计算声学第一章 数值计算中的误差分析

1、前言l 课程目的和任务：课程目的和任务： 通过对一些基本声学和水声学水声学问题的分析和求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常用的数值计算方法数值计算方法，培养综合运用声学专业知识、数学知识和计算机技术计算机技术解决科学研究中手工所不能解算的问题，具备应用现代计算工具解决工程实际问题的能力。l 水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收辐射、传播与接收，用以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射形式。因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声场时空结声场时空结构构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取海洋中声场信息的结构是我们用来进

2、行水下探测、识别、通信及环境监测等的手段。前言前言l 海洋环境l 波动方程：波动方程：波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动特征，也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前，为了使问题简化，需要对介质和声波做一些假设：（1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声学性质保持不变；（2）介质是理想流体介质，声波在其中传播时没有能量损耗，即忽略介质的粘滞性和热传导性；（3）研究小振幅波的传播规律，所谓小振幅波是指各声学量都是一级小量。波动方程是描述波动运动的数学表达式，它由连续性方程、状态方程和运动方程推导得到。 前言l 波动方程：波动方程：理想流体介质中小振幅平面波的波

3、动方程为（沿 轴向传播）：小振幅声压在三维坐标下的波动方程为 为拉普拉斯算符，在直角坐标系中 前言x222221tpcxp22221tpcp22222222zyxl 海洋声场的数值预报海洋声场的数值预报 在建立了能够反映海洋环境因素对声场的制约关系的声场物理模型（波动方程+定解条件）的基础上，根据可测海洋环境参数的测定值或预报值，编写程序完成数值计算，给出相应海洋环境条件下的有关场值。近年来，由于计算机的快速发展，数值计算声场是一个快速发展的领域。 海洋声场的数值预报方法主要有射线算法、简正波算法、抛物方程（PE）算法、快速场（FFP）算法等，各自有不同的适应范围。前言前言l 函数插值函数插值

4、： 已知一组不同深度处的声速值，如何得到任意深度处的声速值？ 深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0声速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8前言1480149015001510152015301540155015601570-5000-4500-4000-3500-3000-2500-2000-1500-1000-5000声 速 剖 面 图声 速 (m/s)深度

5、(m)前言l 数值积分数值积分：声线轨迹计算1z2z210220cos)(coszzdzznr)()(0zcczn声线从深度传播到深度所经过的水平距离为前言问题问题：利用射线声学模型对海洋声场进行求解 l 伪彩色图伪彩色图前言前言l 三维环境下声传播三维环境下声传播前言l 三维海洋环境下特征声线求解： 为声线的位置信息，需要求解，其它参数已知。2221112121211112/122221112222/1221111211122222222222222211121212121222121222111222111cos1cos111sintansintan1tansintansin11tansi

6、n)tansin() 1() 1()tansin() 1() 1(sinsinsincoscoscoskkkkhkZkhkkHkhhkkknZhkkknHkrkkrk,1k,2k,1,2,12前言l 三维海洋环境下特征声线求解（线性方程组、非线性方程、非线性方程组）1. 牛顿法迭代法： 泰勒级数展开式的线性部分近似2. 进化算法： 遗传算法、模拟退化算法、粒子群算法等前言l 曲线拟合曲线拟合：已知目标散射场指向性的实验测量结果如图所示，如何比对其与理论计算结果的误差？130铝球散射声场指向性频率28fkHz6 . 7kal 微分方程求解微分方程求解：随机共振系统对微弱信号的检测非线性双稳态随机

7、共振系统 利用四阶龙格库塔算法求解前言)(2)cos(03tDtAbxaxx前言l 四阶龙格库塔算法1, 1 , 0 ,226143211NnkkkkxxnnnnnubxaxKk311311222nnnukxbkxaKk1322322nnnukxbkxaKk23334)()(nnnukxbkxaKk1, 1ba前言00.511.522.533.54x 104-3-2-10123x 10-3输 入 周 期 信 号前言00.511.522.533.54x 104-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2输 入 周 期 信 号 +噪 声前言00.511.522.533.54x

