参考 图像变换

1、图像变换图像变换n引言引言 n傅立叶变换及其性质傅立叶变换及其性质 n快速傅立叶变换简介快速傅立叶变换简介n正交变换正交变换n其他变换其他变换 引言引言n图像变换的意义图像变换的意义n便于对图像进行分析便于对图像进行分析通过对图像进行傅立叶变换，分析不同目标通过对图像进行傅立叶变换，分析不同目标结构的频谱成分进行目标特征提取，图像匹结构的频谱成分进行目标特征提取，图像匹配和图像识别配和图像识别n便于对图像进行处理便于对图像进行处理在频率域中的一些简单操作可以代替空间域在频率域中的一些简单操作可以代替空间域中的复杂操作，从而简化处理过程，提高运中的复杂操作，从而简化处理过程，提高运算效率算效率引

2、言引言图像变换的意义图像变换的意义剔除多个波段图像数据之间的相关性，减小存剔除多个波段图像数据之间的相关性，减小存储容量，提高各种大数据量图像传输的效率。储容量，提高各种大数据量图像传输的效率。图像变换是数字图像处理基础理论的图像变换是数字图像处理基础理论的重要组成部分，是图像复原、图像增重要组成部分，是图像复原、图像增强、图像编码、图像匹配和图像识别强、图像编码、图像匹配和图像识别的重要数学基础。的重要数学基础。引言引言图像变换是图像处理过程中的一个过渡手图像变换是图像处理过程中的一个过渡手段，要求任何形式的图像变换均段，要求任何形式的图像变换均可逆可逆。经典的图像变换方法有：经典的图像变换

3、方法有：n傅立叶变换傅立叶变换n余弦变换余弦变换n沃尔什变换沃尔什变换n哈达玛变换哈达玛变换nK-LK-L变换变换用傅里叶变换将鸟笼滤掉用傅里叶变换将鸟笼滤掉 傅立叶变换及其性质傅立叶变换及其性质 理论基础是理论基础是线性系统、卷积与相关线性系统、卷积与相关。实质是将图像函数展开成具有不同空间频率的正余实质是将图像函数展开成具有不同空间频率的正余弦函数的线性组合，将空间域的图像数据变换到频弦函数的线性组合，将空间域的图像数据变换到频率域，对图像数据实施不同频率成分的提取。率域，对图像数据实施不同频率成分的提取。建立在所处理的信号是平稳信号的假设基础上。一建立在所处理的信号是平稳信号的假设基础上

4、。一个复杂的连续平稳信号总可以分解为许多简单的正、个复杂的连续平稳信号总可以分解为许多简单的正、余弦信号的叠加。余弦信号的叠加。傅立叶变换及其性质傅立叶变换及其性质 将图像灰度值形成的空间域与其频率域联系将图像灰度值形成的空间域与其频率域联系起来，起到了一种桥梁的作用。（空间域和起来，起到了一种桥梁的作用。（空间域和频率域来回切换）频率域来回切换）对频谱图像中的各种频率成分进行有针对性对频谱图像中的各种频率成分进行有针对性的分析和处理，可实现图像的滤波处理。的分析和处理，可实现图像的滤波处理。傅立叶变换及其性质傅立叶变换及其性质 一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换一维傅立叶变换性质一维傅立叶

5、变换性质一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换二维傅立叶变换二维傅立叶变换二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质 一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换函数函数f f(x)(x)的一维的一维傅立叶变换傅立叶变换由下式定义：由下式定义： dxexfuFxfxuj2)()()( 其中其中j j是虚数单位。是虚数单位。傅立叶变换是一个线性积分变换，它将一傅立叶变换是一个线性积分变换，它将一个有个有n n个实变量的复函数变换为另一个有个实变量的复函数变换为另一个有n n个实变量的复数函数。个实变量的复数函数。 一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换n一维傅立叶一维傅立叶逆变换逆变换定义为：定义为： 正、反

6、傅立叶变换的唯一区别是幂的符号正、反傅立叶变换的唯一区别是幂的符号 dueuFuFxuj21)()(dxexfuFxfxuj2)()()(正变换正变换一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换傅立叶积分定理指出：傅立叶积分定理指出： 也就是说变换是可逆的，即也就是说变换是可逆的，即 duedxexfxfuxjuxj22)()()()()()(1xfuFuFxf一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换函数函数f(x)f(x)和函数和函数F(u)F(u)被称作一个傅立叶变被称作一个傅立叶变换对，用符号表示：换对，用符号表示：对于任一个函数对于任一个函数f(x)f(x)，其傅立叶变换，其傅立叶变换F(u)F(

