第7章 位移法

1、第 7 章 位 移 法7-2 等截面直杆的刚度方程7-3 无侧移刚架的计算7-4 有侧移刚架的计算7-5 位移法的基本体系7-6 对称性的应用7-7 支座移动和温度改变时的计算7-8 小结7-1 位移法的基本概念 7-1 位移法的基本概念1 关于位移法的简例 对称结构承受对称荷载，结点对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移只发生竖向位移。 若求出位移若求出位移，则各杆件的变形和内力都可求出。，则各杆件的变形和内力都可求出。 取位移取位移作为位移法基本未知量。作为位移法基本未知量。7-1 位移法的基本概念NiiiiEAFul 第一步，从结构中取第一步，从结构中取出一个杆件出一个杆件 进行分析

2、。进行分析。杆件的刚度方程杆件的刚度方程第二步，把各杆综合成结构。第二步，把各杆综合成结构。 各杆的杆端位移与基本各杆的杆端位移与基本位置量的关系为位置量的关系为siniiu变形协调条件变形协调条件7-1 位移法的基本概念考虑结点考虑结点B的平衡条件的平衡条件位移法的基本方程位移法的基本方程5NP1siniiiFF52P1siniiiiEAFl P521Psin0.637iiiiFEAlF aEA解方程，得解方程，得N1N5PN2N4PN3P0.1590.2250.319FFFFFFFF7-1 位移法的基本概念位移法的要点位移法的要点 （2 2）位移法的基本方程位移法的基本方程平衡方程。平衡方

3、程。（1 1）位移法的基本未知量位移法的基本未知量结点位移。结点位移。 （3 3）建立基本方程的过程分为两步：）建立基本方程的过程分为两步： 结构结构拆拆成杆件，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程。成杆件，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程。 再把杆件综再把杆件综合合成结构，进行整体分析，得出位移法基本成结构，进行整体分析，得出位移法基本方程。方程。 （4 4）杆件分析是结构分析的基础，）杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程杆件的刚度方程是位是位移法基本方程的基础。因此位移法也叫做刚度法。位移法计移法基本方程的基础。因此位移法也叫做刚度法。位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或超静定而有所不

4、同。算时，计算方法并不因结构的静定或超静定而有所不同。7-1 位移法的基本概念 （2）建立位移法）建立位移法基本方程基本方程（1）基本未知量）基本未知量 A 和和 。2位移法计算刚架的基本思路 刚架刚架拆拆成杆件，得出杆件的成杆件，得出杆件的刚度方程。刚度方程。 杆件杆件合合成刚架，利用刚架平衡条件，建立成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程位移法基本方程。正负号规正负号规则则7 2 等截面直杆的刚度方程杆端剪力杆端剪力（杆端横向力杆端横向力）FQAB、FQBA 绕绕杆端顺时针转向为杆端顺时针转向为正。正。结点转角结点转角 A 、 B 、弦转角弦转角 （ = / l ) 和和杆端弯矩杆端

5、弯矩（杆杆端力矩端力矩）M AB 、M BA一律以顺时针转向为正；一律以顺时针转向为正；7-2 等截面杆件的刚度方程11361163AABBABABBAMMiiMMii 1 由杆端位移求杆端弯矩若若杆件的线刚度杆件的线刚度EIilABl11361163AABBABABBAMMiilMMiil 7-2 等截面杆件的刚度方程统称弯曲杆件的刚度方程弯曲杆件的刚度方程转角位移方程转角位移方程426246ABABBAABMiiilMiiilDqqDqq=+-=+- QQ216612ABBAABBAABFFMMliiilll 7-2 等截面杆件的刚度方程（1）B端为固定支座端为固定支座（2）B端为铰支座端

6、为铰支座426246ABABBAABMiiilMiiil4626ABABAAMiilMiil0BQQ26612ABBAABFFiiilll 0BAM33ABAMiil7-2 等截面杆件的刚度方程426246ABABBAABMiiilMiiilQQ26612ABBAABFFiiilll （3）B端为滑动支座端为滑动支座QQ00BABBAFFABABAAMiMi 12Al7-2 等截面杆件的刚度方程7-2 等截面杆件的刚度方程载常数：载常数：荷载作用下的荷载作用下的固端弯矩固端弯矩和和固端剪力固端剪力。2由荷载求固端弯矩三种基本杆件三种基本杆件 （1 1）两端固定的梁；）两端固定的梁； （2 2）

