法公式（13-

9、6），计算临界荷载用铁木辛柯能量法计算无限自由度体系的临界荷载，可采用以下计算步骤：PFxyylxBB1AEI【例【例13-5】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界荷载。荷载。假设变形曲线为二次抛物线2yaxbxc引入边界条件 0 x xl0y 0c bal 2ya xlxlEIaxyEIl2204d 分子 3d3220laxyl分母Pcr212EIFl误差为21.6% 假设以横向均布荷载作用下的变形曲线作为屈曲时近似变形曲线，即PFxyylxBB1AEI323224qxyx - x llEIPcr29 8824.EIFlx=0,x=l处的几何

10、边界条件 仍能满足仍能满足误差仅为0.13% PFxyylxBB1AEI假设变形曲线为正弦曲线假设变形曲线为正弦曲线sinxyal同样能满足几何边界条件。变形曲线同样能满足几何边界条件。变形曲线只含一个位移参数只含一个位移参数a，即作为单自由，即作为单自由度体系看待度体系看待 2Pcr2 EIFl用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致 第一，用能量法求临界荷载，须第一，用能量法求临界荷载，须事先假定屈曲时的变形事先假定屈曲时的变形曲线曲线，得到的是对应的，得到的是对

11、应的近似解近似解。第二，用能量法求解临界荷载的第二，用能量法求解临界荷载的关键是关键是：假定的变形曲：假定的变形曲线线y(x)必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于计算。必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于计算。为此，所假设的变形曲线最好能同时满足为此，所假设的变形曲线最好能同时满足几何边界条件几何边界条件（支座处的挠度（支座处的挠度 D D和转角和转角q ）与）与静力边界条件静力边界条件（支座处的（支座处的弯矩弯矩M和剪力和剪力FQ），），至少应使几何边界条件得到满足至少应使几何边界条件得到满足；同；同时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。第三，第

12、三，用能量法求得的临界荷载都大于精确值用能量法求得的临界荷载都大于精确值。假设的。假设的变形形式与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了某些变形形式与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了某些附加约束，提高了压杆的刚度。附加约束，提高了压杆的刚度。通过以上算例，可以指出以下几点：通过以上算例，可以指出以下几点：三、势能驻值原理和瑞利里兹能量法三、势能驻值原理和瑞利里兹能量法 势能驻值原理势能驻值原理可表述为：在弹性体系的所有几何可能位可表述为：在弹性体系的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势能的一阶变分能的一阶变分 P0E

13、极大、极小或始终保持不变极大、极小或始终保持不变 由此得到的驻值条件等价于平衡条件由此得到的驻值条件等价于平衡条件 仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为体系仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为体系的平衡状态有的平衡状态有稳定的稳定的、不稳定不稳定的和的和随遇平衡随遇平衡三种，要最终三种，要最终判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能作进一步判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能作进一步研究。研究。 研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能的研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能的二二阶变分析阶变分析 2PP2PPP2PP0000EEEEEEE， 该变形状态使

14、最小，稳定平衡；，且 ， 该变形状态附近使不变，随遇平衡；， 该变形状态使最大，不稳定平衡。1、有限自由度体系的稳定（瑞利法）、有限自由度体系的稳定（瑞利法）设取该图中双点画线所示初始平衡设取该图中双点画线所示初始平衡位置为参考状态。假设失稳形式如位置为参考状态。假设失稳形式如实线所示，位移参数为实线所示，位移参数为q q 。k=MAAkB1Bll2/2=lFPFPEI =0k=MAAkB1Bll2/2=lFPFPEI =0其总势能为 PPEUU弹簧的应变能 211()22Ukkq qq荷载势能 PPUWFD 2/2lDq22PPP22F llUFqq 体系总势能 222PPPP11222F

15、lEUUkkF lqqq=0EPPE 0EPPE =0PcrFFPPF =FPcrPcrF点公切正O0(正定的)0PEEPD0(负定的)第一，当第一，当体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小。因此，体。因此，体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的总势能系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的总势能EP就由正定过渡到非正定就由正定过渡到非正定。第二，当体系处于第二，当体系处于随遇平衡状态随遇平衡状态，即如以初始平衡位置作为参考，即如以初始平衡位置作为参考状态，则状态，则必有总势能必有总势能 恒为恒为02、无限自由度体系的稳定、无限自由

16、度体系的稳定(瑞利瑞利-李兹法李兹法)图示为一弹性中心压杆。设取压杆在图示为一弹性中心压杆。设取压杆在直线平衡的位置作为参考状态，则对直线平衡的位置作为参考状态，则对任一几何可能位移，它的总势能为任一几何可能位移，它的总势能为ylxPFyFPxBB1EIAPEUUUFDPP体系在临界状态时其总势能恒为体系在临界状态时其总势能恒为0 UF DPU和和D D均与所取体系几何可能位移有关。均与所取体系几何可能位移有关。对弹性杆而言，其几何可能位移可有无对弹性杆而言，其几何可能位移可有无限个，因此，满足式的限个，因此，满足式的FP值就不止一个值就不止一个 PcrminFUD设弹性杆的任一个几何可能位移

17、用y(x)表示，若只考虑弯曲变形的影响，则有 220011dd22llMUxEI yxEI201d2lyxD20Pcr201d2minmin1d2llEI yxUFyxD在求解比较复杂的问题时，上面所设的弹性曲线方程式常常难以满足全部边界条件，其形状也很难与实际情况完全一致。因此，常采用下面介绍的李兹法，采用包含若干参数的组合形式的变形曲线去逼近真实曲线，即 11221nnniiiy xaxaxaxax 1,2,ixin是满足位移边界条件的已知函数，ai是待定的参数，共有n个。这样，无限自由度体系被近似地看成具有n个自由度的体系。 20121212011d,2minminmin,1d2nlii

18、ninlniiiEIaxxA a aaFFB a aaaxxPcrP 2011d2nliiiAEIaxx 2011d2nliiiBaxx求FP极小值，其极小条件为 0(1,2, )iFinaP20iiABBABaa0(1,2, )iiAABinaBaP0(1,2, )iiABFinaa0011()12dd2nnlliijjjijjjiiaAEIaxaEIxaa 0011()12dd2nnlliijjjijjjiiaBaxaxaa 01d0nljijijjaEIFx P(1,2, )in0dlijijKEIx 0dlijijSFx P11121111211212222122221212000nn

19、nnnnnnnnnnnKKKSSSaKKKSSSaKKKSSSa ()0KSa即为临界状态的能量方程 是对于待定系数 n个线性齐次方程 12,na aa有非零解的条件是，其系数行列式应为零。于是得稳定方程 0DKSn次代数方程，可求出n个根，由其中的最小根可确定临界荷载。 假设失稳形式 1niiiy xax计算稳定方程的系数 0dlijijKEIx 0dlijijSFx P建立稳定方程 0DKS解稳定方程，由方程解中取荷载最小值，作为最接近精确解的临界荷载的近似解 AB1BxlxyPFyEI【例【例13-6】试用瑞利李兹能量法求图示下端固定、上端铰支】试用瑞利李兹能量法求图示下端固定、上端铰支