第2章 数控加工程序编制基础——数学处理

1、主要内容概述概述数控编程中的常用指令数控编程中的常用指令数控编程中的工艺处理数控编程中的工艺处理数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容主要内容第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC主要内容 直线、圆弧类零件的轮廓一般由直线、圆弧组直线、圆弧类零件的轮廓一般由直线、圆弧组成。相邻几何元素间的交点或切点称之为基点。成。相邻几何元素间的交点或切点称之为基点。 基点的计算方法可以是通过联立方程组求解，基点的计算方法可以是通过联立方程组求解，也可利用几何元素间的三角函数关系求解。也可利用几何元素间的三角函数关系求解。 直线、圆弧类零件的数学处理直线、圆弧类零件的数学处理第

2、二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容21O1(x1,y1)第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容 数控加工中把除直线与圆弧之外可以用数学数控加工中把除直线与圆弧之外可以用数学方程式方程式y=fy=f（x x）表达的平面轮廓曲线，称为非圆表达的平面轮廓曲线，称为非圆曲线。曲线。非圆曲线节点坐标计算非圆曲线节点坐标计算 数学处理比较复杂，应在满足允许的编程误差数学处理比较复杂，应在满足允许的编程误差条件下，用若干直线段或圆弧段去

3、逼近给定的非圆条件下，用若干直线段或圆弧段去逼近给定的非圆曲线，相邻逼近线段的交点或切点称为节点。曲线，相邻逼近线段的交点或切点称为节点。 第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容y=f(x)y=f(x)(a)R1o1o2o3R2R3(b)第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理用直线段逼近非圆曲线时节点的计算用直线段逼近非圆曲线时节点的计算 主要内容割线逼近割线逼近弦线逼近弦线逼近切线逼近切线逼近第二章第二章 数控加工程序编制基础数控

4、加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理割线逼近割线逼近弦线逼近弦线逼近切线逼近切线逼近RL8RL8RL16RL第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容 弦线逼近中计算节点的方法主要有弦线逼近中计算节点的方法主要有等间距法、等等间距法、等步长法和等误差法。步长法和等误差法。 一般先取一般先取X=0.1X=0.1进行试算，再验算进行试算，再验算允允？，第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容等

5、步长法等步长法 用直线段逼近非圆曲线时，如果每个逼近线段长用直线段逼近非圆曲线时，如果每个逼近线段长度相等，则称等步长法。度相等，则称等步长法。 m axRm iny=f(x)第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容等步长计算步骤：等步长计算步骤： q求最小曲率半径求最小曲率半径R Rminmin 设曲线为设曲线为y=fy=f（x x），则其曲率，则其曲率半径公式为半径公式为 yyR/223)(1 )()(1 )(1 )(/2/2/32/2321/2yyyyyydxdR0dxdR0)(1 )(3/2/2yyyy

6、第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容q计算允许步长计算允许步长l l )(2min22min允RRl允Rmin22m a xRm iny= f(x)第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容以起点以起点a a（x xa a，y ya a）为圆心，以）为圆心，以l l为半径作圆，得到圆为半径作圆，得到圆方程，与曲线方程方程，与曲线方程y=fy=f（x x）联立求解，可得第一个节）联立求解，可得第一个节点的坐标（点的坐标（x xb

7、 b，y yb b），）， q计算节点坐标计算节点坐标 l la ay=fy=f（x x）)()()(222xfylyyxxaab bc cd d第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容等误差法等误差法 用直线段逼近非圆曲线时，如果每个逼近误差相用直线段逼近非圆曲线时，如果每个逼近误差相等，则称等误差法。等，则称等误差法。 TPdcby= f(x)a第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容等误差法计算步骤：等误差法计算步骤： q

8、以起点以起点a a 为圆心，为圆心， 允允为半径作圆，得到为半径作圆，得到圆方程圆方程),(yxaa允222)()(yyxxaaa ay=fy=f（x x）第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容a ay=fy=f（x x）q求圆与曲线公切线求圆与曲线公切线PT PT 的斜率的斜率 首先联立求解以下首先联立求解以下方程组得切点坐标（方程组得切点坐标（x xT T ，y yT T）、（）、（x xP P ，x xP P ） P PT T第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数

9、控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容（曲线方程）（曲线切线方程）（圆方程）（圆切线方程）允 )( )( ) /2xyxfxxyyyyyxxxxyyTTTPTPTaaPPaPaPPTPTfyxx由切点坐标求出斜率由切点坐标求出斜率: :xxyyPTPTk第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容a ay=fy=f（x x）P PT Tq过过a a点与直线点与直线PTPT平行的直线方程为平行的直线方程为 )(xxkyyaaq与曲线方程联立求解得与曲线方程联立求解得b b点坐标点坐标 )()(xfyxxkyy

10、aa第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容用圆弧段逼近非圆曲线时节点的计算用圆弧段逼近非圆曲线时节点的计算 用圆弧段逼近非圆曲线的方法有曲率圆法、三点圆法、用圆弧段逼近非圆曲线的方法有曲率圆法、三点圆法、相切圆法、双圆弧法等。相切圆法、双圆弧法等。 q从曲线的起点开始作与曲线内切的曲率圆，求从曲线的起点开始作与曲线内切的曲率圆，求出曲率圆的中心出曲率圆的中心xn，yny=f(x)曲率圆法曲率圆法: :用彼此相交的圆弧逼近非圆曲线。用彼此相交的圆弧逼近非圆曲线。第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制