7、一端固定、另一端简支的梁；）一端固定、另一端简支的梁； （3 3）一端固定、另一端滑动支承的梁。）一端固定、另一端滑动支承的梁。7-2 等截面杆件的刚度方程7-2 等截面杆件的刚度方程7-2 等截面杆件的刚度方程如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位移，根据叠加原理，杆端弯矩及剪力为：位移，根据叠加原理，杆端弯矩及剪力为：FF426246ABABABBAABBAMiiiMlMiiiMlQQFQ2FQ266126612ABBAABABBAABiiiFFllliiiFFlll 如果刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线如果刚架的各结点（

8、不包括支座）只有角位移而没有线位移，这种刚架叫做无侧移刚架。位移，这种刚架叫做无侧移刚架。 解解 （1）基本未知量）基本未知量 B杆端弯矩计算式为：杆端弯矩计算式为： （2）固端弯矩为：）固端弯矩为：FF20 615kN m8ABBAMM 39BCBMi73 无侧移刚架的计算连续梁的计算也属于无侧移问题。连续梁的计算也属于无侧移问题。例例22 69kN m8BCFM AB杆杆BC杆杆AB杆杆215415ABBBABMiMiBC杆杆7-3 无侧移刚架的计算（4 4）求出基本未知量：）求出基本未知量：（5 5）求出各杆最终杆端弯矩：）求出各杆最终杆端弯矩：（3 3）建立位移法基本方程）建立位移法基

9、本方程位移法的基本方程：位移法的基本方程：6215716.72kN mABMii 0,0BBABCMMM760Bi67Bi 列列B点力矩平衡方程：点力矩平衡方程：6415711.57kN mBAMii639711.57kN mBCMii 7-3 无侧移刚架的计算小结：位移法的基本作法是先拆散，后组装。组装的原则小结：位移法的基本作法是先拆散，后组装。组装的原则有二：首先，在结点处各个杆件的变形要协调一致；其次有二：首先，在结点处各个杆件的变形要协调一致；其次，装配好的结点要满足平衡条件。，装配好的结点要满足平衡条件。 （6 6）作弯矩图。）作弯矩图。7-3 无侧移刚架的计算 解（2 2）固端弯

10、矩为：）固端弯矩为：例 7-1 7-1 作图示刚架弯矩图。作图示刚架弯矩图。22F22FF20 440kN m8820 5121241.7kN m41.7kN mBABCCBqlMqlMM B、C（1 1）基本未知量）基本未知量7-3 无侧移刚架的计算各杆刚度取相对值计算，设各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则，则000004541,1,14543331,4462BABCCDBECFEIEIEIiiiEIEIii7-3 无侧移刚架的计算杆端弯矩计算杆端弯矩计算式为：式为： FFF3340424241.7242441.73343,21.542,2BABABABBBCBCBBCCBCBCCBBC

11、BBCCCBBCCDCDCCBEBEBBEBBEBBCFCFCCFCCFCCMiMMiiMMiiMMiMiMiMiMi7-3 无侧移刚架的计算（3）建立位移法基本方程）建立位移法基本方程 结点结点C力矩平衡：力矩平衡：结点结点B力矩平衡：力矩平衡：（4）求出基本未知量）求出基本未知量0BABCBEMMM1021.70BC0CBCDCFMMM2941.70BC1.15,4.89BC （5）求出各杆最终杆端弯矩：）求出各杆最终杆端弯矩：31.154043.5kN.m41.1524.8941.746.9kN.mBABCMM 7-3 无侧移刚架的计算（6）作弯矩图。）作弯矩图。1.51.151.73k

12、N.m24.899.78kN.m4.89kN.mEBCFFCMMM 21.1544.8941.724.5kN.m34.8914.7kN.m 31.153.4kN.mCBCDBEMMM 刚架分为无侧移和有侧移两类。刚架分为无侧移和有侧移两类。有侧移刚架除有结点转角外，还有结点线位移。有侧移刚架除有结点转角外，还有结点线位移。74 有侧移刚架的计算1 基本未知量的选取计算有侧移刚架的基本思路与无侧移相同，具体做法上计算有侧移刚架的基本思路与无侧移相同，具体做法上增加了一些新内容：增加了一些新内容：（1 1）在基本未知量中，要包括结点线位移；）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2 2）在杆件计算中

13、，要考虑线位移的影响；）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3 3）在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的方程。）在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的方程。结点角位移结点角位移：刚结点、刚绞结点的刚结点部分。：刚结点、刚绞结点的刚结点部分。 结点线位移结点线位移：位移法中忽略轴力对变形的影响。：位移法中忽略轴力对变形的影响。7-4 有侧移刚架的计算观察法观察法如何确定独立线位移？如何确定独立线位移？只有一个线位移，只有一个线位移，全部未知量有三个全部未知量有三个只有一个线位移，只有一个线位移，全部未知量有一个全部未知量有一个有两个线位移，有两个线位移，全部未知量有两个全部未知量有两个