8、 104-2-1.5-1-0.500.511.52SR处 理 后 信 号前言l 必要性：必要性： 现代科学研究和高技术的发展越来越需要借助计算机进行数值计算，水声领域也不例外。l 讲授的主要内容讲授的主要内容：1、数值计算方法数值计算方法：误差分析、方程组求解、非线性方程求解、插值法、最小二乘与曲线拟合、数值微积分、常微分方程求解；2、进化算法进化算法（方程组求解）：量子粒子群算法；3、虚源法声场建模虚源法声场建模。数值计算的对象、任务与特点 l 对象对象： 数值计算方法是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的一个分支，涉及代数、微积分、微分方程等的数值解问题。l 任务任务： 研究适合

9、在计算机上使用的数值计算方法及相关理论，如方法的收敛性、稳定性和误差分析等；还要根据计算机的特点研究如何设计计算方法做到计算时间短、占用内存小。l 学习目的学习目的： 提高应用计算机解决实际问题的能力。 数值计算的对象、任务与特点l 数值计算流程数值计算流程：l 特点特点： 既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际实验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论体系的计算数学课程。 数值计算中的误差分析l 内容提要内容提要： 掌握绝对误差、相对误差、有效数字、数值计算的误差估计以及设计算法的原则。l 重点内容重点内容： 绝对误差、相对误差、有效数字的概念，数

10、值计算的误差估计。误差与数值计算的误差估计一、误差的来源与分类一、误差的来源与分类 将一个数的准确值与其近似值之差称为误差误差。1. 1. 分类分类 过失误差过失误差： 人为造成，可以避免 非过失误差非过失误差： 无法避免，分析产生原因，限制在许可范围之内2 误差与数值计算的误差估计2. 2. 误差来源（非过失误差）误差来源（非过失误差）l 模型误差模型误差： 数学模型是通过对实际问题进行抽象和简化建立的，是一种近似描述。l 观测误差观测误差： 测量工具精度与测量手段的限制。l 舍入误差舍入误差： 计算机位数的限制，由于计算机的字长是有限的，对参与计算的数据和最后得到的计算结果，都必然用有限位

11、小数代替无穷位小数。2 误差与数值计算的误差估计l 截断误差截断误差： 由数值方法求得的数学问题的近似解与数学模型的精确解之间的误差，是数值计算方法固有的。 取部分和作近似 截断误差：12153)!12(1) 1(! 51! 31sinnnxnxxxx12153)!12(1) 1(! 51! 31)(nnnxnxxxxP)(sin)(xPxxEnnl 绝对误差与绝对误差限绝对误差与绝对误差限绝对误差绝对误差： 设某一量的精确值为 ，其近似值为 ，则称为近似值 的绝对误差，简称误差。 时称 为弱近似值或亏近似值； 时称 为强近似值或盈近似值。绝对误差限绝对误差限：如果存在 ，使得 ，则称 为近似

12、值 的绝对误差限，简称误差限或精度（测量时，测量工具最小刻度的一半）。 越小，表示近似值 的精度越高。在工程技术上常用 表示近似值的精度或精确值的范围。2 误差与数值计算的误差估计x*x*)(xxxE*x0)(*xE0)(*xE*x*x0*)(xxxE*x*x*xx2 误差与数值计算的误差估计例例：用毫米刻度的尺子测得桌子长度近似值为 mm，由尺子的精度可以知道，近似值的误差不超过0.5mm，即 表明精确值 在区间 内，可以写成绝对误差限 mm，即绝对误差限是末位的半个单位。1235*x5 .12355 .12345 . 01235*xxxxx5 .1235, 5 .12345 . 01235

13、x5 . 0l 相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限相对误差相对误差：绝对误差与精确值之比，即 称为近似值的相对误差。 实际中，由于精确值 一般无法知道，所以常取 作为近似值 的相对误差。相对误差限相对误差限：若存在 ，使得 ，则称 为近似值 的相对误差限。注意：注意：绝对误差和绝对误差限与 有相同的量纲，相对误差 和相对误差限是无量纲的，工程中常以百分数来表示。2 误差与数值计算的误差估计xxxxxExEr*)()(x*)(xxxxEr*x0*)(xxxxEr*xx例例1.1 国际大地测量学会建议光速采用其含义是绝对误差限为多少？而其相对误差限为多少？2 误差与数值计算的误差估计smc/

