《现代控制理论(第3版)》-第6章资料

1、6.1 6.1 概述概述6.2 6.2 研究最优控制的前提条件研究最优控制的前提条件6.1 3 6.1 3 线性二次型次优控制问线性二次型次优控制问 题题6.12 6.12 线性二次型最优控制问线性二次型最优控制问 题题6.3 6.3 静态最优化问题的解静态最优化问题的解6.10 6.10 双积分系统的时间最优双积分系统的时间最优 控制控制6.11 6.11 动态规划法动态规划法6.9 Bang-Bang6.9 Bang-Bang控制控制6.8 6.8 极小值原理极小值原理6.4 6.4 离散时间系统的最优控离散时间系统的最优控6.5 6.5 离散时间系统最优控制的离散时间系统最优控制的 离散

2、化处理离散化处理6.7 6.7 用变分法求解连续系统最用变分法求解连续系统最 优控制问题优控制问题- -有约束条件有约束条件 的泛函极值的泛函极值6.6 6.6 泛函及其极值泛函及其极值- -变分法变分法61 概述 所谓最优化，原非新鲜概念，人们在从事某项工作时，总是想着采取最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，这里就包含着最优化问题。 求解动态最优化问题的方法主要有古典变分法，极小(大)值原理及动态规划法等。 动态最优化问题可以分为确定性和随机性两大类。在确定性问题中，没有随机变量，系统的参数都是确定的。本书只讨论确定性最优控制问题。对连续时问系统对离散时间系统（6）6.2 研究最优控制的

3、前提条件在研究确定性系统的最优控制时，前提条件是：1.给出受控系统的动态描述，即状态方程2.明确控制作用域 在工程实际问题中，控制矢量 往往不能在 空间中任意取值，而必须受到某些物理限制，例如，系统中的控制电压，控制功率不能取得任意大。即 要满足某些约束条件，这时，在 空间中，把所有满足上式的点 的集合，记作：（7）这时，在 空间中，把所有满足上式的点 的集合，记作：(8)U U称为控制集。把满足（9）的 称为容许控制。3明确初始条件 通常，最优控制系统的初始时刻 是给定的。如果初始状态 称固定始端。如果 是任意的，则称自由始端。如果 必须满足某些约束条件：相应的始端集始端集为：此时， 则称为

4、可变始端。4明确终端条件 类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 和终端状态 都是给定的。 自由端则是在给定 情况下， 可以任意取值不受限制。可变终端则是指 的情况。其中是由约束条件 所形成的一个目标集目标集。5给出目标泛函，即性能指标对连续时间系统，一般表示为：对离散时间系统，一般表示为： 上述形式的性能指标，称为综合型或鲍尔扎型综合型或鲍尔扎型。它由两部分组成，等式右边第一项反映对终端性能的要求，例如对目标的允许偏差、脱靶情况等，称为终端指标函数；第二项中L L为状态控制过程中对动态品质及能量或燃料消耗的要求等，称为动态指标函数。若不考虑终端指标函数项 则有： 这种形式的性能指标称为积分型或

5、拉格朗日型。若不考虑动态指标函数项， 则形如：称为终端型终端型或梅耶型梅耶型。6.3 静态最优化问题的解 静态最优化问题的目标函数是一个多元普通函数，其最优解可以通过古典微分法对普通函数求极值的途径解决。动态最优化问题的目标函数是一个泛函数，确定其最优解要涉及古典变分法求泛函极值的问题。6.3.1 一元函数的极值 设 为定义在闭区间 上的实值连续可做函数，则存在极值点 的必要条件是：（21）为极小值点充要条件是：为极大值点充要条件是： 因为 的极小值和 的极大值等效，所以今后所有推导和结论，均以圾小化为准。6.3.2 多元函数的极值 设 元函数 这里 为 维列向量。它取极值的必要条件是：至于取

6、极小值的充要条件，尚需满足：或函数的梯度为零矢量。即下列海赛矩阵为正定矩阵。6.3.3 具有等式约束条件的极值 上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。对于具有等式约束条件的极值问题，则要通过等效变换，化为无约束条件的极值问题来求解。设罐头桶的几何尺寸：高为 半径为 则容积为：（29）给定铁皮面积A=常量。要使罐头桶容积为最大，必然要受条件：（30）的约束： 解此类问题的方法有多种，如嵌入法嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法(增元法)等。1.嵌入法 先从约束条件式(30) 解出一个变量，例如 等，然后代入目标函数式(29)得：(31)这样就变成一个没有约束条件的函数式。显然，式(3

7、1)取极值的条件为：可解出极值点： 又因为 故上述极值点为极大值点。罐头桶的最大容积为：2.拉格朗日乘子法6.4 离散时间系统的最优控6.4.1 基本形式 6.4.2 具有二次型性能指标的线性系统65 离散时间系统最优控制的离散化处理式中， 为终端代价函数，假定 是自由终端。最优控制问题是在式(73)约束条件下，寻求 使式(74)为最小。 设系统状态方程为：（73）目标函数为：（74）6.6 泛函及其极值变分法6.6.1 变分法的基本概念1泛函 变分法是研究泛函极值问题的数学工具。什么叫泛函呢?通俗地说，泛函就是函数的函数。它是普通函数概念的一种扩充。2.泛函的极值3.泛函的变分4泛函极值定理

8、6.6.2 泛函极值的必要条件欧拉方程求泛函6.6.3 多元泛函的极值条件6.6.4 可变端点问题6.6.5 具有综合型性能泛函的情况67 用变分法求解连续系统最优控制问题有约束条件的泛函极值6.7.1 拉格朗日问题6.7.2 波尔札问题6.8 极小值原理定理6.8.1 设系统状态方程为： 始端条件为：（1）控制约束为：（2）终端约束为：（3）性能泛函为：（4）取哈密顿函数为：（5） 则实现最优控制的必要条件是，最优控制 、最优轨线 和最优协态矢量 满足下列关系式：1)沿最优轨线满足正则方程（6）（7）若则为：（8）2)在最优轨线上，与最优控制 相应的H H 函数取绝对极小值，即或（9）3)H