7、u)是唯一的，反之亦然。是唯一的，反之亦然。)()(uFxf一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换在频谱分析中在频谱分析中F(u)F(u)也可称作也可称作f(x)f(x)的频谱函数。的频谱函数。对函数对函数f(x)f(x)做傅立叶变换实际上就是求它的频谱，做傅立叶变换实际上就是求它的频谱，即求各个频率分量及其所占的比重。即求各个频率分量及其所占的比重。频谱函数是一个复函数，在复平面坐标系中可以表频谱函数是一个复函数，在复平面坐标系中可以表示为：示为：)()()(uFjuFuFiR一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换n在复平面极坐标系中可表示为在复平面极坐标系中可表示为: :)(| )(|)(uj

8、euFuF)()()(1uFuFtguRi)()(| )(|22uFuFuFiR其中其中：( (f(x)f(x)振幅谱或傅立叶谱振幅谱或傅立叶谱 )( (f(x)f(x)的相位谱的相位谱 )一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n傅立叶变换建立了原函数傅立叶变换建立了原函数f(x)f(x)与频谱函数与频谱函数F(u)F(u)之之间的基本关系。间的基本关系。n它具备一些基本性质。它具备一些基本性质。 n位移性位移性n共轭性共轭性n线性叠加性线性叠加性n对称性对称性n比例性比例性n面积性面积性 n微分性微分性 n积分性积分性 一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n位移性位移性)()(uFxf若若)(

9、)(020uFexxfxuj则则原函数的坐标位移，导致傅立叶变换的原函数的坐标位移，导致傅立叶变换的相位改变。同样，傅立叶变换的相位发生相位改变。同样，傅立叶变换的相位发生改变，可以实现原函数的坐标位移改变，可以实现原函数的坐标位移 。一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n位移性证明如下位移性证明如下令 则有 01xxx101,dxdxxxx以及 )()()()(010)01212121)(2120uFedxexfedxexfdxexxfuxjuxjuxjxxujuxj一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n共轭性共轭性 )()(uFxf若若则则)()(*uFxf)()(*xfuF共轭性证明如下

10、：共轭性证明如下：)()()(*)(22*uFdxexfdxexfxujuxj一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质在频谱面上对称点的值是共轭的。在计算实在频谱面上对称点的值是共轭的。在计算实函数的频谱函数时，只要计算出频谱函数的一函数的频谱函数时，只要计算出频谱函数的一半，则可利用对称共轭性，导出另一半半，则可利用对称共轭性，导出另一半 。对于实函数来说，它的频谱函数的共轭函对于实函数来说，它的频谱函数的共轭函数的傅立叶变换就是实函数本身。利用这种数的傅立叶变换就是实函数本身。利用这种共轭性，在实际运算中可以调用同一傅立叶共轭性，在实际运算中可以调用同一傅立叶变换程序进行逆变换运算。变换程序进

11、行逆变换运算。 一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n线性叠加性线性叠加性 即两个函数的傅立叶变换或逆变换等于它即两个函数的傅立叶变换或逆变换等于它们各自变换之和。们各自变换之和。 )()(uFxf若)()(uGxg则)()()()(uGuFxgxf一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n对称性对称性 即傅立叶变换的奇偶性与原函数的奇偶性即傅立叶变换的奇偶性与原函数的奇偶性相同。相同。 则)()(),()(uGuGuFuF)()(uFxf，且)()(uGxg)()(xfxf若)()(xgxg，且一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n比例性（又称定标性）比例性（又称定标性） 若原函数伸展若原函数伸

12、展a a倍，则傅立叶变换函数坐倍，则傅立叶变换函数坐标收缩标收缩a a倍，振幅也变换倍，振幅也变换1/|a|1/|a|倍。倍。 )()(uFxf若有常数若有常数a，且有，且有则则)()(|1)(|1)(axFaxfaauFaaxf一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n面积性面积性 即一个函数的面积等于它的傅立叶变换的即一个函数的面积等于它的傅立叶变换的中心点的值。中心点的值。 )()(uFxf若则duuFfdxxfF)() 0()() 0(一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换n将连续函数将连续函数f(x)f(x)用用N N个互相间隔为个互相间隔为x x的采样方法进行离散的采样方法进行离散化，可

