大学物理波动习题 - 副本

1、1 1 . 掌握平面简谐波波动方程的物理意义掌握平面简谐波波动方程的物理意义.掌握由质点掌握由质点的谐振动方程或某时刻的简谐波波形曲线等已知条件建的谐振动方程或某时刻的简谐波波形曲线等已知条件建立简谐波波动方程的方法立简谐波波动方程的方法. 2 .理解波长、周期、频率、波速等概念的含意理解波长、周期、频率、波速等概念的含意,并掌并掌握它们之间的关系握它们之间的关系. 3 .理解波的干涉现象理解波的干涉现象.掌握波的相干条件掌握波的相干条件.能运用相位能运用相位差或波程差来确定相干波叠加后加强或减弱的条件差或波程差来确定相干波叠加后加强或减弱的条件. 4 .理解驻波的特性及其形成条件理解驻波的特

2、性及其形成条件.了解驻波与行波的了解驻波与行波的区别区别. 5 .理解波的能量传播特征以及能流、能流密度等概念理解波的能量传播特征以及能流、能流密度等概念.2Tu 波波速速 1 . 波动是振动的传播过程波动是振动的传播过程)cos(0 tAy 振动在一个周期振动在一个周期(T)内传播的距离称为波长内传播的距离称为波长( ) 2 . 简谐振动的传播过程形成简谐波简谐振动的传播过程形成简谐波平面简谐波的运动学方程称为波动方程平面简谐波的运动学方程称为波动方程,或波函数或波函数. 当坐标原点当坐标原点 x=0 处简谐振动的方程为处简谐振动的方程为当波以波速当波以波速u向向x正方向传播正方向传播,则平

3、面简谐波波动方程则平面简谐波波动方程:)(cos0 uxtAy3)(2cos0 xTtAy 3 . 波动过程是能量的传播过程波动过程是能量的传播过程 单位体积内波的能量单位体积内波的能量,即能量密度为即能量密度为: )(sin222uxtAw 或或:)(2cos0 xutAy 单位体积内波的平均能量单位体积内波的平均能量,即平均能量密度为即平均能量密度为: 220211AwdtTwT 平均能流密度平均能流密度波的强度波的强度为为: uAI2221 uAI2221 矢矢量量式式4 4 . 波的干涉波的干涉 (1) 波的干涉条件波的干涉条件: 频率、振动方向相同、相位差恒定频率、振动方向相同、相位

4、差恒定. (2)相干区域各点振动的振幅相干区域各点振动的振幅其中其中:k= 0,1,2,3 )(2cos2121020212221rrAAAAA (3)相干加强和减弱的条件相干加强和减弱的条件 2121121020) 12(2)(2AAAAAAkkrr减减弱弱加加强强 当当 10= 20时时,干涉点的相位差干涉点的相位差 由波程差由波程差 =r2- - r1决定决定, 减弱减弱加强加强2)12(12 kkrr5如果如果r1 = r2, 由相位差由相位差 = 20- - 10 即即由由波源初相差决定波源初相差决定. 5 .驻波驻波 两列相干波在同一直线上相向传播两列相干波在同一直线上相向传播,

5、叠加形成驻波叠加形成驻波.方程为方程为波节位置波节位置波腹位置波腹位置txAy cos2cos2 4) 12( kx2 kx 6 .多普勒效应多普勒效应6 1 .关于波动方程的讨论关于波动方程的讨论 y= Acos (t+x/u)你认为如何你认为如何? (2)有一平面简谐波的表达式为有一平面简谐波的表达式为:试分别指出式中试分别指出式中x/u, 0, 2 x/ 及式中正及式中正,负号的物理意义负号的物理意义.(3)一平面简谐波的运动学方程为一平面简谐波的运动学方程为y=Acos (x,t),其中其中 (x,t)= (t-x/u) ,试说明试说明 (1)根据波是振动的传播这一概念可以写出波动方程