9、函数在最优轨线终点处的值决定于：沿最优轨线，有（10）（11）这就是著名的极小值原理。4)协态终值满足横截条件：（12）5)满足边界条件：（13）6.9 Bang-Bang控制 定理69l 线性定常系统=(A A，B B，C C)，若存在时间最优 控制，则该控制 是惟一的。，但都能以证明 用反证法。设存在两个控制相同的最小时间 广使系统完成从初值 到零状态的转移，因此有： 令 作用下，系统在 时刻也将初值 转移到原点 。即 所以w也是最小时间控制，根据前面的结论， 都是BangBang控制，又 不相等的时刻上，有 不是BangBang控制，与w()是最优控制矛盾，因此有：这表明控制 是惟一的。

10、6.10 双积分系统的时间最优控制设双积分系统的状态方程为：求最优控制 ,把系统从仞态转移到终态，使 为极小。6.10.l 根据极小值原理确定最优控制列出哈尔密顿函数为使H全局最小呵得最优控制：由协态方程得： 在 是一直线，其四种可能形状以及与之相应的 ，如下图所示。解得：故即显而易见，可供选择的最优控制序列有下列四种：切换次数至多一次。切换时刻为： 6.10.2 状态轨线及开关曲线 6.10.3 最优控制律 为了使系统的状态能以最小时间从初态 转移到终态(0，0)。当初态所划位置不同时，应当采取的控制规律不同。但是，凡不在开关曲线上的点，至少要经过一次切换，转到开关曲线后才能沿着 +或-到达

11、原点(0，0)。因此，按照初态 所处的位置可得到下列最优控制规律：若将开关曲线写成：则最优控制律可表示成：6.10.4 最优控制律的工程实现6.10.5 最优时间计算 基本方法是把状态转移轨线按控制序列分成若f段，逐段汁算所需时问然后求和。下面给出的是从初态 沿最优轨线到轨线与开关曲线交点的时问，以及从交点沿开关曲线到达原点时间的计算公式在日前情况下，只要把这两段时间加起来，即为状态转移的最小时间。6.11 动态规划法 动态规划是贝尔曼(Bellman)在 20世纪 50年代作为多段(步)决策过程研究出来的，现已在许多技术领域中获得广泛应用。动态规划的核心是最优性原理。6.11.1 多段决策问

12、题6.11.2 离散系统的动态规划6.11.3 连续系统的动态规划 利用动态规划最优性原理，可以推导出能泛函为极小应满足的条件哈密尔顿雅可比方程。即 综上所述，可将连续型动态规划求解最优控制问题的步骤归纳如下：1)构造哈密尔顿函数： 2)由上述条件解出的 的函数。3)将 代入哈密尔顿一贝尔曼方程，并根据边界条件，解出 4)将 代回 ，即得最优控制 它是状态变量的函数，据此可实现闭环最优控制。5)将 代入状态方程，可进一步解出最优轨线6)再将 代人求得最优性能泛函 。 6.12 线性二次型最优控制问题6.12.1 二次型性能泛函二次型性能泛函的一般形式如下：6.12.2 有限时间状态调节器问题

13、状态调节器的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。在研究这类问题时，通常是把初始状态矢量看作扰动，而把零状态取作平衡状态。于是调节器问题就变为寻求最优控制规律u，在有限的时间区间 内，将系统从初始状态转移到零点附近，并使给定的性能泛函取极值。6.12.3 无限时间状态调节器问题对于无限时间状态调节器，这里要强调以下几点： 1)适用于线性定常系统，且要求系统完全能控，而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。 2)在性能泛函中，由于 ，而使终端泛函 失去了意义，即 3)与有限时间状态调节器一样，最优控制也是全状态的线性反馈

14、，结构图也与前面的相同。但是，这里的P P 是nn 维的实对称常矩阵，是黎卡捉矩阵代数方程的解。因此，构成的是一个线性定常闭环系统。 4)闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵 的特征值均具负实部，而不论原受控系统A的特征值如何。6.12.4 输出调节器问题 1.输出调节器的任务是当系统受到外扰时，在不消耗过多能量的前提下，维持系统的输出矢量接近其平衡状态。1.线性时变系统输出调节器问题给定一个能观的线性时变系统：性能泛函为：于是可以用状态调节器上式来确定最优控制：式中， 为下列黎卡提距阵微分方程的解：边界条件：给定一个完全能控、能观的线性定常系统：2. 线性定常系统输出调节器问题性能泛函为：式中，

15、 任意取值； 为正定对称矩阵； 为正定或半正定矩阵。要求在系统方程约束下，寻求最优控制为：而 是下列黎卡提代数微分方程的解：6.12.5 跟踪器问题 1.线性时变系统跟踪器问题2.线性定常系统6.1 3 线性二次型次优控制问题没完全能控、能观系统的动态方程为：性能指标为二次型：式中， 为正定(或半正定)对称阵； 为正定对称阵。 如上所述，设控制变量 是由输出变量 的线性负反馈所构成，即闭环系统结构图示如下图所示：从图可得闭环系统的状态方程：（1）式中， 为闭环系统的状态矩阵。式中此时，性能指标演化为：（2） 在规定了系统结构的情况下，设计任务就是确定输出反馈矩阵K K，使性能指标式(2)取极值。对渐近稳定系统式(1)，构造一个李雅普诺夫函数：对于渐近稳定的系统，当 必须为负定。将上