复杂应力状态强度问题

1、第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 1黄海明黄海明工程力学工程力学第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 2第第 九九 章章 复杂应力状态下强度问题复杂应力状态下强度问题第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 3一、一、 问题的提出问题的提出 复杂应力状态建立强度条件的困难复杂应力状态建立强度条件的困难实验量大、难度大（三向加载困难），实验量大、难度大（三向加载困难），总结规律困难。总结规律困难

2、。 单向拉伸强度条件单向拉伸强度条件()()sub 塑塑脆脆 un b s 实验易测实验易测无数组合无数组合3 2 1 无数组合无数组合1u 3u 2u 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 4利用简单应力状态实验结果利用简单应力状态实验结果建立复杂应力状态强度条件建立复杂应力状态强度条件二、二、 研究目的研究目的三、三、 研究途径研究途径四、四、 强度理论强度理论关于材料破坏或失效规律的假说关于材料破坏或失效规律的假说寻找引起材料破坏或失效的共同规律寻找引起材料破坏或失效的共同规律确定复杂应力的相当（单向拉伸）应力确定复杂应

3、力的相当（单向拉伸）应力r 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 5五、五、 两类强度理论两类强度理论1. 1. 两类破坏形式两类破坏形式脆性材料：断裂脆性材料：断裂塑性材料：屈服塑性材料：屈服 b铸铁拉伸曲线铸铁拉伸曲线2. 2. 两类强度理论两类强度理论关于断裂的强度理论关于断裂的强度理论关于屈服的强度理论关于屈服的强度理论 os低碳钢拉伸曲线低碳钢拉伸曲线b第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 6一、最大拉应力理论（第一强度理论）一、最大拉应力理论（第一

4、强度理论）1b 断裂条件：断裂条件：（10） 11brn 强度条件：强度条件：该理论认为：引起材料断裂的主要因素是该理论认为：引起材料断裂的主要因素是最大拉应力最大拉应力 不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力 1达达 到材料单向拉伸时的强度极限到材料单向拉伸时的强度极限 b，材料即发生断裂。材料即发生断裂。 r1为第一强度理论的相当应力为第一强度理论的相当应力单向拉伸强度极限单向拉伸强度极限工作应力第一主应力工作应力第一主应力第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 7 第一强度理论的应

5、用第一强度理论的应用 铸铁试件拉伸断裂铸铁试件拉伸断裂 maxmaxFAFF 铸铁试件扭转断裂铸铁试件扭转断裂 maxmaxPMWMM 铸铁试件压缩试验铸铁试件压缩试验 第一强度理论适用范围：第一强度理论适用范围：第一强度理论失效第一强度理论失效？FFmax0 ,maxmaxtc 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 8二、最大拉应变理论（第二强度理论）二、最大拉应变理论（第二强度理论）u11 断裂条件：断裂条件： 当脆性材料存在压应力，而且当脆性材料存在压应力，而且- - + +时，试验与时，试验与第一强度理论结果不符合。第

6、一强度理论结果不符合。该理论认为：引起材料断裂的主要因素是该理论认为：引起材料断裂的主要因素是最大拉应变最大拉应变 不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变 1 1达到达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变材料单向拉伸断裂时的最大拉应变 1 1u，材料即发生断裂。，材料即发生断裂。 11231E - -+ + 123,0b 工作应变：工作应变：单拉极限应力单拉极限应力 11231buuEE - -+ + 单拉极限应变单拉极限应变第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page 9二、最大拉应变理论（第二

7、强度理论）二、最大拉应变理论（第二强度理论） 123bn - -+ + 强度条件：强度条件： 123b - -+ + 2123r - -+ +第二强度理论的第二强度理论的相当应力相当应力11u 断裂条件：断裂条件： 11231E - -+ + 工作应变：工作应变： 112311ubuEE - -+ + 单拉极限应力单拉极限应力转换为由应力表示的断裂条件转换为由应力表示的断裂条件 第一强度理论适用范围：第一强度理论适用范围：,maxmaxtc 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page10三、三、 第一、二强度理论综合示意图（平面应力

8、状态）第一、二强度理论综合示意图（平面应力状态）byx x , byxy , 双拉双拉bx 拉压拉压yx 0 x 0 y by xy 0 y 0 x 第一强度理论第一强度理论极限曲线极限曲线xy 第一强度理论的极限曲线第一强度理论的极限曲线xybxybbbxy第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page11byx - -拉压拉压 xy 0 x 0 y bxy - -yx 0 y 0 x xyxybxy + +- -)( 第二强度理论的极限曲线第二强度理论的极限曲线（平面应力状态）（平面应力状态）双压双压xyxybb b- - b- -

