第11章 影响线极其应用

1、1 2大小、方向不变，载荷作用点改变的荷载大小、方向不变，载荷作用点改变的荷载。结构的反应（反力、内力等）随载荷作用位结构的反应（反力、内力等）随载荷作用位置的改变而改变，置的改变而改变，最不利载荷位置最不利载荷位置。移动载荷作用下结构的最大反应计算。线弹移动载荷作用下结构的最大反应计算。线弹性条件下，影响线是有效工具之一。性条件下，影响线是有效工具之一。ABxP3P=1R=1P=1R=0Rx3/41/21/41-反力反力R的影响线的影响线单位移动荷载作用下某单位移动荷载作用下某物理量随载荷位置变化规物理量随载荷位置变化规律的图形。律的图形。其一是其一是静力法静力法，另一，另一为为机动法机动法

2、（虚功法）。（虚功法）。P=1R=3/4l/4P=1R=1/2l/2P=1R=1/43l/4P=1Rx4首先利用静力平衡条件程建立首先利用静力平衡条件程建立影响线方程影响线方程，然后由，然后由函数作图的方法作出影响线函数作图的方法作出影响线-静力法。静力法。0 AmlxYB/ YB影响线方程影响线方程YB影响线影响线0 BmlxYA/1 YA影响线影响线ABlAYBYx1+1+1例例1简支梁简支梁5YB影响线影响线YA影响线影响线求求k截面弯矩和剪力影响线截面弯矩和剪力影响线lxYB/ lxYA/1 ax 0 Km研究右半部分研究右半部分bYMBK lbx/ 0 yFlxYQBK/ ax 研究

3、左半部分研究左半部分0 KmaYMAK laxa/ 0 yFlxYQAK/1 lab/baMK影响线影响线la/lb/11QK影响线影响线kabABlAYBYx1BBYKMKQbAAYa1x+16xl xl YMBA2 /2 /1 AYNoImage0 yFMA影响线影响线lYA影响线影响线1xl/2QKMKxl xl YMBA2 /2 /P=1QK=1MK= -(x - l/2 )QK影响线影响线MK影响线影响线例例2 悬臂梁。悬臂梁。l/2l/2KP=1AxxMAYA1l/2研究右半部分研究右半部分研究右半部分研究右半部分7xl xl YMBA2 /2 /xlxlYMBA2/2/1 BY0

4、 yFYB影响线影响线xl/4QK=0MK= l/2-xMA影响线影响线MK影响线影响线QK影响线影响线例例3 外伸梁。外伸梁。l/4l/4k1AiBl/4l/4xxMAYB1+1l/2l/2 +l/2l/4+（1） （2） QKMKYBl/4研究右半部分研究右半部分研究左半部分研究左半部分AAMl/48xl xl YMBA2 /2 /xlxlYMBA2/2/1 BY0 yFYB影响线影响线xl/4QK=0MK= l/2-xMA影响线影响线MK影响线影响线QK影响线影响线例例3 外伸梁。外伸梁。l/4l/4k1AiBl/4l/4xxMAYB1+1l/2l/2 +l/2l/4+（1） （2） 研

5、究右半部分研究右半部分研究右半部分研究右半部分（3） x3l/4Mi=3l/4 -xQi=1QKMKx-3l/41Mi影响线影响线Qi影响线影响线l/41+9辅梁辅梁主梁主梁作作Mk , , Q k影响线影响线4.4.影响线在相邻结点影响线在相邻结点之间是之间是Kalb1特点特点1.1.移动载荷对于主梁移动载荷对于主梁属于属于间接载荷间接载荷1 1sx1-x/sx/sK2.2.移动载荷位于结点移动载荷位于结点处时，对于主梁处时，对于主梁属于属于直接载荷直接载荷K1lxsYB)( bYMBKBY3.3.无论载荷在主梁上无论载荷在主梁上还是在辅梁上还是在辅梁上, ,影响线影响线结点处的结点处的BK

