高一数学(人教新课标A版)对数与对数函数教师版

1、对数与对数函数一、目标认知学习目标1掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2掌握对数函数的概念、图象和性质.重点对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算对数运算.(一)对数概念：1如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b.其中

2、a叫做对数的底 数，N叫做真数.2对数恒等式：3对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数， .(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)； 推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， a1， M0的前提下有:(1) 令 log

3、aM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即：.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论：.知识点二、对数函数1函数y=logax(a0，a1)叫做对数函数.2在同一坐标系内，当a1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0a0，a1)的定义域为(0，+)，值域为R(2)对数函数y=logax(a0，a1)的图像过点(1，0)(3)当a1时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a0 且a1，

4、N0， bR)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，loga.(3)解决对数函数y=logax (a0且a1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关

5、于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a， N同侧时，logaN0；当a，N异侧时，logaN0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式

6、=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为

7、正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a0，b0. 求证：.证明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用4(1)已知logxy=a， 用a表示；(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x， bn=x， cp=x， ；方法二：.举一反三：

8、【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1) (2)；(3)法一： 法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5求值(1) log89log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三：【变式1】求值：解：另解：设 =m (m0).

9、 ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?解： ，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)； (2).思路点拨：由对数函数的定义知：x20，4-x0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x20，即x0，所以函数；(2)因为4-x0，即x0且a1，kR).解：(1)因为， 所以， 所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为 ax-k2x0， 所以

10、()xk. 1当k0时，定义域为R； 2当k0时， (i)若a2，则函数定义域为(k，+)； (ii)若0a2，且a1，则函数定义域为(-，k)； (iii)若a=2，则当0k0且a1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4log28.5； 解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.48.5，所以log23.4log28.5； 解法3：直接用计算器计算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4log28.5；(2)与第(1)小题类

11、似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a1时，y=logax在(0，+)上是增函数，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9当0a1时，y=logax在(0，+)上是减函数，且5.1loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a1时，y=ax在R上是增函数，且5.15.9所以，b1b2，即当0a1时，y=ax在R上是减函数，且5.1b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理 7）已知则（

12、）A B C D解析：另，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得 又为单调递增函数， 故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1x2则又y=log2x在上是增函数即f(x1)0且a1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(xR+， tR).当a1时，t=logax为增函数，若t1t2，则0x1x2， f(t1)-f(t2)=， 0x11， f(t1)f(t2)， f(t)在R上为增函数，当0a1或0a1， f(x)在R上总是增函数.10求函数y=(-x2+2x+3)的

13、值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. y=t为减函数，且00，即-1x0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是. 解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R， 当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是R； 当a0时，有 a1. a的取值范围为a1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0a

14、1， a的取值范围为0a1.13已知函数h(x)=2x(xR)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a1)，记ABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x0). 并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8) (a1)，如图. A，C中点D的纵坐标为log2a+log2(a+8) S=|BD|42=

15、4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2 =2log2(1+). 由于a1时，a2+8a9， 11+，又函数y=log2x在(0，+)上是增函数， 02log2(1+)2log2，即0S2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1a1a21，a21，且a2a1， a1+a2+80， +8a20， +8a10， a1-a20， 11+f(a2) S=f(a)在(1，+)上是减函数.(4)由S2，即得，解之可得：1a

16、13.图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )A. B.C. D.4.（2011 重庆理5）下列区间中，函数在其上为增函数的是 A. B. C. D. 5.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-，0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( )A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)f(b+2)C.f(a+1)1时，由知，故a1；当0a1时，由知0a1.3.在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；所以相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为.选A.4.用图象

17、法解决，将的图象关于轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图象.由图象，选项中是增函数的显然只有D.5.由f(x)是偶函数，得b=0；又因为f(x)在(-，0)上是增函数，得0a1.所以0a+1f(b+2)6.将方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如图所示，可知是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标.由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以A，B两点也关于直线y=x对称，所以，.注意到在直线y=-x+3上，所以

18、有，即.二、填空题7.要使函数的定义域为R，只需对一切实数x， kx2+4kx+30恒成立，其充要条件是k=0或解得k=0或，故k的取值范围是.要使函数的值域为R，只需kx2+4kx+3能取遍一切正数，则，解得. 故k的取值范围是.8. 1log234，.又当xadc， 0.30，30， a=0.330， b=30.30.31， 00.31， c=log30.30， d=log0.331， a=0.33a而， ， dc.三、解答题10.依题意得： 即 ， 即 . . 故.11.1)由 得-1x1. 所以f(x)的定义域为(-1，1). 设-1x1x20， (1-x1)(1+x2)0， (1+x1)(1-x2)0， 所以 所以，又易知， f(x1)-f(x2)0 ， 即f(x1)f(x2). 故f(x)在(-1，1)上是减函数. 2)因为，所以， 即f-1(x)=0有一个根. 假设f-1(x)=0还有一个根，则f-1(x0)=0， 即，这与f(x)在