14、2 . 12997924582 误差与数值计算的误差估计绝对误差限：近似值：相对误差限：sm/2 . 1299792458*c)10002769. 4(101 . 42997924582 . 199*cl 有效数字有效数字 如果近似值 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其“准确”到这一位，且从该位开始直到 的第一位非零数字共有n位，则称近似数 有n位有效数字有效数字。 有效数字既能表示近似值的大小大小，又能表示其精确程度精确程度（绝对误差限）（绝对误差限）。例例1.2 设 ，其近似值 ，问 有几位有效数字？如果 ， 有几位有效数字？2 误差与数值计算的误差估计*x*x*x0330551. 0

15、 x033056. 0*x033055. 0*x*x*x练习题l 1.指出如下有效数的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数。 l 2.将22/7作为 的近似值，它有几位有效数字？绝对误差限和相对误差限各为多少？ 00.490 ,0490. 0 ,1049289791415926535. 32 误差与数值计算的误差估计l 有效数字有效数字 设 的近似值 可以写成如下的标准形式 所以当其绝对误差限满足 时，称近似值 具有 位有效数字。x*x,10)101010(2211*mnnaaax01a)10. 0(21*mnaaaxnmxx1021*xn2 误差与数值计算的误差估计l 结论结论：如果 ，有

16、位有效数字，则其相对误差限为反之，如果 的相对误差限满足则 至少有 位有效数字。,10)101010(2211*mnnaaax01an)1(1*1021)(nraxE*x)1(1*10) 1(21)(nraxE*xn2 误差与数值计算的误差估计l 例例1.31.3 要使 的近似值的相对误差小于 ，至少需取几位有效数字？20%1l 误差的传播与估计误差的传播与估计 实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是近似值，带有误差带有误差。而在进一步运算中都会产生舍入误差或截断误产生舍入误差或截断误差差，这些误差在运算过程中会进行传播传播，影响计算结果。 2 误差与数值计算的误差估计l 一元函数的泰勒（泰

17、勒（TaylorTaylor）中值定理）中值定理： 如果函数 在区间 内有直到 阶导数， ，则有其中，拉格朗日型余项（ 介于 之间）。 2 误差与数值计算的误差估计 xfba,1nbaxx,0 xRxxkxfxfnnkkk000! ,!1101nnnxxnfxRxx ,02 误差与数值计算的误差估计l 泰勒（泰勒（TaylorTaylor）公式）公式估计误差的方法：以二元函数 为例，设 和 分别是 和 的近似值， 是函数值 的近似值。函数 在点 处的Taylor展开式为),(21xxfy *1x*2x1x2x*yy),(21xxf*2*1,xxRxxxfxxxxxxfxxxfxxxfxxxfx

18、xfxxf2*22*222*22*11*2122*11*212*22*2*11*1*2*1212! 21 ),(),(2 误差与数值计算的误差估计式中 一般都是小量值，如果忽略它们的高阶无穷小量，则上式简化为因此 的绝对误差为 ),()(),()(*2*22*1*11xExxxExx)()(),(),(*2*2*1*1*2*121xExfxExfxxfxxf*y)()(),(),()(*2*2*1*1*2*121*xExfxExfxxfxxfyyyE2 误差与数值计算的误差估计系数 分别是一阶偏导数在 处的值，称为 对 的绝对误差的增长因子增长因子，分别表示绝对误差 经过传播后增大或缩小的倍数

19、。 、*1xf*2xf*2*1,xx、*1x*2x*y、)(*1xE)(*2xE2 误差与数值计算的误差估计 的相对误差 分别是 对 的相对误差的增长因子增长因子，表示相对误差 经过传播后增大或减小的倍数。 *y)()( )()()()(*2*2*2*1*1*1*2*2*1*1*xExfyxxExfyxyxExfyxExfyyEyErrr、*1*1xfyx*2*2xfyx、*1x*2xy、)(*1xEr)(*2xEr 由此可以得到两近似数 的和、差、积、商的误差估计（绝对误差）为2 误差与数值计算的误差估计*2*1,xx)()()(*2*1*2*1xExExxE)()()(*2*1*1*2*2