13、形成一个离散序列：化，可形成一个离散序列：) 1(,),(),(000 xNxfxxfxf并规定：并规定： )()(0 xxxfxf且取且取x x = 0= 0，1 1，2 2，N-1N-1，上述序列可表示为：，上述序列可表示为： )1(,)2(),1 (),0(Nffff 一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换n经采样后离散序列的离散傅立叶变换对为：经采样后离散序列的离散傅立叶变换对为：10/2)()(NuNuxjeuFxf10/2)(1)(NxNuxjexfNuF式中式中u u =0,1,2,N-1,=0,1,2,N-1,是与是与x x相对应的相对应的 二维傅立叶变换二维傅立叶变换n二维傅立

14、叶变换定义为二维傅立叶变换定义为 ：dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(可以简化表示为： ),(),(vuFyxf二维傅立叶变换二维傅立叶变换N NN N数字图像二维离散傅立叶变换表示为：数字图像二维离散傅立叶变换表示为： 1010)(2),(1),(NxNyNvyNuxjeyxfNvuF 1010)(2),(1),(NuNvNvyNuxjevuFNyxf逆变换为：逆变换为：离散傅立叶变换n函数f(x,y)的傅立叶变换是f(x,y)积分的函数，因此计算每一个傅立叶变换值，原函数f(x,y)的每一个点都需要参予。二维傅立叶变换二维傅

15、立叶变换F(u,v)F(u,v)表示图像函数表示图像函数f(x,y)f(x,y)的频谱。其中的频谱。其中u,vu,v表示图像平面的表示图像平面的x x方向和方向和y y方向的空间频方向的空间频率。空间频率的值域叫做图像的率。空间频率的值域叫做图像的频率域频率域。图像傅立叶变换对，建立了图像空间位置函图像傅立叶变换对，建立了图像空间位置函数与空间频谱函数之间转换关系。利用这种数与空间频谱函数之间转换关系。利用这种关系，可以对图像进行频谱分析和处理。关系，可以对图像进行频谱分析和处理。 二维傅立叶变换二维傅立叶变换变换平移后，低频集中在中心位置，高频分散变换平移后，低频集中在中心位置，高频分散离散

16、傅立叶变换的显示经过变换以后，中心部分为低频成分，四周为高频成分经过变换以后，中心部分为低频成分，四周为高频成分二维傅立叶变换性质二维傅立叶变换性质n二维傅立叶变换除具备一维傅立叶变换的二维傅立叶变换除具备一维傅立叶变换的线性迭加性、对称性、比例性、位移性、线性迭加性、对称性、比例性、位移性、共轭性等性质外，还具备共轭性等性质外，还具备：n可分性可分性 n旋转性旋转性 二维傅立叶变换性质二维傅立叶变换性质n可分性可分性 若有若有 ),(),(vuFyxf则有 ),(),(),(yxfvxfvuFyxx),(),(),(111vuFyuFyxfvuu二维函数的傅立叶变换（或逆变换），二维函数的傅

17、立叶变换（或逆变换），可以通过相应的两次一维傅立叶变换可以通过相应的两次一维傅立叶变换（或逆变换）来实现。（或逆变换）来实现。 快速傅立叶变换快速傅立叶变换n离散傅立叶变换公式为：离散傅立叶变换公式为： 1,2, 1,0)(1)()(1)(10/210/2NuWxfNuFeWexfNuFNxuxNNjNNxNxuj则令具有可分性具有可分性和周期性和周期性快速傅立叶变换快速傅立叶变换n将上式用矩阵表示为：将上式用矩阵表示为： )1()2()1()0()1()2()1()0()1)(1(1)1(0)1()1(22120)1(11110)1(00100NffffWWWWWWWWWWWWNFFFFNN

18、NNNNN每一频率分量，需N次复数乘和（N-1）次加运算。N点需N2次复数乘和N(N-1）次复数法。1965年，库利-图基提出了快速DFT(FFT)算法。 FFT 基本思想基本思想 充分利用复指数正交函数系的可分性和周充分利用复指数正交函数系的可分性和周期性，把原始的期性，把原始的N N点序列，依次分解成一系点序列，依次分解成一系列短序列，然后求出这些短序列的列短序列，然后求出这些短序列的DFTDFT，以，以此来减少乘法运算。此来减少乘法运算。 二维傅立叶变换算法二维傅立叶变换算法 利用可分性，二维利用可分性，二维DFT变换可以先让变换可以先让x保持保持不变，对不变，对y实行实行N点点FFT变

