劳斯-霍尔维茨稳定性判据

1、 第四节第四节 劳斯劳斯-霍尔维茨稳定性判据霍尔维茨稳定性判据 稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。 常用的稳定性分析方法有： 1. 劳斯赫尔维茨（RouthHurwitz）判据 这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定

2、系统的稳定性. 2. 根轨迹法 这是一种图解求特征根的方法。它是根据系统开环传递函数以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判据 这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。 4. 李雅普诺夫方法 上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，更适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。一、稳定性的概念 稳定性的概念可以通过

3、图3-31所示的方法加以说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。 (a) 稳定的 (b) 不稳定的 图3-31 圆锥体的稳定性 根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。 瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界和发散这三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只影响到稳态

4、响应项，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r(t)是有界的： | r(t)|， t 0 则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于系统稳定性的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。 一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定。 线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置予以确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程式来描述，即 (3.58) 则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按齐次微分方程式 (3.59) 来分析。这时，在任何初始条件下，若满足 (3.60)( )(1

5、)(1)110()(1)(1)110nnnnmmmma caca ca cb rbrbrb r( )(1)(1)110nnnna cacaca c0(1)(1)lim ( )lim( )lim( )ntttc tctct0 则称系统(3.58)是稳定的。 为了决定系统的稳定性，可求出式(3.59)的解。由数学分析知道，式(3.59)的特征方程式为 (3.61) 设上式有k个实根pi （i=1，2，k），r对共轭复数根(s ijw i ) (i=1，2，r)，k+2r=n，则齐次方程式(3.59)解的一般式为 (3.62) 式中系数Ai，Bi和Ci由初始条件决定。 从式(3.62)可知： (1)

6、 若pi 0，s i 0，则系统稳定的必要条件是上述系统特征方程的所有系数均为正数。 证明如下： 设式(3.63)有n个根，其中k个实根 p j (j=1，2，k)，r对复根s ijw i (i=1，2，r)，n = k+2r。则特征方程式可写为1110( )nnnnD sa sasa sa0111022221211( )()()()()()nnnnnkrrD sa sasa saa spspspssswsw0 假如所有的根均在左半平面，即 p j 0，s i0 ，s i 0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所有系数都是正数。 根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系统特征

7、方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件，而不是充分必要条件。 (二二) 劳斯判据劳斯判据 这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。 1. 若系统特征方程式 设an0，各项系数均为正数。 2. 按特征方程的系数列写劳斯阵列表：1110nnnna sasa sa02411352123312341231101nnnnnnnnnnnsaaasaaasbbbscccsdddsfsg表中直至其余bi项均为零。21131421513

8、11111nnnnnnnnnnnnnnnaabaaaaabaaaaabaaa 67131121152131173141111nnnnnnaacbbbaacbbbaacbbb 按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中，为了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 从系统特征方程看出，它的所有系数均

9、为正实数，满足系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表如下432ssss6121160 1 12 6 6 11 0 61/6 6 455/61 0 6 第一列系数均为正实数，故系统稳定。事实上，从因式分解可将特征方程写为其根为2，3， ，均具有负实部，所以系统稳定。(s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0 13j220s1s2s3s4s例例3.4 已知系统特征方程式为 解 列写劳斯阵列表 1 2 5 3 1 6 5 9 （各系数均已乘3） -11 15 （各系数均已乘5/2） 174 （各系数均已乘11） 15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第一列系数的符号改变了两次(5

10、11174)，所以，系统特征方程有两个根的实部为正。54320sssss32565s4s3s2s1s0s 4. 两种特殊情况 在劳斯阵列表的计算过程中，如果出现： (1) 劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数不为零（或没有其余项），这时可用一个很小的正数e来代替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去（否则下一行将出现）。如果e的上下两个系数均为正数，则说明系统特征方程有一对虚根，系统处干临界状态；如果e的上下两个系数的符号不同，则说明这里有一个符号变化过程，则系统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。 例3.5 设系统特征方程为s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0 解解

11、 劳斯阵列表为 由于e的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚根存在。上述特征方程可因式分解为 (2) 若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。在这种情况下可做如下处理： a. 利用第k1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的； 1 1 2 2 e 22(1)()0ss20s1s2s3s b. 求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行；c. 继续计算劳斯阵列表；d. 关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得。例3.6 系统特征方程为 解 劳斯阵列表为 1 16 10 160 辅助多项式 10 + 1

12、60 0 0 求导数 20 0 构成新行 20s + 0 16032sss101616000s1s2s3s2s 从上表第一列可以看出，各系数均未变号，所以没有特征根位于右半平面。由辅助多项式知道10s 2 + 160 = 0有一对共轭虚根为j4。 例3.7 特征方程式为 解 劳斯阵列表如下： 1 3 -4 2 6 -8 辅助多项式 2s 4 + 6s 2 - 8 0 0 0 求导数 8 12 0 构成新行 8s 3 + 12s 3 -8 100/3 -84240sssss5323680s1s2s3s4s5s 劳斯阵列表第一列变号一次，故有一个根在右半平面。由辅助多项式： 可得s1, 2 = ，