20、*1xExxExxxE)0( )()()()/(*2*22*2*1*2*1*2*1xxExxxxExxE例例1.4 经过四舍五入得到 ， ，问他们分别具有几位有效数字？ ， ， ， 的绝对误差限分别是多少？2 误差与数值计算的误差估计1025. 6*1x115.80*2x*2*1xx *2*1xx *2*1xx*2*1xx2 误差与数值计算的误差估计解解：记 和 的精确值分别是 和 ，则 分别具有5位有效数字 *1x*2x1x2x,10214*11 xx3*221021 xx,1021)(4*1xE3*21021)(xE00055. 0)()()()()(*2*1*2*1*2*1xExExEx

21、ExxE00055. 0)()()()()(*2*1*2*1*2*1xExExExExxE007057. 0)()()()()(*2*1*1*2*2*1*1*2*2*1xExxExxExxExxxE5*22*2*1*1*2*22*2*1*1*2*2*11010995. 0)()()(1)()()(1xExxxExxExxxExxxE2 误差与数值计算的误差估计例例1.5 测得某电阻两端的电压和流过的电流分别为 伏、 安，求电阻的阻值 ，并求 及 。 2220V1 . 010I*R)(*RE)(*REr2 误差与数值计算的误差估计解解：有 ，已知 伏， 安，得 欧 的绝对误差：由于 ， ，所以从

22、而 的相对误差IVR 220*V10*I22*R*R )(100220)(101)()(1)()()(*2*IEVEIEIVVEIIEIRVEVRRE2)(*VE1 . 0)(*IE42. 01 . 01002202101)(100220)(101)(*IEVERE*R%91. 12242. 0)()(*RREREr例例1.6 设 ， ， 都精确到2位小数，估计 的相对误差。2 误差与数值计算的误差估计21. 11x65. 32x81. 93x321xxx2 误差与数值计算的误差估计解解：所以,1021)(21xE,1021)(22xE231021)(xE,21. 11021)()(2111x

23、xExEr,65. 31021)()(2222xxExEr81. 91021)()(2333xxExEr0293. 0 0.0050.0051.210.0053.65 )()()( )()()()(3211232112321xExExxExxExExxExxxxE00206. 081. 965. 321. 10293. 0)()(321321321xxxxxxExxxEr 在由误差估计式得出绝对误差限和相对误差限的估计时，由于取了绝对值并用三角不等式放大，是按照最坏情形最坏情形得出的，所以结果是保守保守的。 一般来说，为了保证计算结果的精确度，在计算过程中，比结果中所要求的有效数字位数多取多取

24、1位位或或2位位就可以了。2 误差与数值计算的误差估计 计算机只能对有限位数进行计算，从而在运算中产生误差是不可避免的。许多实际问题的求解往往需要进行成千上万次的数值计算，为了保证计算结果的可靠性，必须防止误差的产生、传播与扩大防止误差的产生、传播与扩大。一个好的算法应该是计算量小、精度高，算法稳定，在计算过程中占用计算机的存储单元和工作单元少。3 选用和设计算法时应遵循的原则3 选用和设计算法时应遵循的原则选择算法应遵循的原则：选择算法应遵循的原则：l 1.算法是否稳定；l 2.算法的逻辑结构是否简单；l 3.算法的运算次数和算法的存储量是否尽量少。减少运算误差的几项措施：减少运算误差的几项

25、措施：l 1.选用数值稳定数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播； 在数值计算中，对于某一问题选用不同的算法，所得到的结果往往不同，有时甚至大不相同。这主要是由于初始数据的误差或计算时的舍入误差在计算过程中的传播因算法的不同而异。对某一算法，如果初始数据的误差或舍入误差对计算结果的影响较小，则称该算法是数值稳定数值稳定的；否则，称为数值不稳定数值不稳定算法。 3 选用和设计算法时应遵循的原则例例1.7 计算积分解：由 算法一算法一将代入递推公式分别计算，由于3 选用和设计算法时应遵循的原则10), 2 , 1 , 0( 10ndxxxInn10110111101010ndxxdxxxxIInnnnn), 2 , 1( 1011nInInn1