19、换，得到变换，得到F(x,v)；然后对然后对F(x,v)转置，进行转置，进行M点的点的FFT变换，变换，再转置，从而得到再转置，从而得到F(u,v)。二维二维DFT可以调用一维可以调用一维FFT子程序完成子程序完成。 交叉图形及其FFTFFT幅值谱图像 圆形及其FFTFFT幅值谱图像矩形旋转图像及其FFTFFT变换幅值谱图像矩形及其FFTFFT幅值谱图像不同图形及其不同图形及其FFTFFT变换幅值谱图像对比变换幅值谱图像对比正交变换正交变换为什么要对图像进行正交变换？为什么要对图像进行正交变换？n图像中所包含的数据，相关性很强，直接处理图像中所包含的数据，相关性很强，直接处理难度和冗余度都很大

20、。必须通过采取必要的手难度和冗余度都很大。必须通过采取必要的手段来消除相关性，使各像元的数据间或各个波段来消除相关性，使各像元的数据间或各个波段的数据间相对独立。段的数据间相对独立。n正交变换运算比较简单，数学描述容易，可进正交变换运算比较简单，数学描述容易，可进行正变换和逆变换。行正变换和逆变换。正交变换正交变换傅立叶变换的实质傅立叶变换的实质-把代表图像的图像函把代表图像的图像函数展开成具有不同空间频率的正、余弦函数展开成具有不同空间频率的正、余弦函数的线性组合，或者说用正、余弦正交函数的线性组合，或者说用正、余弦正交函数系来描述图像函数。数系来描述图像函数。除傅立叶变换是正交变换外，还有

21、很多种除傅立叶变换是正交变换外，还有很多种正交变换方法，如正交变换方法，如WalshWalsh变换、变换、HadamardHadamard变变换和换和K-LK-L变换等正交变换。变换等正交变换。沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n图像变换的基函数形式除正弦型函数外，图像变换的基函数形式除正弦型函数外，还有一些其他波形。沃尔什和哈达玛变换，还有一些其他波形。沃尔什和哈达玛变换，其基函数就是基于方波的。其基函数就是基于方波的。n沃尔什和哈达玛变换的实质都是基于沃尔沃尔什和哈达玛变换的实质都是基于沃尔什函数的，只是同一种方波的变形。什函数的，只是同一种方波的变形。n将它们结合起来称为沃尔什哈达玛

22、变换。将它们结合起来称为沃尔什哈达玛变换。 沃尔什和哈达玛变换 n若用矩阵形式，可表示为：若用矩阵形式，可表示为： HfHNFH1正变换正变换 逆变换逆变换 HFHNHFHNfHH111沃尔什哈达玛正反变换的公式形式是相沃尔什哈达玛正反变换的公式形式是相同的，采用一个程序就可以完成。同的，采用一个程序就可以完成。当输入图像矩阵时，就得到正变换结果，当输入图像矩阵时，就得到正变换结果，而当输入变换结果时就得到反变换结果。而当输入变换结果时就得到反变换结果。 沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n对称的、可分离的正交变换，它的核矩阵对称的、可分离的正交变换，它的核矩阵中只有中只有1 1和和1 1

23、元素。在图像处理中，矩元素。在图像处理中，矩阵的阶数阵的阶数N N一般取为一般取为N=2N=2n n，其中，其中n n是整数。是整数。n2 22 2核矩阵为：核矩阵为： 11112H沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n对于对于N2N2的情况，其核矩阵可以通过块矩阵的情况，其核矩阵可以通过块矩阵的形式递推产生：的形式递推产生： 2/2/2/2/NNNNNHHHHH沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 对于对于N N8 8，其核矩阵为：，其核矩阵为： 526143701111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

24、8H沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n通过重新安排各行的次序来使得列率按行号递增，通过重新安排各行的次序来使得列率按行号递增，与傅立叶变换核的频率递增类似。与傅立叶变换核的频率递增类似。n当当N N8 8时，有序的变换核矩阵为：时，有序的变换核矩阵为： 7654321011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111118H沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n对于均匀分布对于均匀分布 的数字图像的数字图像 由于图像是由于图像是4 44 4矩阵，则矩阵，则n n2 2，N N4 4，变换，变换核矩阵为：核矩阵为： 1111111111111111f11111111111111114G沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 二维沃尔什哈达玛变换为：二维沃尔什哈达玛变换为： 具有能量集中的性质，原始图像数据越是均匀分布，具有能量集中的性质，原