6、YQ10辅梁辅梁主梁主梁作作Mk , , Q k影响线影响线Kalb1作法作法1.1.作载荷直接作用作载荷直接作用 于主梁时的影响线于主梁时的影响线2.2.将结点投影到影将结点投影到影 响线上响线上3.3.将相邻投影点将相邻投影点连以直线连以直线ab/l Mk影响线影响线a/l Qk影响线影响线b/l+11 作业作业 11-3 11-912作静定结构影响线的作静定结构影响线的机动法机动法的理论基础是刚体的理论基础是刚体.下面以静定梁为例说明。下面以静定梁为例说明。0)(1BBYxy令令1 B作图示梁支座反力影响线作图示梁支座反力影响线)(1xyYBB)(xyYB机动法步骤机动法步骤:解除与所求

7、量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向方向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。+YB影响线影响线1B P=1BY)(xyyBP=12lxlA(1) YB影响线影响线13作静定结构影响线的作静定结构影响线的机动法机动法的理论基础是刚体的理论基础是刚体.下面以静定梁为例说明。下面以静定梁为例说明。作图示梁支座反力影响线作图示梁支座反力影响线机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所

8、求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向方向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。YA影响线影响线ABP=12lxlBYAAY1+1(2) YA影响线影响线14作图示梁作图示梁k截面弯矩和剪力影响线截面弯矩和剪力影响线机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1

9、,1,方向方向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。MK影响线影响线ABP=12lxlabK0)()(1KMxyABP=1xKMky)(1xyMK令令1)(xyMK)(xy)(a+a(3) MK影响线影响线15作图示梁作图示梁k截面弯矩和剪力影响线截面弯矩和剪力影响线机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向方向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚

10、位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。QK影响线影响线ABP=12lxlabK11ABQk+b/2la/2l1(4) QK影响线影响线161作图示梁作图示梁影响线影响线例例1YA影响线影响线MA影响线影响线lQk影响线影响线Mk影响线影响线l/2l/2K1AYA11+1+l/21MAMkQk117 外伸梁。外伸梁。l/4l/4k1AiBl/4l/4x例例2YBYB影响线影响线1MA影响线影响线Mk影响线影响线MAl/2Mi影响线影响线1Qk影响线影响线Q i影响线影响线1+l/21Mk1QkMil/41Qi18M1YA影响线影响线作作YA 、 M1 、 M2 、 Q2 、

11、 MB 、 Q3 、 YC 、 Q4 、 QC左左 、 QC右右 影响线影响线1ABCD12342m1m1m1m1m1m1m2m1m1mYA1M1影响线影响线M2影响线影响线1+M2例例319Q2影响线影响线MB影响线影响线Q3影响线影响线111+作作YA 、 M1 、 M2 、 Q2 、 MB 、 Q3 、 YC 、 Q4 、 QC左左 、 QC右右 影响线影响线ABCD12342m1m1m1m1m1m1m2m1m1m例例3Q212MBQ320YC影响线影响线Q4影响线影响线YCQ4QC左左影响线影响线QC右右影响线影响线作作YA 、 M1 、 M2 、 Q2 、 MB 、 Q3 、 YC

12、、 Q4 、 QC左左 、 QC右右 影响线影响线ABCD12342m1m1m1m1m1m1m2m1m1m例例31+1+1+1+QC左左QC右右21作作YB 、 MK 、 QK 影响线影响线例例4Ka1BB1 YB影响线影响线BMkMK影响线影响线a QkQK影响线影响线1 22N1影响线影响线 桁架承受的是桁架承受的是。经结点传递载荷的主梁影响线经结点传递载荷的主梁影响线的做法同样适用于桁架。的做法同样适用于桁架。1 1P P=1=1aaa1 11 11 123 0YF1.1.N1 1影响线影响线I.L.YI.L.YAI.L.YI.L.YB 0Fm力在力在G点右侧点右侧: :AYN 1力在力