6、根据波是振动的传播这一概念可以写出波动方程,有有人认为如果波从人认为如果波从O O,则则O O点开始振动的时刻比点开始振动的时刻比P点晚点晚x/u,即即t的的相位要在相位要在 (t+ x/u)时刻才传到时刻才传到P点点,因此因此P点的振动表达式应点的振动表达式应为为:2cos)(cos00 xtAuxtAy )()()(txxytytx 各代表什么意义各代表什么意义.7 )(tx )(),(uxttx xt2 )(20 tx)2(20 t02 ututx )(8 波长是描述波动的空间个周期性的物理量波长是描述波动的空间个周期性的物理量.对波长的定对波长的定义通常有如下三种说法义通常有如下三种说

7、法: 2 .关于波长定义的讨论关于波长定义的讨论 (1)是振动在一个周期内传播的距离是振动在一个周期内传播的距离; (2)是同一波线上相位差为是同一波线上相位差为2 的两个振动点之间的距离的两个振动点之间的距离; (3)是同一波线上相邻的振动步调一致的两点间的距离是同一波线上相邻的振动步调一致的两点间的距离; 试分析上述说法是否一致试分析上述说法是否一致. 3 .关于叠加原理和干涉条件的讨论关于叠加原理和干涉条件的讨论 (1)波的相干条件是什么波的相干条件是什么?有人说两列波不满足相干条有人说两列波不满足相干条件不能叠加，对不对？件不能叠加，对不对？ (2) 两列简谐波叠加的区域内两列简谐波叠

8、加的区域内,各点的运动是简谐运动各点的运动是简谐运动,但运动方向与该点的分振动不相同但运动方向与该点的分振动不相同,这两列简谐波是否相这两列简谐波是否相干波干波?它们的频率和相位差怎样？它们的频率和相位差怎样？两频率相同两频率相同,振动方向相互垂直的简谐振动叠加振动方向相互垂直的简谐振动叠加.当当 =0, 时时.9(3) 波的能量与振幅的平方成正比波的能量与振幅的平方成正比,两列振幅相同的相两列振幅相同的相干波叠加后加强点的振幅加倍干波叠加后加强点的振幅加倍,能量便为分振动的能量便为分振动的4倍倍,这是否违反了能量守恒定律？这是否违反了能量守恒定律？ 4 .关于驻波和行波的特征与区别的讨论关于

9、驻波和行波的特征与区别的讨论(1) 驻波和行波中各质元的相位分布有什么特征驻波和行波中各质元的相位分布有什么特征?有没有相位的传递有没有相位的传递?(2) 驻波和行波中各质元的能量如何变化驻波和行波中各质元的能量如何变化?有没有能有没有能量的传播量的传播? (3) 驻波和行波的波形有什么特征驻波和行波的波形有什么特征?有没有波形的传播有没有波形的传播?10驻波的能量驻波的能量当各质点振动达到当各质点振动达到最大位移最大位移时，各质点动能为零，时，各质点动能为零，驻驻波能量为势能波能量为势能，波节波节处形变最大，处形变最大，势能集中在波节势能集中在波节。 y/ x 较大较大 y/ x 最最小小当

10、各质点振动达到当各质点振动达到平衡位置平衡位置时，各质点势能为零，时，各质点势能为零，驻波驻波能量为动能能量为动能，波节波节处速度为零，处速度为零，动能集中在波腹动能集中在波腹。始终不动始终不动11 (4) 对如图的平面简谐波对如图的平面简谐波t时刻的波形曲线时刻的波形曲线,下列各结论哪下列各结论哪个是正确的个是正确的?yoxABC B处质元的振动动能减小处质元的振动动能减小,则其弹性势能必增大则其弹性势能必增大;答：质元的振动动能和弹质元的振动动能和弹性势能是同相位的性势能是同相位的 ，同，同时增大，同时减少。时增大，同时减少。 A处质元回到平衡位置的过程中处质元回到平衡位置的过程中,它把自

11、己的能量它把自己的能量传给相邻的质元传给相邻的质元,其能量逐渐减小其能量逐渐减小.答：在平衡位置质元的振动动能和弹性势能是最大，所答：在平衡位置质元的振动动能和弹性势能是最大，所以以A A处处质元回到平衡位置的过程中质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大。能量应该逐渐增大。错错 A处质元回到平衡位置的过程中处质元回到平衡位置的过程中.对12 B处质元振动动能增大处质元振动动能增大,则波一定沿则波一定沿x负方向传播负方向传播;xoABC 答：答：B 处质元振动动能增大处质元振动动能增大, ,则它将向平衡位置移动，作图，则它将向平衡位置移动，作图，可知波一定沿可知波一定沿x负方向传播负方向传播;