9、第一强度理论极限曲线第一强度理论极限曲线第二强度理论极限曲线第二强度理论极限曲线第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page12某些试验观测结果及相关讨论某些试验观测结果及相关讨论（1 1） 石块、混凝土等压缩：纵向开裂石块、混凝土等压缩：纵向开裂F（2 2） 铸铁拉压强度的关系铸铁拉压强度的关系F 直接实验直接实验34ctbb 第二强度理论预期第二强度理论预期大致与实验符合，开裂机理尚存争论大致与实验符合，开裂机理尚存争论 123tb - -+ + cb1230, - -ctbb第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAO

10、TONG UNIVERSITY (HHM)Page13（3 3） 脆性材料脆性材料 与与 的关系的关系 由第一强度理论由第一强度理论 由第二强度理论由第二强度理论 1 + + 工程通常取工程通常取 0.81 123,0, - -纯剪：纯剪： 1, 2123(1)r -+-+第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page14铸铁二向铸铁二向断裂试验断裂试验 在二向拉伸以及压应力值在二向拉伸以及压应力值超过拉应力值不多的二向拉伸超过拉应力值不多的二向拉伸压缩应力状态下，最大拉应力理压缩应力状态下，最大拉应力理论与试验结果相当接近论与试验结果

11、相当接近 当压应力值超过拉应力值当压应力值超过拉应力值时，最大拉应变理论与试验结果时，最大拉应变理论与试验结果大致相符大致相符第一、二强度理论的实验验证第一、二强度理论的实验验证200100第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page15max13()/2, 一、最大切应力理论（第三强度理论）一、最大切应力理论（第三强度理论）屈服条件屈服条件: :maxs 强度条件：强度条件： 313r 简单，被广泛应用。缺点：未计及简单，被广泛应用。缺点：未计及2 2的影响。的影响。该理论认为：引起材料屈服的主要因素是该理论认为：引起材料屈服的主要

12、因素是最大切应力最大切应力 不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力 max达到材达到材 料单向拉伸屈服时的最大切应力料单向拉伸屈服时的最大切应力 S ，材料即发生屈服。，材料即发生屈服。13()/2/2s 单向拉伸屈服时相单向拉伸屈服时相应最大切应力应最大切应力工作应力最大切应力工作应力最大切应力/2ss 第三强度理论的第三强度理论的相当应力相当应力第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page16二、畸变能理论（第四强度理论）二、畸变能理论（第四强度理论）屈服条件：屈服条件： 222d1223

13、31(1)v6E + + + + + 该理论认为：引起材料屈服的主要因素是该理论认为：引起材料屈服的主要因素是畸变能密度畸变能密度 不论材料处于何种应力状态，只要畸变能密度不论材料处于何种应力状态，只要畸变能密度vd达到材达到材 料单向拉伸屈服时的畸变能密度料单向拉伸屈服时的畸变能密度vdS ，材料即发生屈服。材料即发生屈服。ddsvv 单向拉伸屈服时畸变能单向拉伸屈服时畸变能工作应力的畸变能工作应力的畸变能1s23,0 (单向拉伸屈服单向拉伸屈服)ds1s(1)(1)v3E3E+第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page17二、畸

14、变能理论（第四强度理论）二、畸变能理论（第四强度理论）强度条件强度条件: : 222122331s12 + + + 222d122331(1)v6E + + + + + ddsvv 22ds1s(1)(1)v3E3E+屈服条件：屈服条件： 222sr41223311n2 + + + 应力表示的屈服条件：应力表示的屈服条件：第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page18三、第三和第四强度理论之比较三、第三和第四强度理论之比较 第三强度理论屈服条件及极限曲线第三强度理论屈服条件及极限曲线屈服条件：屈服条件：s - -31平面应力状态平面

15、应力状态: :0 z 1 1、双拉、双拉a a，xy0 yx sx - - - -0312 2、双拉、双拉b b， 0 xy sy - -0sxy0s(一象限一象限)(一象限一象限)第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page195、拉压、拉压a ，xyyx 0syx - - - -31(四象限四象限)4 4、双压、双压b,b, 0 yx sx - -06、拉压、拉压b，xy 0sxy - -3 3、双压、双压a a，xy0 xy sy - - - -031(三象限三象限)平面应力状态平面应力状态下的极限曲线下的极限曲线(三象限三象限