13、在F点左侧点左侧: : 0FmBYN21 1 12 2I.L.NI.L.N12.2.N2 2影响线影响线 0YF力在力在G点右侧点右侧: :AYN22 力在力在F点左侧点左侧: :BYN22 I.L.NI.L.N23.3.N3 3 影响线影响线N2 2N3 3D2/223NN 4.4.N4 4 影响线影响线力在力在G左左: : N4 4=0=0力在力在G点点: : N4 4=-1=-1I.L.NI.L.N41 1221 1aaa1 1a2 23 34 4ABCDEFGHN2 2ACEFN1 1YA1 1+1 1+YBBDN2 2N1 1F11+24 作业作业 11-10 11-1125y一、利

14、用影响线求固定载荷作用下的内力、反力等一、利用影响线求固定载荷作用下的内力、反力等niiiCyPM1CMC影响线影响线y1MC=P1y1y2+P2y2yn+ + PnynP1y1+P2y2 + +Pkyk=RyR根据根据叠加原理叠加原理P1P2PnPkyk该直线段包括该直线段包括P1、P2、Pk共共K个力个力P1、P2、Pk的合力的合力根据根据合力矩定理合力矩定理RkiiiyRyPS126qAdxxyqdxxyqMbabaC)()(A)(xydxqdMC一、利用影响线求固定载荷作用下的内力、反力等一、利用影响线求固定载荷作用下的内力、反力等P1P2PnPky1y2ynykCMC影响线影响线+对

15、于对于均布载荷均布载荷xby(x)0 xadxCqqdxniiiCyPM1qAMCAw图中阴影区域图中阴影区域的的 27例：例：利用影响线求利用影响线求k截面弯矩、剪力。截面弯矩、剪力。04/)4/(2qlqllqlMK0)21(212qqlqlQK解：解：4/2ql2/ql021212qqlqlQK2/3qlQk影响线影响线1/21/21/21/2+Mk影响线影响线l/4l/4l/4+kl/2qqlql2l/2l/2l/22/3qlQK左2/qlQK右即即28一、利用影响线求固定载荷作用下的内力、反力等一、利用影响线求固定载荷作用下的内力、反力等1. 一个移动集中载荷一个移动集中载荷二、利用

16、影响线确定最不利载荷位置（二、利用影响线确定最不利载荷位置（说明说明）:结构中某量达到最大值结构中某量达到最大值(或最小值或最小值) 时的载荷位置时的载荷位置.Mk影响线影响线PP使使Mk发生最大值的载荷位置发生最大值的载荷位置使使Mk发生最小值的载荷位置发生最小值的载荷位置Mk,max=PykMk,min=PyaPkabyaykyb+292. 移动均布载荷移动均布载荷使使Mk发生最大值的载荷分布发生最大值的载荷分布使使Mk发生最小值的载荷分布发生最小值的载荷分布1. 一个移动集中载荷一个移动集中载荷Mk影响线影响线PP使使Mk发生最大值的载荷位置发生最大值的载荷位置使使Mk发生最小值的载荷位

17、置发生最小值的载荷位置Mk,max=PykMk,min=PyaPkabyaykyb+qkabqAMK30dxdyi3. 移动集中力系移动集中力系MC (x) =P1y1+P2y2+ + PnynMC (x+dx) =P1(y1 + dy1 )+P2(y2+dy2 )+ + Pn (yn+dyn ) dMC (x) =P1dy1 + P2dy2 + Pndyn 左导数左导数 0 ，左导数，左导数 0，存在，存在P1P2PnPky1y2ynykCI.L.MCxxdxdxbhPPdxahPPPnKk)()(121dMC (x) =dy1 (P1+ P2 + Pk)+dyk+1 (Pk+1+ Pk+2

18、 + Pn)abh影响线同一直线上的影响线同一直线上的dyi都相同都相同bhPPahPPPdxdMNKkC)()(121 左导数左导数 0 ，左导数，左导数 0，存在，存在313. 移动集中力系移动集中力系dxdyiP1P2PnPky1y2ynykCI.L.MCxxdxabhbhPPahPPPdxdMNKkC)()(121bhPPahPPPNKk)()(121bhPPahPPPNKk)()(121载荷左移载荷左移载荷右移载荷右移bhPPahPPPNKk)()(121bhPPahPPPNKk)()(121载荷左移载荷左移载荷右移载荷右移323. 移动集中力系移动集中力系满足上式的满足上式的 Pk