12、 ; B处质元振动动能减小处质元振动动能减小,则则C处质元振动动能一定增大处质元振动动能一定增大; 答：答：B 处质元振动动能减小处质元振动动能减小, ,可知波一定沿可知波一定沿x正方向传播，正方向传播，作图作图, ,看出看出C处质元远离平衡位置，则振动动能一定减少。处质元远离平衡位置，则振动动能一定减少。对错 C处质元处质元t时刻波的能量时刻波的能量(动能与势能之和动能与势能之和)是是10J,则在则在(t+T)时刻时刻(T为周期为周期)该处质元振动动能一定是该处质元振动动能一定是5J;答：答： 动能与势能在任意时刻都相等，又动能与势能在任意时刻都相等，又t时刻波的能量与时刻波的能量与在在(

13、(t+T) )时刻时刻( (T为周期为周期) )的能量应该相同，所以在的能量应该相同，所以在( (t+T) )时时刻刻C处质元振动动能一定是处质元振动动能一定是5J;对13 1 .已知一平面简谐波的波动方程为：已知一平面简谐波的波动方程为：(1)用用比较系数法求比较系数法求 、T、u及及 x=0 处的初相处的初相;)SI()5 . 2(cos2 . 0 xty (2)根据根据 、T、u的物理意义的物理意义, 亦即从相位关系上求亦即从相位关系上求上上 述各量的值述各量的值;解：解：(1) y = 0.2 cos (2.5t- x) = 0.2cos2 (2.5t/2 - x/2)+ T = 0.

14、8 s; =2 m; )(2cos0 xTtAy比较比较u = 2.5 m/s , 0 = (2)略略14 2 .已知一平面简谐波沿已知一平面简谐波沿x轴轴的正向传播，振幅的正向传播，振幅A，频率，频率 波速波速u 。设。设 时刻的波形曲线如图所示，求时刻的波形曲线如图所示，求(1) x =0 处质点的振动方程处质点的振动方程; (2)该波的波动方程。该波的波动方程。(1) x =0 处处,因为因为 时刻时刻 0)2sin(2dd0 tAty (2)波的表达式波的表达式tt 0)2cos(0 tAytt 220 tx =0 处质点的振动方程处质点的振动方程 2)(2cos ttAy2)(2co

15、s uxttAyyoxutt )(cos),(0 uxtAtxy解：设所求解：设所求波动方程波动方程022t 15另一点另一点D在在A点的右方点的右方9m处处. 3 .一平面简谐波在介质中以速度一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s的速度自左向的速度自左向右传播右传播.已知在传播路径上的某点已知在传播路径上的某点A的振动方程为：的振动方程为：)SI()4cos(3 ty (1)若取若取x轴方向向左轴方向向左,并以并以A为坐标原点为坐标原点,试写出波动方程试写出波动方程, 并求出并求出D点的振动方程点的振动方程; (2)若取若取x轴方向向右轴方向向右,并以并以A点左方点左方5m处的处的O O点

16、为坐标原点为坐标原点点,试写出波动方程及试写出波动方程及D点的振动方程点的振动方程;ADOu16解：解：(1)因为因为A点的振动方程：点的振动方程： y=Acos(t+ 0)=3cos(4 t ) 取取x轴方向为向左，轴方向为向左，波动方程为：波动方程为：y=Acos(t+x/u)+ 0=又又D点坐标为点坐标为 x = 9myD=3cos（4 t14 /5） (2) 取取x轴方向向右，轴方向向右，A点坐标为点坐标为 x=5myA=3cos(4 t )波动方程为波动方程为y=Acost(x5)/u+ 0=3cos(4 t x/5)D点坐标为点坐标为x=14m yD=3cos(4 t-14 /5)