14、7-4 有侧移刚架的计算铰结体系法铰结体系法 原结构的独立结点线位移的数目原结构的独立结点线位移的数目= =铰结体系的自由度数铰结体系的自由度数= =为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数。为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数。 7-4 有侧移刚架的计算小结：小结：1 1、用位移法计算有侧移刚架时，基本未知量包括结点转角、用位移法计算有侧移刚架时，基本未知量包括结点转角和独立结点线位移。和独立结点线位移。2 2、结点转角的数目等于刚结点的数目，独立结点线位移的、结点转角的数目等于刚结点的数目，独立结点线位移的数目等于铰结体系的自由度的数目。数目等于铰结体系的自由度的数目。3 3、

15、在选取基本未知量时，由于既保证了刚结点处各杆杆端、在选取基本未知量时，由于既保证了刚结点处各杆杆端转角彼此相等，又保证了各杆杆端距离保持不变，满足转角彼此相等，又保证了各杆杆端距离保持不变，满足变形连续条件变形连续条件。 7-4 有侧移刚架的计算（2 2）杆端弯矩：）杆端弯矩：（1）基本未知量）基本未知量21263 4412ABBMii 2 基本方程的建立B、 21463 4412BABMii 3 2BCBMi34DCMi 7-4 有侧移刚架的计算（3）建立基本方程：）建立基本方程：0,0BBABCMMM101.540BiiQQ0,0 xBACDFFFQ10,()64ABAABBAMFMM Q

16、10,4DBADCMFM 1()604ABBADCMMM1.50.937560Bii7-4 有侧移刚架的计算 小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。基小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。基本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部基本未知量基本未知量。（4）解方程组）解方程组得得（6）作弯矩图（略）作弯矩图（略）101.5

17、40Bii1.50.937560Bii B= 0.737/i = 7.58/i（5）各杆最终杆端弯矩（略）各杆最终杆端弯矩（略）7-4 有侧移刚架的计算 例例7-2 7-2 作图示刚架弯矩图。忽作图示刚架弯矩图。忽略横梁的轴向变形。略横梁的轴向变形。 解解: :（1 1）基本未知量：各柱顶水平）基本未知量：各柱顶水平位移相等，只有一个独立线位移位移相等，只有一个独立线位移。（2 2）各柱的杆端弯矩和剪力为：）各柱的杆端弯矩和剪力为： 111222333EIihEIihEIih1Q12Q222Q323333ABCDEFFihFihFih112233333BADCFEMihMihMih 7-4 有

18、侧移刚架的计算与横梁水平位移与横梁水平位移 对应，对应，取柱顶以上横梁为隔离体取柱顶以上横梁为隔离体（3）建立位移法基本方程：）建立位移法基本方程：PQQQEF0BACDFFFF312P22212330iiiFhhhPP312222212333FFiiiihhhh列出水平投影方程：列出水平投影方程：0X 7-4 有侧移刚架的计算（4 4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图： 221221PP22323P2BADCFEiihhMFMFiihhihMFih 7-4 有侧移刚架的计算（6）讨论）讨论侧移刚度侧移刚度（5）各柱的剪力为：）各柱的剪力为： 223122231QAPQ

19、PQP222333,333BCDEFiiihhhFFFFFFiiihhh2333(1,2,3)iiiiiiEIkihh312QAPQPQP,BCDEFkkkFF FF FFkkk 荷载荷载FP （=总剪力）按侧移刚度分配给各柱，得各柱剪力，总剪力）按侧移刚度分配给各柱，得各柱剪力，可画弯矩图。可画弯矩图。-剪力分配法剪力分配法7-4 有侧移刚架的计算例例 7-3 作图示刚架内力图。作图示刚架内力图。 解解（2）固端弯矩）固端弯矩 各杆刚度取相对值计算，设各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则，则22FF20 541.7kN m41.7kN m1212BCCBqlMM 000004541,1,1