19、 称作称作.记作记作 临界载荷位于影响线顶点时的载荷位置称为临界载荷位于影响线顶点时的载荷位置称为y1y2ynykCI.L.MCxabhbhPPahPPPdxdMNKkC)()(121载荷左移载荷左移载荷右移载荷右移载荷左移载荷左移载荷右移载荷右移P1P2PnPk只有某个载荷位于只有某个载荷位于时才可能存在极值时才可能存在极值P1P2PnPkP1P2PnPkbRaPRRkL bRPaRRkL bRaPRRkLbRPaRRkL-临界载荷判别式临界载荷判别式33P1P2PkPnS影响线影响线1 2 3 PkR1R2R3（折线）（折线）dS (x) =P1dy1 + P2dy2 + Pndyn id

20、xdyidxdyii=(R1tg1 + R2tg2 + Rntgn )dxdxdS=R1tg1 + R2tg2 + Rntgn载荷左移载荷左移0taniiR载荷右移载荷右移0taniiR0taniiR0taniiR或或-iidxdytg341.由临界载荷判别式确定哪些载荷是临界载荷；由临界载荷判别式确定哪些载荷是临界载荷；:结构中某量达到最大值结构中某量达到最大值(或最小值或最小值) 时的载荷位置时的载荷位置.满足临界载荷判别式的满足临界载荷判别式的 Pk 称作称作.记作记作 临界载荷位于影响线顶点时的载荷位置称为临界载荷位于影响线顶点时的载荷位置称为较多载荷位于影响线较多载荷位于影响线 同号

21、范围内同号范围内, 较多载荷位于影响线较大（较小）竖标处较多载荷位于影响线较大（较小）竖标处;排列密集、数值较大载荷位于竖标较大的顶点排列密集、数值较大载荷位于竖标较大的顶点. 2.计算载荷位于各临界位置时的量值；计算载荷位于各临界位置时的量值；3.比较得到的量值，得到最大值比较得到的量值，得到最大值(或最小值或最小值) ；4.最大值最大值(或最小值或最小值)发生时的临界位置即是发生时的临界位置即是。35例例1 求图示简支梁求图示简支梁C截面弯矩的最不利载荷位置及截面弯矩的最不利载荷位置及MC.max。解：解：10065 .42 bRaPRRkL105 .462 bRPaRRkL105 .42

22、67 bRPaRRkL6mC10mP4=3kN.P3=7kN,P2=2kN,P1=4. 5kN,P14m4m5mP4P3P2MC影响线影响线+63.75将将P1置于置于C处处将将P2置于置于C处处P2不是临界载荷不是临界载荷P1P2P2P3P1移动方向移动方向361.251.88MC影响线影响线+3.75解：解：105 .42673 bRaPRRkL105 .42763 bRPaRRkL1027630 bRaPRRkLP3是临界载荷是临界载荷P4不是临界载荷不是临界载荷mkN4 .1925.175.3211PPMC0.38mkN5 .3525. 175. 388. 138. 043213PPP

23、PMCmkN5 .35max,CM6mC10mP14m4m5mP4P3P2P1P2移动方向移动方向P4=3kN.P3=7kN,P2=2kN,P1=4. 5kN,P3P4P2P1P4P2P3P1是临界力是临界力,P2不是临界力不是临界力将将P3置于置于C处处将将P4置于置于C处处 若载荷可以掉头，若载荷可以掉头，如何处理？如何处理？ 实际计算时，一般并不需验证所有载荷实际计算时，一般并不需验证所有载荷是否为临界载荷，只考虑那些数值较大、是否为临界载荷，只考虑那些数值较大、排列密集的载荷。排列密集的载荷。37P1位于位于C点点kN20654343211max,PPQC例例2 求图示简支梁求图示简支

