结构动力学第八章-2012.

1、结构动力学结构动力学 第八章第八章第八章 SDOF系统周期激励响应 频域分析 *时域分析与频域分析是动力分析的两种基本类型。*频域分析的基础是线性迭加原理，只适用于线性振动。湖南大学陈政清 编制1结构动力学结构动力学 第八章第八章8.1周期激励响应实数型傅立叶级数（三角级数） 一、周期激励的傅立叶级数分解 周期函数定义 ()( )p Ttp t湖南大学陈政清 编制2 周期函数与周期荷载，周期为T，圆频率为2/T简谐荷载是周期荷载，但周期荷载却不一定是简谐荷载。单个脚步力时程周期荷载例子-步行力荷载一对脚步力时程周期荷载例子-步行力荷载一对脚步力时程周期荷载例子-波浪力荷载 01102( )co

2、s()sin(),P t2cnsnnncnsnp tppntpntTpppn 力学意义： 可以看做一个静力（平均）荷载 和个简谐激励之和 ，是简谐激励的幅值，是激励频率。高等数学指出（思路，sin,cos是周期函数，可以表示所有周期函数)cos(nt) sin(nt)称为第n阶谐波，pcn称为谐波系数结构动力学结构动力学 第八章第八章一、周期激励的傅立叶级数分解 周期函数定义 ()( )p Ttp t 01120020222( )cos()sin(),P t111( )( )( )22( )cos()( )cos()2( )cos()22( )sin()cnsnnnTt TTTtt TTcnt

3、TTt Tsntp tppntpntTppdpdpdTTTppnt dpnt dTTpnt dTppnt dT 如果已知，那可以计算出 022( )sin()2( )sin()TTTpnt dTpnt dT 湖南大学陈政清 编制7结构动力学结构动力学 第八章第八章二、无阻尼SDOF系统在周期激励下的稳态解 稳态解：不考虑结构响应的自由振动部分， 即不考虑齐次方程的解，只考虑特解02P由于周期荷载可以分解为 和个简谐荷载，可以先计算每一项荷载的稳态响应，再相加。湖南大学陈政清 编制8结构动力学结构动力学 第八章第八章00002201102coscoscos,1sinn t1sin111(cos1

4、cncncncncncnnnsnsnsnsnncnsnnncnnPmukuPukpn tmukupn tpnkun trrpupun tkruuuuppn tpkkr （1）P的响应：由得，（2）对的响应：由可知式中，（3）.同理，对于的响应为:总的响应为:1sin)snnn t湖南大学陈政清 编制9结构动力学结构动力学 第八章第八章三、有阻尼SDOF系统在周期激励下的稳态解coscossin,cncncncncnnnmucukupn tuatbt 可用与上面相同的方法求出，即先求的解设解为可自行推导但用复数傅立叶级数更方便。湖南大学陈政清 编制10结构动力学结构动力学 第八章第八章四、工程实

5、用解，实例工程应用只须前面几项，即可达精度要求 例：无阻尼SDOF在方波激励下的响应,02( ),02Tptp tTpt 适当选择坐标，方波表示为湖南大学陈政清 编制11()( )ptp t 可见方波是一个奇函数奇函数：结构动力学结构动力学 第八章第八章 2020220220202022002111( )()0222( ) coscoscos0(coscos)241.2sin.cos()(sin-sin)20TTTTTTcnTTTTTsnTpp t dtppTTpp tntdtpntdtpntdtTTntdtntdtTpppntdtntntdtntdtTTn方 波 分 解计 算，22,.,co

6、s()cos()1222002, 4,6.,cos()0201,3,5.,cos()220TTTntnnntnTTTnntTnnt 。又当时当时湖南大学陈政清 编制12结构动力学结构动力学 第八章第八章141424.( 2).1,3,5.2444( )sinsin3sin53541( )sin(1)snnppTppnTnTnnpppp ttttpp tn tn 最后得：，当时取前三项，方波为：或取全部项取前三项迭加的图形湖南大学陈政清 编制13课后用MATLAB软件绘图练习-2-1.5-1-0.500.511.52-15-10-5051015Time(s)P(t)-2-1.5-1-0.500.