16、)(二象限二象限 )s-s-ssxy第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page20平面应力状态平面应力状态0 z 22222sxyxy + + +- -屈服条件为：屈服条件为：或或222syxyx - -+ +作此椭圆，它为第三强度理论极限曲线作此椭圆，它为第三强度理论极限曲线( (六边形六边形) )的外接的外接椭圆，非屈服区稍大椭圆，非屈服区稍大“四强四强”与实验结果符合的更好与实验结果符合的更好“三强三强”偏于安全，最大偏差为偏于安全，最大偏差为15.4715.47（纯剪情况）（纯剪情况）xy0ss-s-s椭圆方程椭圆方程第四强

17、度理论屈服条件及极限曲线第四强度理论屈服条件及极限曲线 ( (设设x,y,zx,y,z轴方向为主方向）轴方向为主方向）第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page21钢、铝钢、铝二向屈二向屈服试验服试验最大切应力理论与畸变最大切应力理论与畸变能理论与试验结果均相能理论与试验结果均相当接近，后者符合更好当接近，后者符合更好四、第三、四强度理论的实验验证四、第三、四强度理论的实验验证第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page22五、五、 塑性材料塑性材料 与与 的关系的关系 直

18、接实验直接实验 ). 根据第三强度理论根据第三强度理论 r3- - -考察纯剪状态考察纯剪状态 0.5 0.5 ). 根据第四强度理论根据第四强度理论 222r4122 + + - -+ + 30.5773 0.5 0.6 ).工程中一般取工程中一般取第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page23六、强度理论的适用范围六、强度理论的适用范围（1 1） 一般情况一般情况 脆性材料：脆性材料： 抵抗断裂的能力抵抗断裂的能力小于小于抵抗滑移的能力抵抗滑移的能力适宜用第一与第二强度理论适宜用第一与第二强度理论 塑性材料：塑性材料：抵抗断裂的

19、能力抵抗断裂的能力大于大于抵抗滑移的能力抵抗滑移的能力适宜用第三与第四强度理论适宜用第三与第四强度理论 相当应力：相当应力：（塑性材料）（塑性材料）313r-（塑性材料）（塑性材料） 222412233112r - -+ +- -+ +- -（脆性材料（脆性材料 ）11r 13 （脆性材料（脆性材料 ） 2123r - -+ +13 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page24（2 2） 工作条件的影响工作条件的影响材料的失效形式，不仅与材料性材料的失效形式，不仅与材料性质有关，且与应力状态形式、温质有关，且与应力状态形式、温度与

20、加载速率有关度与加载速率有关 三向等压三向等压 脆脆 塑塑，深海岩层，深海岩层 金属低温金属低温 塑塑 脆脆 三向等拉三向等拉 塑塑 脆脆，低碳钢拉伸圆试件，低碳钢拉伸圆试件 中心呈脆性断裂特征中心呈脆性断裂特征低碳钢拉伸断口低碳钢拉伸断口第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page25七、一种常见平面应力状态的相当应力七、一种常见平面应力状态的相当应力4232 + + r3242 + + r)4(212minmax2 + + 0)4(2122312 + + 根据第三强度理论：根据第三强度理论：根据第四强度理论：根据第四强度理论：第九

21、章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page26b1t2t1y2yzDABCABCzh / 2h / 2b1t2t 例：例： 讨论尺寸与承载相同的讨论尺寸与承载相同的铸铁梁与钢梁的强度校核铸铁梁与钢梁的强度校核两梁危险截面是否相同？两梁危险截面是否相同？两梁截面危险点是否相同？两梁截面危险点是否相同？两梁各采用何强度理论校核？两梁各采用何强度理论校核？思考题（后面回答）思考题（后面回答）1mABCD3 m1m1F2F从力学角度，两梁各用何种截面较佳？从力学角度，两梁各用何种截面较佳？第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOT

22、ONG UNIVERSITY (HHM)Page27 讨论丁字形铸铁悬臂梁的强度校核讨论丁字形铸铁悬臂梁的强度校核 分析：分析：1. 1. 危险截面位置及危险截面位置及其内力其内力sFF MFl lF危险截面危险截面xMFl- -xFsF+画剪力弯矩图画剪力弯矩图判断危险截面判断危险截面计算危险截面计算危险截面内力内力第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page28 讨论丁字形铸铁悬臂梁的强度校核讨论丁字形铸铁悬臂梁的强度校核b1t2t1y2yzDABC: +-: z2. 2. 危险点位置危险点位置lF危险截面危险截面画截面正应力与画

23、截面正应力与切应力分布图切应力分布图可能危险点为可能危险点为A A、B B、C C、D D四点四点第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page29b1t2t1y2yzDABC4. 4. 强度校核：强度校核：A、B、C 三点三点 ，用第一强度理论，用第一强度理论D 点，用第二强度理论点，用第二强度理论 1313A2AzMyIABB 21,BzMytI - 2szBzF SI t BC 21122122122sCzFtbtyyttI t -+-+-CD1DzMyI D3. 3. 危险点应力计算危险点应力计算第九章第九章 强度问题强度问题B

24、EIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page30b1t2t1y2yzDABCABCzh / 2h / 2b1t2t尺寸与承载相同的铸铁梁与钢梁尺寸与承载相同的铸铁梁与钢梁的危险截面是否相同的危险截面是否相同？1mABCD3 m1m1F2F对上下对称截面，相同；上下不对称面，不对上下对称截面，相同；上下不对称面，不一定同。图示铸铁梁可能有两危险截面。一定同。图示铸铁梁可能有两危险截面。两梁截面危险点是否相同？两梁截面危险点是否相同？ 讨论讨论：对上下对称截面，相同（铸铁梁危险点在对上下对称截面，相同（铸铁梁危险点在受拉区）受拉区） ；上下不对称截面，不一定同。；上下不

25、对称截面，不一定同。图示铸铁截面可能有四危险点。图示铸铁截面可能有四危险点。第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page31b1t2t1y2yzDABCABCzh / 2h / 2b1t2t1mABCD3 m1m1F2F对钢梁采用第一、二强度理论；铸铁梁采对钢梁采用第一、二强度理论；铸铁梁采用第三、四强度理论。用第三、四强度理论。 讨论讨论：对钢梁采用对称截面对钢梁采用对称截面 ；对铸铁梁采用上；对铸铁梁采用上下不对称截面。（自行分析为什么）下不对称截面。（自行分析为什么）两梁各采用何强度理论校核？两梁各采用何强度理论校核？从力学角度

26、，两梁各用何种截面较佳？从力学角度，两梁各用何种截面较佳？第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page32例例: : 钢梁钢梁, F=210 kN, = 160MPa, h = 250 mm, b = 113 mm, t =10mm, d d = 13mm, Iz = 5.2510-5 m4, 校核强度校核强度解：解：1. 问题分析问题分析危险截面危险截面截面截面C+mN 106 . 5 kN, 1404maxmaxS MF第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page332.

27、上下边缘上下边缘 max与中性轴处与中性轴处 max强度校核强度校核zzIhMWM2maxmaxmax MPa 3 .133 22maxmax28 - - - - htbbhtIFzMPa 1 .63 MPa 80 5 . 0 max 采用第三强度理论采用第三强度理论危险点：危险点：横截面上下边缘；中性轴处；横截面上下边缘；中性轴处； 腹板翼缘交界处腹板翼缘交界处第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page343. 腹板翼缘交界处强度校核腹板翼缘交界处强度校核MPa 5 .1192max - - hIMza tIhbFhhtIbFzz

28、a2)(28max22max - - - - - MPa 4 .46 MPa 3 .151422r3 + + aa 如采用第三强度理论如采用第三强度理论第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page35 腹板翼缘交界处腹板翼缘交界处119.5 MPaa 46.4aMPa MPa 3 .151422r3 + + aa 4. 讨论讨论对短而高薄壁截面梁对短而高薄壁截面梁, , 除应校核除应校核 maxmax作用处的强度作用处的强度外外, ,还应校核还应校核 maxmax作用处作用处, , 及腹板翼缘交界处的强度及腹板翼缘交界处的强度上下翼缘