11、基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容q以曲率圆中心为圆心，以曲率圆半径加（减）以曲率圆中心为圆心，以曲率圆半径加（减） 允允为半径，所为半径，所作的圆（偏差圆）与曲线作的圆（偏差圆）与曲线y=fy=f（x x）的交点为下一个节点的交点为下一个节点xn，ynxn+1，yn+1y=f(x) 第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理q重新计算曲率圆中心，使曲率圆通过相邻两节点重新计算曲率圆中心，使曲率圆通过相邻两节点主要内容xn，ynxn+1，yn+1y=f(x) q重复以上计算即可求出

12、所有节点坐标及圆弧的圆心坐标重复以上计算即可求出所有节点坐标及圆弧的圆心坐标第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容三点圆法三点圆法: : 三点圆法是在已求出的各节点基础上，通过三点圆法是在已求出的各节点基础上，通过连续三点作圆弧，求出圆心坐标和圆的半径。连续三点作圆弧，求出圆心坐标和圆的半径。 相切圆法相切圆法: : 过曲线上过曲线上A A、B B、C C、D D点作曲线的法线，分别交于点作曲线的法线，分别交于M M、N N点，并分别以点点，并分别以点M M、N N为圆心，为圆心，AMAM、NDND为半径作圆

13、为半径作圆M M和和N N圆，圆，使圆使圆M M和圆和圆N N相切于相切于K K点。为了使两段圆弧相切，必须满足点。为了使两段圆弧相切，必须满足 DNMNAM第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容圆 弧NCKBACDy= f(x)B圆 弧M第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容两圆弧段与曲线逼近误差的最大值，应满足两圆弧段与曲线逼近误差的最大值，应满足 允MBMABB允NCNDCC由以上条件确定的由以上条件确定的B B、C

14、C、D D 三点可保证：三点可保证：M M、N N圆相切圆相切条件；条件； 允允 条件；条件；M M、N N 圆弧在圆弧在A A、D D点分别与曲线相切点分别与曲线相切条件。条件。 第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容双圆弧法双圆弧法: :指在两相邻的节点间用两段相切的圆弧逼指在两相邻的节点间用两段相切的圆弧逼近曲线的方法。近曲线的方法。 mi+1miOiTGViy=f(x)XYPiPi+1LiUiOi+1iO第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数

15、控编程中的数学处理主要内容i+ 1iMi+ 1MiPi+ 1UiPiViTDOi+ 1Oimimi+ 1Ri+ 1Ri)()(1212yyxxLiiiii圆心坐标、切点坐标、半径的圆心坐标、切点坐标、半径的计算过程计算过程:(:(局部坐标系）局部坐标系）1112sin2siniiiiiiPPTP( (正弦定理正弦定理) ) 第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容2cosiiiTTPDPU切点坐标为切点坐标为 2siniiTTPDTV圆心圆心O Oi i , ,O Oi+i+1 1的坐标分别为的坐标分别为 Ti

16、UUo iiiiDPDOVotanTiUUo1111tan)(iiiiiDPLDOVo第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容iTiiVoVDODTR111iTiiVoVDODTR第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容mi+1miOiTGViy=f(x)XYPiPi+1LiUiOi+1iO局部坐标系中的坐标求得后，还要换算成整体坐标系局部坐标系中的坐标求得后，还要换算成整体坐标系下的坐标，换算关系为下的坐标，换算关系为: :

17、iiTiTTxVUxsincosiiTiTTyVUycossin第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容实际实际轮廓轮廓列表点列表点 坏点坏点处理处理一次逼近一次逼近二次逼近二次逼近列表曲线处理过程：列表曲线处理过程：第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容B样条曲线拟合样条曲线拟合 ViVi+1Vi+2Vi+3Vn+1VnVn-1VV0ViVi+1Vi+2Vi+3ri(0)ri(0)ri(1)ri(1)ri(1)mri(0)第

18、二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容三次三次B B样条曲线公式为样条曲线公式为304,)()(jjijiVuNur)331 (! 31)(324,0uuuuN)364(! 31)(324, 1uuuN)3331 (! 31)(324,2uuuuN)(!31)(34,3uNu式中：式中：第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容)()() 1 ()()() 0()(21) 1 ()(21) 0()(2131)4(61) 1 ()(

19、2131)4(61) 0(2123/112/13/2/231232112121VVVVrVVVVrVVrVVrVVVVVVVrVVVVVVVriiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容), 1 , 0( )4(6111niPVVViiiii根据端点条件补充两个方程 第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理主要内容曲面定义方法曲面定义方法孔斯曲面法孔斯曲面法贝齐尔曲面法贝齐尔曲

20、面法B B样条曲面法样条曲面法NURBSNURBS曲面法曲面法曲面定义和曲面计算曲面定义和曲面计算第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理由型值点坐标、边界条件由型值点坐标、边界条件曲面方程从曲面方程从 V(u,wV(u,w）步长、行距步长、行距u u、w wV V（u,wu,w）插补点坐标、切矢插补点坐标、切矢第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理用球头刀进行三坐标加工：用球头刀进行三坐标加工：当当H 、HR刀刀时时当当R刀刀 , 同时同时H很小时：很小时：SH行距、步长确定行距、步长确定 第二章第二章 数控加工程序编制基础数控加工程序编制基础CNC2.4 2.4 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理刀刀RR8 HS刀刀）RHH2(2RS平底立铣刀进行平底立铣刀进行5 5坐标加工时坐标加工时3 3坐标加工时坐标加工时（当（当