7、511.52-15-10-5051015Time(s)P(t)-2-1.5-1-0.500.511.52-15-10-5051015Time(s)P(t)-2-1.5-1-0.500.511.52-15-10-5051015Time(s)P(t)4项3项2项1项结构动力学结构动力学 第八章第八章 22221,3,5.1,3,5.2n1,3,5.1sin11 41sin,(,)14sin.(2)(1)snsnsnnnnsnnnnppun tkrpnkn trk nrmpn tuuknr方波下的响应只须计算之下的响应总响应:湖南大学陈政清 编制15结构动力学结构动力学 第八章第八章五、频谱的概念

8、周期函数的离散谱定义 谱：某一集合的组成方式，例家谱，乐谱，光谱 周期激励及其响应都是由一系列幅值与频率不同的简谐波组成，其中频率是以倍频变化的，即n=1,2,3可用一频谱图表示它们。例如方波激励与响应的频谱，可以绘出如下： 横轴频率比，竖轴幅值2222323225252272722911166331411(),43(1)951113611( ),6365(1)5571313611( ),6367(1)9195111( ),649(1nnrrrrrrrr 为计算（） ，须知的值，现设，即于是 响应 响应 响应 响应 294)45r 湖南大学陈政清 编制1621,3,5.1,3,5.4sin.(

9、1)snnnnpn tuuknr结构动力学结构动力学 第八章第八章5,3,5,0068.2cncnpp本例因，只有正弦谱；若，还有余弦谱。由于周期函数分解的倍频特征，谱是等间距的直线，故称为离散谱。注意：的响应值比大，因靠近共振点。习题： 求半正弦波的傅立叶级数及其响应21,3,5.1,3,5.4sin.(1)snnnnpn tuuknr141( )sinnpp tn tn湖南大学陈政清 编制17周期荷载可能由前若干阶谐波表达，但结构响应可能需要更多谐波表达。结构动力学结构动力学 第八章第八章8.2 有阻尼SDOF系统对周期激励的响应傅立叶级数解 一、问题的引入 复习：以前我们讲过，有阻尼SD

10、OF系统对简谐激励的响应用复数表示更方便。令简谐激励为 0020.(1)1.(),()1211cos(),sin()22i ti ti tixixixixmucukup epuHeHkrrip exeexeei 由可解出周期激励的傅立叶级数分解，如果将周期激励也表达成类似形式，便可利用复数解注意：0i tp e湖南大学陈政清 编制18结构动力学结构动力学 第八章第八章0110110110T0( )cos()sin()22()()(0,1( )cnsnnnin tin tin tin tcnsnnnin tin tcnsncnsnnnin tnin tnp xppn tpn teeeepppip

11、pipepipec enpcp t edtT可由实数型化为复数型为常数 ）并可证明共轭复数湖南大学陈政清 编制19结构动力学结构动力学 第八章第八章二、响应的复数解利用本页的式（1），不难得到22( )()1(),12in tnnnnnnncu tuH neknkH nrrr im 式中复数型式简单易记，也是处理更复杂的非比例阻尼的基础。湖南大学陈政清 编制20结构动力学结构动力学 第八章第八章8.3 非周期激励的SDOF系统响应傅里叶积分解 思路：非周期的激励可视为无穷大周期的周期激励 基本公式 2222:1( )()( )2()( );( )( )( )( ) ( )( )( )itiftitiftiftffp tpedp f edfpp t edtp fp t edtu fH f p fu tu f edf 激励的傅里叶积分（变换对）令，频率 响应的傅里叶积分（变换对）实际计算采用数值积分，有专门的算法和程序（模块），在很多实际工程中都用到这一技术，例如处理测试信号。非周期激励的谱是连续谱，可看作是