29、处上下翼缘处中性轴处中性轴处zzIhMWM2maxmaxmax 3133.3 MPa r max63.1 MPa r3126.2MPa 结论结论第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page36 组合变形：组合变形： 由外力引起的变由外力引起的变形，包括两种或三种基本变形形，包括两种或三种基本变形（拉压、扭转、弯曲）的组合（拉压、扭转、弯曲）的组合 组合变形强度计算步骤：组合变形强度计算步骤： 外载分解：外载分解： 分解分解为基本变形组合为基本变形组合 内力计算：内力计算： 画轴力、扭矩与（或）弯矩图，确定危险面画轴力、扭矩与（或）弯矩

30、图，确定危险面 应力分析：应力分析： 各基本变形应力分析各基本变形应力分析 强度计算：强度计算： （应力（应力叠加叠加）第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page37 一、外力分解：一、外力分解： 分解为拉压、扭转和弯曲载荷分解为拉压、扭转和弯曲载荷 平行轴向的载荷向轴线简化平行轴向的载荷向轴线简化MF 垂直轴向载的荷向剪心简化垂直轴向载的荷向剪心简化 (对称截面剪心与形心重合对称截面剪心与形心重合)一般斜向载荷如何简化一般斜向载荷如何简化? ?外力偶外力偶如何简化如何简化? ?轴向载荷弯曲力轴向载荷弯曲力偶偶对称截面剪心与形心重合

31、对称截面剪心与形心重合F（过剪心）横向力扭转力偶（过剪心）横向力扭转力偶F横截面横截面第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page38 二、内力计算：二、内力计算： 轴力、扭矩、剪力、弯矩图；危险截面轴力、扭矩、剪力、弯矩图；危险截面 三、应力分析：三、应力分析： 三种基本变形应力公式三种基本变形应力公式1. 1. 拉压拉压（合外力过截面形心）（合外力过截面形心）FAN 2. 2. 扭转扭转圆管圆管非圆管非圆管* *maxtTW 开口薄壁开口薄壁* *闭口薄壁闭口薄壁2Tt PPTTIWmax tF第九章第九章 强度问题强度问题BEI

32、JING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page39薄壁截面：薄壁截面： szzF SI t 3. 3. 弯曲（对称弯曲）弯曲（对称弯曲）zMyI maxMW M矩形截面：矩形截面： 223412szszF SFyI bbhh - - max32sFA 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page40 四、强度分析：四、强度分析： 1. 1. 弯拉（压）组合弯拉（压）组合maxmaxNzMFAW + +MNF拉拉弯弯叠加（危险点叠加（危险点b）b 适用范围适用范围 与横截面高度相比可忽略与横截面高度相比可忽略1F2

33、F2l2l应用强度条件应用强度条件 应力叠加应力叠加确定危险点确定危险点 求相当应力求相当应力线弹性线弹性第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page41MeMTxxFl+ + +2. 2. 弯扭组合弯扭组合( (圆轴圆轴) )危险截面危险截面危危 险险 点点WM M WTWT2pT 应力状态单向纯剪切应力状态单向纯剪切强度条件（塑性材料强度条件（塑性材料, , 圆截面）圆截面）42T2Mr3 + + 32T2Mr4 + + 22r3 + + WTM75. 022r4 + + WTMFAeMlTMbaACT aM 截面截面A a 与与

34、 b第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page423. 3. 弯拉扭组合弯拉扭组合危险截面截面危险截面截面A危危 险险 点点 aNM + + aWTWTa2pT 应力状态单向纯剪切应力状态单向纯剪切强度条件（塑性材料）强度条件（塑性材料） 42T2NMr3 + + + 32T2NMr4 + + + AFWMN+ + T aMN+ +2FAeMl1FTMbaACNF第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page43 分析：分析： 危险点危险点 a、b求求: : 危险点危险点 （

35、考虑弯曲切应力）（考虑弯曲切应力）r4r4 例：例：闭口矩形薄壁杆的强度计算。闭口矩形薄壁杆的强度计算。已知：已知：sFTNFyMzMbayMzMTsFzyNF强度条件（塑性材料）强度条件（塑性材料） 42T2NMr3 + + + 32T2NMr4 + + + 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page44（2 2）危险点）危险点b切应力最大切应力最大yNbyMFWA + *2szbzF STtI t + （3 3）一般校核）一般校核a a，b b两点，通常两点，通常a点危险点危险 224223*32raayszzNyzzMF SM