20、,4543331,4462BABCCDBECFEIEIEIiiiEIEIii（1）基本未知量）基本未知量刚结点刚结点B、C的转角的转角 B、 C柱顶的水平位移柱顶的水平位移 。22F20 440kN m88BAqlM7-4 有侧移刚架的计算杆端弯矩计算式为：杆端弯矩计算式为： F3340BABABABBMiM33CDCDCCMiF424241.7BCBCBBCCBCBCMiiMF242441.7CBBCBBCCCBBCMiiM4631.125BEBEBEBBEBiMil1.51.125EBBM20.5CFCM0.5FCCM7-4 有侧移刚架的计算结点结点C力矩平衡：力矩平衡：结点结点B力矩平衡

21、：力矩平衡：00BBABCBEMMMM1021.1251.70BC00CCBCDCFMMMM290.541.70BC（3）建立位移法基本方程）建立位移法基本方程 7-4 有侧移刚架的计算（4 4）解方程组）解方程组得得QQ0,0 xBECFFFFQ10,()4EBEEBBEMFMM Q10,6FCFFCCFMFMM 11()046EBBEFCCFMMMM1.1250.50.7280BC1021.1251.70290.541.701.1250.50.7280BCBCBCB= 0.94 C= -4.94 = -1.947-4 有侧移刚架的计算（5 5）最终杆端弯矩为：）最终杆端弯矩为：42.82k

22、N m,47.82kN m,23.82kN m,14.8kN m,BABCCBCDMMMM 5.0kN m,3.59kN m,8.91kN m,3.97kN mBEEBCFFCMMMM （6 6）作内力图）作内力图由杆端弯矩作由杆端弯矩作M图。图。由每个杆件的隔离体图，用平衡方程求剪力，作由每个杆件的隔离体图，用平衡方程求剪力，作FQ图。图。由结点的平衡方程求轴力，作由结点的平衡方程求轴力，作FN图。图。7-4 有侧移刚架的计算7-4 有侧移刚架的计算（7 7）校核）校核在位移法中，一般以校核平衡条件为主。在位移法中，一般以校核平衡条件为主。0,2.15kN 2.15kN00,29.3kN 1

23、05.5kN 48.9kN20kN/m 9m 3.7kN0 xyFF 75 位移法的基本体系统一用统一用 表示位移法的基本未知量；表示位移法的基本未知量；位移法基本体系位移法基本体系：在原结构上增加与基本未知量相应的人在原结构上增加与基本未知量相应的人为约束，从而使基本未知量由被动的位移变成受人工控制的为约束，从而使基本未知量由被动的位移变成受人工控制的主动的位移。主动的位移。位移法基本结构位移法基本结构：在原结构上增加与基本未知量相应的可在原结构上增加与基本未知量相应的可控而得到的结构。控而得到的结构。如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附加约束

24、上的约束反力一定等于零。则附加约束上的约束反力一定等于零。 0021FF7-5 位移法的基本体系（1 1） 1 1=1=1单独作用时，附加约束的反力单独作用时，附加约束的反力k k1111、k k2121。k k1111=6=6i i+4+4i=i=1010i ik k2121=-6=-6i i/ /h h=-1.5=-1.5i i 附加刚臂上的约束力以附加刚臂上的约束力以顺时针为正。顺时针为正。 附加支杆上的约束力以附加支杆上的约束力以读者规定的线位移方向为正读者规定的线位移方向为正7-5 位移法的基本体系（2） 2=1单独作用时，附加约束的反力单独作用时，附加约束的反力k12、k22。k1

25、2=-1.5ik22=3i /4+ 3i /16 =15i/167-5 位移法的基本体系（3） 荷载单独作用时，附加约束的反力荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。F1P= qh2/12=4F2P=- qh/2=-67-5 位移法的基本体系将三种情况下的附加约束反力叠加，得将三种情况下的附加约束反力叠加，得11111221P22112222PFkkFFkkF 位移法方程为位移法方程为1111221P2112222P00kkFkkF 位移法典型方程位移法典型方程的物理意义的物理意义 基本结构在荷载和结点位移作用下，总附加约束反力等基本结构在荷载和结点位移作用下，总附加约束反力等于零于零将

26、求得的系数和自由项代入方程，求解得将求得的系数和自由项代入方程，求解得1212101.54 0151.56 016iii 120.737/7.58/ii 系系数数自由自由项项7-5 位移法的基本体系将三种情况下的弯矩图叠加将三种情况下的弯矩图叠加1122PMMMM7-5 位移法的基本体系对于对于n个基本未知量问题，位移法方程为个基本未知量问题，位移法方程为11112211P21122222P1122P000nnnnnnnnnnkkkFkkkFkkkF位移法典型方程位移法典型方程111212122212nnnnnnkkkkkkkkk 结构的刚度矩阵结构的刚度矩阵kii主系数，恒大于零；主系数，恒

