高中数学人教版选修2-1教学检测：中的向量方法》试题

1、新课标高二数学同步测试（21第三章3.2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）A60B90C105D75图2如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A B图CD3如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，

2、则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）ABCD4正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）A BC DAA1DCBB1C1图5已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点点到平面的距离（ ）A BCD6在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（ ）A BC D7在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（ ）A B C D8在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G则与平面ABD所成角的余弦值（ ）A B CD9正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是

3、CB延长线上一点，且，则二面角的大小（ ）A B C D10正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，则三棱锥的体积V（ ）A B C D二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）11在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 12 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 13已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 14已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 三、解答题：解答应写出文字说明、证

4、明过程或演算步骤（共76分）15（12分）已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小16（12分）已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF平面B1MC17（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值18（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点（1）求证

5、：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角19（14分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（）D1E与平面BC1D所成角的大小；（）二面角DBC1C的大小；（）异面直线B1D1与BC1之间的距离20（14分）如图5：正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G(1)求证：平面EFG平面A CB1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离参考答案一、1B；2A；3A；4C；分析

6、：建立如图所示的直角坐标系，则ABCDOS图， ，令向量，且，则，异面直线和之间的距离为：5A；分析：为正方形，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则= 6B；分析：建立如图所示的直角坐标系，ABCDA1B1C1D1E图设平面的一个法向量，则，即，平面与平面间的距离7D；8B；解 以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 设，则 ， ， ， ， 点E在平面ABD上的射影是的重心G， 平面ABD， ，解得 ， ， 平面ABD， 为平面ABD的一个法向量由 与平面ABD所成的角的余弦值为评析 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用

7、此法向量求出的线面角应满足9A；取BC的中点O，连AO由题意 平面平面，平面，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，由题意 平面ABD， 为平面ABD的法向量设 平面的法向量为 ，则 ， ， ，即 不妨设 ，由 ， 得 故所求二面角的大小为评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，

8、从而所求二面角为，但依题意只为因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”10C；解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则 ， ， ， 图10 ， ，所以 ，设 平面的方程为：，将点代入得， ， 平面的方程为：，其法向量为， 点到平面的距离， 即为所求评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 计算得到（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等二、11分析：设正方体棱长为，以为原点，建

9、立如图所示的空间直角坐标系，则，设和公垂线段上的向量为，则，即，又，所以异面直线和间的距离为12分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系AEA1DCBB1C1D1F图则，；设面的法向量为，则有：，又，所以点到截面的距离为=131；解：如图建立空间直角坐标系，（1，1，0） ，（0，1）， （1，0，1） 设平面DBEF的法向量为（x，y，z），则有： 即 xy0 yz0zxBA1yFEB1C1D1DCA令x1, y=1, z=, 取（1，1，），则A1到平面DBEF的距离EzxD1yAC1B1A1BDC14解：如图建立空间直角坐标系，（0，1，0），（1，0，1），（0，1）设平面ABC1

10、D1的法向量为（x，y，z）,由 可解得（1，0，1） 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为，则， 三、15 zyxD1A1DB1C1CBA解：如图建立空间直角坐标系，（1，1，0），（0，1，1） 设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量， 由 可解得（1，1，1）易知（0，0，1），所以，所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或 arccos注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求 出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小16FyEMxzD1C1B1A1CDBA证明：如图建立空间直角坐标系

11、， 则（1，1，0），（1，0，1） （1，0，1）， （0，1，1）设，（、 ，且均不为0） 设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量， 由 可得 即 解得：（1，1，1） 由 可得 即 解得（1，1，1），所以， ， 所以平面A1EF平面B1MC注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用来证明17（1）证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）PA平面ABCD，PDA是PD与底面AB

12、CD所成的角，PDA=30于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=AE与CD所成角的余弦值为评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段18解：（1）略（2）如图，建立空间直角坐标系Dxyz,则知B（1，1，0），设得则令设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段即点A1到平面BDFE的距离为1（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，则A1

13、HD为等腰直角三角形，A1B1C1D1ABCDExyz19解：建立坐标系如图，则、，（）不难证明为平面BC1D的法向量， D1E与平面BC1D所成的角的大小为 （即）（）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量， ， 二面角DBC1C的大小为（） B1D1平面BC1D， B1D1与BC1之间的距离为20(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EFAC，EGB1C，FGAB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了)(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，

14、0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）=（a，a，a），=（0，a，a），（xE，yF，0），=（a，a，0），=（a，0，a），=(a，a，a)(0，a，a)=0， ，同理 ，而与不共线且相交于点A，平面ACB1，又已知平面EFG， 平面EFG平面ACB1；又因为平面EFG，所以 ，则=0， 即 (a，a，a)(xE，yF，0)=0，化简得 xEyF=0；同理 xEzG=0, yFzG=0，易得 =， EFG为正三角形(2)解：因为EFG是正三角形，显然当EFG与A1C1D重合时，EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=a， = = sin600 = (a)2 =a2 此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1HD1B并交BB1于点H，则O1H平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，所