13、s3, 4 = j2，它们均关于原点对称，其中一个根在S平面的右半平面。 (三) 劳斯判据的应用 应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。2s 4 + 6s 2 - 8 = 01. 稳定裕量的检验 如图3-33所示，令 (3.64) 即把虚轴左移s1 。将上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴(垂直线s= s1 )的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量

14、 s 1 。 s = z -s 1 图3-33 稳定裕量s1 例例3.8 检验特征方程式是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s = -的右边。 解 劳斯阵列表为 2 13 10 4 12.2 4 第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。 再令s= z-1，代入特征方程式，得即 320sss21013432(1)(1)(1)40zzz2101332410zzz 23s2s1s0s 则新的劳斯阵列表 从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在直线s= -（即新座标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。 2. 分析系统参数对稳定性的影响 设一单位反馈控制系统如图3-34所示，其闭环传递函数为

15、 系统的特征方程式为 z 3 2 -1 z 2 4 -1 z 1 -1/2 z 0 -1( )( )( )(1)()BC sKGsR ss ssK5320sssK65图3-34 求K的范围 列写劳斯阵列表： s 3 1 5 s 2 6 K s 1 s 0 K K306 若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，即K 0， 30 - K 0所以0 K 25系统才能稳定。 3. 鉴别延滞系统的稳定性 劳斯判据适用于系统特征方程式是s的高阶代数方程的场合。而包含有延滞环节的控制系统，其特征方程式带有指数e-t s项。若应用劳斯判据来判别延滞系统的稳定性，则需要采用近似的方法处理。 例如

16、图3-35是一个延滞系统，其闭环传递函数为T - 5 0 ， ， TT102505 ( )(1)sBsKeGss sKett特征方程式为 (3.65) 若采用解析法来分析系统，首先需将指数函数e-t s用有理函数去近似。常用的指数函数近似法有： (1) 用有限项简单有理函数的乘积近似 (3.66)(1)ss sKet 0图3-35 延滞系统 1lim1nsnesntt 若取n为有限值，则 (3.67) 即用n个具有同一实数极点的有理函数的乘积来近似指数函数。式中n值的选取与s值有关，而s是指在分析问题时所感兴趣的S平面中某一区域的值。例如在稳定性分析时，s的值就是对应于那些在S平面虚轴附近的特

17、征根所在的区域。只有选取的n值使式(3.67)在该区域内成立，则近似分析才是正确的。 现在若把式(3.67)代入式(3.65)，就可应用劳斯判据来判定系统稳定性或决定参数的稳定性范围。但是，为了保证一定的准确度，n值往往较大，分析起来还是相当麻烦的。11nsesntt (2) 用有理分式近似 指数函数的泰勒级数为 (3.68) 由此可见，可用一个有理分式p(s)/q(s)来近似e-t s 。 表3.5所列出的派德(pade)近似式，其分子为m次，分母为n次，在一定的m值和n值下，与式(3.68)相同的项数为最多。关于阶次m和n的选取，应在满足近似准确度要求的前提下，尽可能少增加特征方程式的阶次

18、。 因此，对式(3.65)所示的特征方程式，令 e-t s= p(s)/q(s) (3.69) 则 s(s+1)q(s)+Kp(s)= 0 (3.70) 23()()1sssestttt 2!3! 选择q(s)的阶次n比p(s)的阶次m低2阶，使之尽可能少增加特征方程式的次数。选n=1，m=3，派德近似式为 设t =秒，将上式代入式(3.65)得或23()()114ssssesttttt3211442!43!2311(1)(1)(1)44s ssKsss31042432()()(1)4KK ssK sK1153042444 应用劳斯判据可求出K的临界值为1.13，而实际上K的准确值为1.14。

19、所以应用派德近似式可以不增加分析的复杂程度，而仍能保证有较好的近似性。 应用上述分析方法的缺点是：只有应用近似式后，才能确定需要的近似准确度，同时随着近似程度的提高，多项式的阶次也将随之增加，分析会显得愈加复杂。 从上述分析可以看出，因为系统具有延滞，大大降低了系统的稳定性（当t =时，则K为任何正值，系统均能稳定）。 三、赫尔维茨判据三、赫尔维茨判据 若系统特征方程式为 ansnan-1sn-1a1sa0= 0 赫尔维茨判据为：系统稳定的必要和充分条件是an0的情况下，对角线上所有子行列式（如表中横竖线所隔）i (i=1，2，,n)均大于零。 赫尔维茨行列式由特征方程的系数按下述规则构成：主对角线上为特征方程式自an-1至a0的系数，每行以主对角线上的系数为准，若向左，系数的注脚号码依次下降；若