等差数列前n项和的性质

1、高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28第二章第二章 数数 列列2.3 2.3 等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-281.1.等差数列的递推公式是什么？等差数列的递推公式是什么？ an1an12an（n2） an an1d（n2）【问题提出】【问题提出】2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？ 在结构上是关于在结构上是关于n的一次函数的一次函数.ana1(n1)dam(nm)dpn

2、k.高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-283.等差数列前等差数列前n项和的两个基本公式是什么？项和的两个基本公式是什么？，1()2nnn aaS+=2) 1(1dnnnaSn4.深入研究等差数列的概念与前深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究将对此作些简单探究.高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28思考思考1：若若数列数列an的前的前n和和

3、那么那么数列数列an是等差数列吗？是等差数列吗？，1()2nnn aaS+=an是等差数列是等差数列 【知识探究】【知识探究】知识探究（一）知识探究（一）等差数列与前等差数列与前n项和的关系项和的关系2)(1nnaanS 高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28思考思考2：将等差数列前将等差数列前n项和公式项和公式看作是一个关于看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？的函数，这个函数有什么特点？2) 1(1dnnnaSn当当d0时，时，Sn是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数.ndandSn)2(212高二高二必修必修5数学

4、数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28思考思考3：一般地，若数列一般地，若数列an的前的前n和和SnAn2Bn，那，那么数列么数列an是等差数列吗？若是等差数列吗？若SnAn2BnC 呢？呢？（1）数列）数列an是等差数列是等差数列 SnAn2Bn（2）数列）数列an 的前的前n项和是项和是SnAn2BnC ，则：，则：若若C0，则数列，则数列an是等差数列；是等差数列；若若C0，则数列，则数列an从第从第2项起是等差数列。项起是等差数列。高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28思考思考4：若若an

5、为等差数列，那么为等差数列，那么 是什么数列？是什么数列？nSn数列数列an是等差数列是等差数列 为等差数列为等差数列nSn 即等差数列即等差数列an的前的前n项的平均值组成的数列仍项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列然是等差数列，且公差是数列an的公差的一半。的公差的一半。高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28知识探究（二）知识探究（二）等差数列前等差数列前n项和的性质项和的性质思考思考1：在等差数列在等差数列an中，每连续中，每连续k项的和组成的数列，项的和组成的数列，即数列即数列a1a2ak， ak+1ak+2a2k

6、，a2k+1a2k+2a3k， 是等差数列吗？是等差数列吗？性质：性质：若数列若数列an是是等差数列等差数列，那么数列，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k , 仍然成等差数列仍然成等差数列高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28思考思考3：在等差数列在等差数列an中，设中，设S偶偶a2a4a2n，S奇奇a1a3a2n1，则，则S偶偶S奇奇与与 等于什么？等于什么？SS偶奇S偶偶S奇奇nd1=nnSaSa偶奇思考思考2：在等差数列在等差数列an中，中，Sn，S2n，S3n三者之间有什三者之间有什么关系？么关系？S3n3(S2nSn)高

7、二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28思考思考4：设设等差数列等差数列an、bn的前的前n项和分别为项和分别为Sn、Tn，则则 等于什么？等于什么？思考思考5：在等差数列在等差数列an中，若中，若a10， d0，则，则Sn是否是否存在最值？如何确定其最值？存在最值？如何确定其最值？ 2121nnnnaSbT 当当ak0，ak10时时，Sk为最大为最大.nnab高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28【题型分类【题型分类 深度剖析】深度剖析】题型题型1 1：等差数列前等差数列前n

8、n项和性质的简单应用项和性质的简单应用例例1：（1）若一个等差数列前）若一个等差数列前3项的和为项的和为34，最后，最后3项项的和为的和为146，且所有项的和为，且所有项的和为390，则该数列有，则该数列有( )项。项。 A.13 B.12 C.11 D.10高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28变式探究变式探究1.已知等差数列已知等差数列an满足满足a1+a2+a3+a101=0，则有，则有( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=512.等差数列等差数列an 前前n项和项和Snan2(a

9、1)na2， 则则an .3. 等差数列等差数列an中，已知中，已知S42，S87，则，则S12=_；高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-284. 等差数列等差数列an的前的前m项的和为项的和为30，前，前2m项的和为项的和为100，则它的前则它的前3m项的和为项的和为 () A. 130 B. 170 C. 210 D. 2605.等差数列等差数列an中，中，Sn是其前是其前n项和，项和，a12011， ，则，则S2011的值为的值为() A.0 B.2011 C.2011 D.2011201120092007220092007SS高

10、二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28题型题型2 2：等差数列最值问题等差数列最值问题例例2：等差数列等差数列an中，中，a1高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28小结：小结：求等差数列求等差数列an前前n项和项和Sn的最值常用方法：的最值常用方法：方法方法1：二次函数性质法，即求出二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn， 讨论二次函数的性质讨论二次函数的性质方法方法2：讨论数列讨论数列an 的通项，找出正负临界项。的通项，找出正负临界项。（1）若）若a10，d0，则，则Sn

11、有大值，且有大值，且Sn最大时的最大时的n满足满足an0且且an+10;（2）若）若a10，则，则Sn有小值，且有小值，且Sn最小时的最小时的n满足满足an0且且an+10;高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28变式探究变式探究1.首项为正数的等差数列首项为正数的等差数列an，它的前，它的前3项和与前项和与前11项项和相等，则此数列前和相等，则此数列前_项和最大？项和最大？2.等差数列等差数列an 前前n项和项和Sn中，以中，以S7最大，且最大，且|a7|0的的n的最大值为的最大值为_3.等差数列等差数列an中，已知中，已知|a7|=

12、| a16|=9，且，且a14=5，则使，则使an0时，求时，求n的最大值；的最大值；高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28题型题型3 3：等差数列中的等差数列中的a an n与与SnSn的关系的关系例例3：Sn，Tn分别是等差数列分别是等差数列an、bn的前的前n项的和，项的和，且且 ，则，则55ba . 327nnTSnn高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-281.已知两个等差数列已知两个等差数列an和和bn的前的前n项和分别为项和分别为An和和Bn，且，且 ，则使得，则使

13、得 为整数的正整数为整数的正整数n的的个数是个数是() A2 B3 C4 D53457nnBAnn变式探究变式探究nnba高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28例例4：已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn12nn2，求数列，求数列|an|的前的前n项和项和Tn. 当当n1时，时，a1S1121211；当；当n2时，时，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式，时适合上式，an的通项公式为的通项公式为an132n.由由an132n0，得，得n ，即当即当1n6(nN*)时，时，an0；当；当n7时，时

14、，an0.解析：解析：题型题型4 4：求等差数列的前求等差数列的前n n项的绝对值之和项的绝对值之和 高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28(1)当当1n6(nN*)时，时，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.(2)当当n7(nN*)时，时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28变式探究变式探究1数列数列an中，中，a18，a42，且满足，且满足an22

15、an1an0，nN*.(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)设设Sn|a1|a2|an|，求，求Sn. (1)由由an22an1an0得，得，2an1anan2，所以数列所以数列an是等差数列，是等差数列，d 2，an2n10，nN*.解析：解析：高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28当当n6，nN*时，时，高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-28题型题型5 5：等差数列的综合应用等差数列的综合应用高二高二必修必修5数学数学广东省普宁市第二中学数学组广东省普宁市第二中学数学组 2022-5-2822得得4anan2an122an2an1，即即(anan1)(anan12)0.an0，anan10， anan12，数列数列an是首项为是