17、ADOux3cos(4 t+ x/5 )17 4 .一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正方向传播轴正方向传播,振幅振幅A=0.1m,角频率角频率 =7 rad/s,当当t =1s时时 x=0.1m处的质点处的质点a的振动状态为的振动状态为ya =0, (dy/dt) a 0,假设该波的波长满足假设该波的波长满足0.05m 0.1m,求波的表达求波的表达式式.(特别注意：在一个波长特别注意：在一个波长内沿传播方向内沿传播方向相位递减相位递减解：由题知：解：由题知：A=0.1m, =7 rad/s,当当t=1s, x=0.1m时时,ya=0, (dy/dt)a0 xp 20 )(2cos0 xTtA

18、y02 . 07 a22 k 04 . 07 b3 bay18解得解得:讨论讨论:k =1时时, =0.0706mk =2时时, =0.0413m (因因0.05m 0.1m,故舍去故舍去)则则 0 = /3波的表达式为波的表达式为: 当当k=0时时, =0.24 m(因因0.05m 0.1m,故舍去故舍去)SI()30706. 027cos(1 . 0 xty6522 . 0 k 195 .一平面简谐波一平面简谐波 t =0.1s时的波形时的波形曲线如图曲线如图,求求: (2)画出画出O O点的振动曲线和旋转矢量点的振动曲线和旋转矢量.x (m)y(m)u=4m/sO0.11.01.80.2

19、 (1)写出此波的波动方程写出此波的波动方程. (1)由题知由题知 u=4m/s, =1.6m故故 =2 =2 u/ = 5 a= 5 (0.10.2/4)+ 0= /2 0 = /4aaa点：当点：当t=0.1s, x=0.2m时时, ya=0, (dy/dt)a0aA=0.14mAcos(0.5 + /4)= 0.1a点点：(2)O O点振动方程为点振动方程为: y=0.14cos(5 t+ /4)ty(m)O0.14)4(5cos14. 0 xtyA0a 求什么求什么? ?)(cos0 uxtAy解解:设所求波函数设所求波函数20M0t (s)y(m)0.10.40.30.2O Oy(2

20、)O O点振动方程为点振动方程为: y=0.14cos(5 t+ /4)21 6. 如图在如图在x=0点有一平面简谐波源点有一平面简谐波源,其振动方程为其振动方程为:产生的波沿产生的波沿x轴正、负方向传播轴正、负方向传播,位于位于x = 3 /4处有一个波处有一个波密介质反射平面密介质反射平面MN, ,tAy cos /4/4NO OM /2/2- - /4/4- - /2/2yx (1)写出反射波的波动方程写出反射波的波动方程; (2)写出合成波的波动方程写出合成波的波动方程; (3)讨论合成波的平均能流密度讨论合成波的平均能流密度. 第一步：写出入射波函数；第一步：写出入射波函数；第三步：

21、写出反射波波函数第三步：写出反射波波函数.第二步：写出入射波在反射点的振动方程，考虑第二步：写出入射波在反射点的振动方程，考虑 有无有无半波损失半波损失，然后写出反射波在反射面，然后写出反射波在反射面 处的振动方程。处的振动方程。 226 .解解(1)反射点处的振动方程反射点处的振动方程 /4NOM /2- /4- /2yx(2) 在原点在原点O O的左方的左方,由由O O点发出的波动方程为点发出的波动方程为 )23costAyR（ 则反射波的波动方程为则反射波的波动方程为 2cos tAy反反)43( x23 )2cos( xtA (3) 在在O O点左侧：平均能流点左侧：平均能流 I= 0

22、 ; )2cos( xtAy 左左与反射波叠加与反射波叠加左左反反yyy txAy cos2cos2 驻波驻波( 3 4 x 0 ) 在原点在原点O O的右方的右方右右反反yyy )2cos(2 xtA 行波行波在在O O点右侧：平均能流为原来的点右侧：平均能流为原来的4倍倍. 23S1S2PRQx0解：解：(1)取坐标如图所示取坐标如图所示,由题知由题知: = 2m 1210202rrP处处干涉相消处处干涉相消 7 .S1、S2位于位于x轴上轴上,它们的坐标分别是它们的坐标分别是 x10= 0.0 m, x20=20.5 m,是同一介质中的两个波源是同一介质中的两个波源,它们它们激起的平面波激起的平面波沿沿x轴传播轴传播,波速波速200m/s,频率为频