27、大于零；kij=kji副系数，可正、可负、可为零；副系数，可正、可负、可为零；作用在对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反作用在对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载；对称荷载；在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的；对称的，而剪力图是反对称的；在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称的。图是反对称的，而剪力图是对称的。利用这些规则，计算对称结构时，可只取半边结构。利用这些规则，计算对称结构时，可只取半边结构。7

28、6 对称性的应用7-6 对称结构的计算(1)对称荷载对称荷载1 奇数跨对称结构在对称轴截面上，没有在对称轴截面上，没有转角和水平位移，可有竖转角和水平位移，可有竖向位移。向位移。(2)反对称荷载反对称荷载在对称轴截面上，没有竖向在对称轴截面上，没有竖向位移，可有转角和水平位移。位移，可有转角和水平位移。7-6 对称结构的计算2 偶数跨对称结构(1) 对称荷载对称荷载在对称轴截面上，没有转在对称轴截面上，没有转角和水平位移，由于不计轴角和水平位移，由于不计轴向变形，也没有竖向位移。向变形，也没有竖向位移。(2)反对称荷载反对称荷载柱柱CD只有弯曲变形，可按只有弯曲变形，可按抗弯刚度分成两个柱子。

29、抗弯刚度分成两个柱子。C处的支杆对处的支杆对弯矩不起作用。弯矩不起作用。7-6 对称结构的计算例 7-4 作图示结构作图示结构內內力图。吊杆的力图。吊杆的EA等于横梁等于横梁EI的的1/20m2。 解解 （2）基本未知量）基本未知量 取结点取结点B的转角的转角和竖和竖向位移向位移 为为基本未知量。基本未知量。（1）半边结构）半边结构（3）固端力）固端力22F22F10 10333kN m3310 10167kN m66BCCBqlMqlM 基本体系半边结构FQFQ10 10100kN0BCCBFqlF7-6 对称结构的计算（4）求杆端力）求杆端力杆杆AB22Q23626220206464202

30、06122020ABABABBAABABABABBAEIEIMiilEIEIMiilMMEIEIFl 杆杆BCQFFFQ3331016710100BCBCABBCCBABCBBCEIMiMEIMiMFF 7-6 对称结构的计算杆杆BDBD（5）列位移法方程）列位移法方程考虑考虑B点平衡点平衡N33205255335 20 252500BDEIEAFlEIEI 0,0BBABCMMMNQQ30,05yBdBABcFFFF7-6 对称结构的计算（5）最终杆端力）最终杆端力3330.30.0151000.0150.00222EIEI508079400EIEI22Q2326508079400682kN

31、 m202046508079400174kN m202061250807940042.8kN2020ABBABCMMF 7-6 对称结构的计算（7 7）作）作內內力图力图N m1015080167675kN m10100kNBCBABCMMF N37940095.2kN2500BDF 超静定结构当支座产生位移时，结构中一般会引起内力。超静定结构当支座产生位移时，结构中一般会引起内力。用位移法计算时，基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷用位移法计算时，基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用时一样，不同的只有固端力一项，载作用时一样，不同的只有固端力一项，例如由荷

32、载作用产生例如由荷载作用产生的固端弯矩改变成由已知位移作用产生的的固端弯矩改变成由已知位移作用产生的“固端弯矩固端弯矩”。*77 支座移动和温度改变时的计算1 支座位移时的计算例例 7-5 作图示连续梁支座作图示连续梁支座C下沉下沉C时的弯矩图。时的弯矩图。解解（1）基本未知量）基本未知量B（2）求杆端弯矩）求杆端弯矩333CBABBCBMiMiil*7-7 支座位移和温度改变时的计算（3）列位移法方程）列位移法方程（4）最终杆端弯矩）最终杆端弯矩00BBABCMMM630CBiil12CBl131.521331.52CCBACCCBCMiillMiiilll *7-7 支座位移和温度改变时的计算温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。杆件杆件内外温差内外温差使杆件弯曲，产生固端弯矩。使杆件弯曲，产生固端弯矩。温度改变时杆件的温度改变时杆件的轴向变形轴向变形使结点产生已知位移，使杆端使结点产生已知位移，使杆端产生相对横向位移又产生另一部分产生相对横向位移又产生另一部分“固端弯矩固端弯矩”。例例 7- 6 排架由于排架由于 温度均匀升高温度均匀升高 t 所产生的弯矩。所产生的弯矩。解L为结点到对称为结点到对称轴距离轴距离tL33tLMiihh 2 温度改变时的计算*7-7 支座位