24、梁C截面剪力的最大值和最小值。截面剪力的最大值和最小值。 载荷运行方向不变。载荷运行方向不变。 P1=10kN， P2 =20kNP1P2P2P1解：解：kN106543)41(211min,PPQCkN8 .1343)81(212max,PPQCP2位于位于C点点kN25.6)41()81(212min,PPQCkN20max,CQkN25.6min,CQ2mC6mP1P21m3/4QC影响线影响线1/4+38 作业作业 11-22 11-2339绝对最大弯矩绝对最大弯矩:所有截面最大弯矩中的最大者。所有截面最大弯矩中的最大者。RkP1PNlPkABxal -x-aYAYAP1PkMkLkA

25、kMxYxM )(RlaxlYA LkkMRxlaxxM )1()(0)21( RlaxdxdMk2/2/alx LkkMallRM 2max,)22(), 2 , 1(Nk 402/2/alx LkkMallRM 2max,)22(), 2 , 1(Nk RP1PNl/2PkABxal -x-al/2kMk,max(k=1,2N)中的最大者即是绝对最大弯矩。中的最大者即是绝对最大弯矩。a/2 a/2实际做法：实际做法：1、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界载荷、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界载荷Pcr；2、计算梁上合力、计算梁上合力R及与临界力距离及与临界力距离a ；3、移动载荷组，使、

26、移动载荷组，使R与与Pcr位于梁中点两侧位于梁中点两侧a/2处。处。若没有载荷移出或移入梁，由上式计算绝对最大弯矩若没有载荷移出或移入梁，由上式计算绝对最大弯矩 ；若有载荷移出或移入梁，从第若有载荷移出或移入梁，从第2步重新计算。步重新计算。41P2和和P3是是MC发生最大值发生最大值时的临界力时的临界力(计算过程略计算过程略).例：例：求图示简支梁的绝对最大弯矩。载荷运行方向不变。求图示简支梁的绝对最大弯矩。载荷运行方向不变。已知：已知：P1= P2 = P3= P4 = 324.5kN解：解：3mABC3mP1P24.8mP3P44.8m1.45P2P3kNPPR64932 ma725.

27、0 64)725. 06(6492max,2 MRaP2P3a/21、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界载荷、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界载荷Pcr；2、计算梁上合力、计算梁上合力R及与临界力距离及与临界力距离a ；3、移动载荷组，使、移动载荷组，使R与与Pcr位于梁中点两侧位于梁中点两侧a/2处。处。若没有载荷移出或移入梁，由右式计算绝对最大弯矩若没有载荷移出或移入梁，由右式计算绝对最大弯矩 ；若有载荷移出或移入梁，从第若有载荷移出或移入梁，从第2步重新计算。步重新计算。2/2/alx LkkMallRM )22(2max,P3为临界力为临界力kNPPR64932 ma725. 0 5

28、 .47064)725. 0(66492max,2 MmkN.5 .752 mkN.5 .752 P3a/2P2对于等截面梁对于等截面梁,发生绝对最大弯发生绝对最大弯矩的截面是最危险截面矩的截面是最危险截面.42内力包络图内力包络图:在恒载和活载共同作用下在恒载和活载共同作用下,由各截面内力最由各截面内力最大值连接而成的曲线。分弯矩包络图和剪力包络图。大值连接而成的曲线。分弯矩包络图和剪力包络图。内力包络图内力包络图内力包络图的做法内力包络图的做法:将梁沿跨度分成若干等份将梁沿跨度分成若干等份,求出各等求出各等份点的内力最大值和最小值份点的内力最大值和最小值;用光滑曲线将最大值连成用光滑曲线将最大值连成曲线曲线,将最小值也连成曲线将最小值也连成曲线.由此得到的图形即为内力包由此得到的图形即为内力包络图。络图。431.简支梁内力包络图简支梁内力包络图弯矩包络图弯矩包络图剪力包络图剪力包络图692.212mAB280kN4.8m4.8m1.44280kN 280kN 280kN将梁分成十等份将梁分成十等份求各分点截面弯矩最大值求各分点截面弯矩最大值1182.71471.71639.71668.7用光滑曲线连成曲线用光滑曲线连成曲线660.857