36、FTWWAtI t + 解：解： （1 1）危险点）危险点a正应力最大正应力最大yzNayzMMFWWA + 2szazF STtI t + + bayMzMTsFzyNF第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page45例：例：圆轴在圆轴在F1, F2的作用下处于平衡状态。已知的作用下处于平衡状态。已知F1的大小，的大小，F2作作用的角度用的角度 ，轴的直径轴的直径D和结构尺寸和结构尺寸a，R1 , R2 。分别按第三和第分别按第三和第四强度理论校核轴的强度。四强度理论校核轴的强度。zyxF1M1F2zF2yM21 1、外力分析：、外

37、力分析：将各横向力向轴线简化，将各横向力向轴线简化，根据平衡方程，求出各外载荷的大小根据平衡方程，求出各外载荷的大小 0 xM222211sinRFRFRFz sin2112RRFF zyF2F1aaa/2 xR1R2求出所有支座反力求出所有支座反力第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page46zyxF1M1F2zF2yM22 2、内力分析：、内力分析： M1、 M2为扭力矩，使轴发生扭转为扭力矩，使轴发生扭转 F2y使轴在铅垂面使轴在铅垂面(x-y面面)内弯曲内弯曲 F1、F2z使轴在水平面使轴在水平面(y-z面面)内弯曲内弯曲弯

38、弯扭组合弯弯扭组合第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page47 画画内力图：内力图：xTxMz+M2xMzzyxF1M1F2zF2yM2ABCF2za/2FAaCBF2ya/2CB确定危险截面：确定危险截面：CB段中的某处，何处？段中的某处，何处？弯弯扭组合弯弯扭组合对于圆轴：对于圆轴：22TyzMMM + +第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page48xMzxMzF2za/2FAaCBF2ya/2CB可以证明可以证明：CB段的合弯矩图为段的合弯矩图为凹曲线凹曲线xM

39、总总CB危险截面必为危险截面必为C或或B截面截面3 3、强度校核：、强度校核： 计算危险截面的总弯矩和扭矩计算危险截面的总弯矩和扭矩 代入弯扭组合的相当应力计算代入弯扭组合的相当应力计算公式中，求出相当应力公式中，求出相当应力第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page49例：例： 标语牌重标语牌重P150N，风力，风力F120N，钢柱，钢柱D50mm，d45mm， 80MPa，a0.2m，l2.5m，按第三强度理论校核强，按第三强度理论校核强度。度。 alPFAB a解：解： （1 1）受力简图：见图）受力简图：见图b（2）危险截面

40、：）危险截面：B截面截面ABxyzTMFNF b（3）内力：轴力）内力：轴力扭矩扭矩xy平面弯矩平面弯矩yz平面平面B点弯矩点弯矩150NNF 24N.mTFa 30N.mzMWa 300N.mxBMFl第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page50ABxyzTMFNF b150NNF 24N.mT 30N.mzM 300N.mxBM（4）应力计算）应力计算 - - 2221373mm4ADd - - 34318440mm16PWD 324220mmPWW,NNMPFMTAWW（5）强度校核）强度校核 223472MPa rNM +

41、 + + B端合弯矩端合弯矩22301.5BTzBxMMMN m + + 风压内力比自重内力大得多风压内力比自重内力大得多第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page51 内力分析内力分析 应力分析应力分析 强度条件强度条件第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page52例：例：图示钢质曲柄，试分析截面图示钢质曲柄，试分析截面 B B 的强度的强度yyFF SxFF NlFMyz aFTy aFMxy 解：解：1. 1. 内力分析内力分析第九章第九章 强度问题强度问题BEIJ

42、ING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page53N , , yzMMF S, yT F 2. 2. 应力分析应力分析弯矩与轴力对应正应力弯矩与轴力对应正应力a点正应力最大（叠加）点正应力最大（叠加）扭矩与剪力对应切应力扭矩与剪力对应切应力b、c两极值点两极值点第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page54AFWMWMzzyyaN+ + + tTWTb AFWMyybN+ + tWTc AFWMzzcN+ + 危险点危险点a, b, cAFyb23Ss 应力计算应力计算第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING

43、 JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page55a点处b点处c点处AFWMWMzzyyaN+ + + tWTb AFWMyybN+ + tWTc AFWMzzcN+ + N + + +AFWMWMzzyy42t2Nr3 + + + + WTAFWMyy22NSt34 2yyMFFTWAWA +42t2Nr3 + + + + WTAFWMzz3. 3. 强度条件强度条件第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page56薄壁圆筒实例薄壁圆筒实例第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSIT

44、Y (HHM)Page57ppD1. 1. 受内压的薄壁圆筒的应力受内压的薄壁圆筒的应力 D内直径内直径 壁厚壁厚 t x x 轴向正应力轴向正应力 t周向正应力周向正应力一、薄壁圆筒的应力分析一、薄壁圆筒的应力分析受内压薄壁圆筒横与纵截面上均存在的正应力，对受内压薄壁圆筒横与纵截面上均存在的正应力，对于薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布于薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布当当 D/20 时称为薄壁圆筒时称为薄壁圆筒第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page58ppD2.2. 薄壁圆筒的轴向应力薄壁圆筒的轴向应力：根据平衡条件根据平衡条件：

45、4xpD 轴向正应力：轴向正应力：/ 20D 假定假定x x、t t沿壁厚均布（沿壁厚均布（ 薄薄 ）24xDDp x p取部分圆筒联通内部气体为研究对象取部分圆筒联通内部气体为研究对象第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page59ppD3. 3. 薄壁圆筒的周向应力：薄壁圆筒的周向应力：2tpD 周向正应力：周向正应力：根据截取部分平衡根据截取部分平衡：2tlp Dl P(lD)l2 ltt轴向内力未画出轴向内力未画出第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page60)(

46、,4 ,2321径径向向ppDpDrxt 第三强度理论：第三强度理论： 32rpD 434rpD t x4. 4. 强度条件：强度条件：max21,rtD 关于径向应力关于径向应力0t 第四强度理论：第四强度理论： 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page61根据平面应力状态之广义胡克定律根据平面应力状态之广义胡克定律：轴向正应变轴向正应变： 2141- - - - EpDEtxx - - - - 241EpDExtt周向正应变：周向正应变： 受内压薄壁圆筒的变形分析：受内压薄壁圆筒的变形分析：第九章第九章 强度问题强度问题BEI

47、JING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page62解：解： （1）横截面应力由）横截面应力由内压与弯矩引起内压与弯矩引起（2）纵截面应力由内）纵截面应力由内压与扭矩引起压与扭矩引起例：例： 已知塑性材料，已知塑性材料， ，校核强度，求校核强度，求AB的伸长。的伸长。 p MMmmlDABxy4pxpD MxzMyI 33018zIR tD 或或MxzMW 34116zDW - -pmW 2ptpD pmW 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page63（3）危险点）危险点：（4）确定主应力（解析法）确定主应力（

48、解析法）4pxpD MxzMyI xpmW 2ptpD tpmW 2max2min22xtxt + +- - + + maxmin,r最下处最下处pMxxx + +ptt p MMmmlDABxy 123, 第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page64（6）强度条件）强度条件 313r - - 222412233112r - -+ +- -+ +- - （7）AB应变应变 1ABxtE - -AB伸长伸长ABABll maxmin, 123, （5）确定主应力（图解法）确定主应力（图解法）xt ,xD ,tE OC（平面应力状态）

49、（平面应力状态）第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page65例：例： 上例无弯矩上例无弯矩M，扭矩，扭矩m，圆筒位于两刚性壁之间，计算圆筒位于两刚性壁之间，计算圆筒应力。圆筒应力。解：解：（1）设圆筒受内压后与）设圆筒受内压后与 两壁接触，计算应力两壁接触，计算应力p lNFpNxxx+02NNxFR t ptt 0 （2）计算）计算AB的应变的应变 1ABxtE - -（3）变形协调条件）变形协调条件 ABll若求得若求得 为拉力，怎么办？为拉力，怎么办？NF第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNI

50、VERSITY (HHM)Page66解：解： 设筒套间分布压力为设筒套间分布压力为p，分别考虑筒和棒的受力。分别考虑筒和棒的受力。 FD a例：例： 铝棒、钢筒套在一起，无间隙，无摩擦，铝棒、钢筒套在一起，无间隙，无摩擦，钢钢 ，铝，铝 求筒内应力。求筒内应力。SE,AAE 变形协调条件：变形协调条件：ASDD cFx yz 棒侧面受均匀外压棒侧面受均匀外压p bt x筒侧面受均匀内压筒侧面受均匀内压p第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page67变形协调条件：变形协调条件：ASDD 1ADyzxAE -+-+ cFx yz 棒侧

51、面受均匀外压棒侧面受均匀外压p bt x筒侧面受均匀内压筒侧面受均匀内压p对于铝棒，根据广义胡对于铝棒，根据广义胡克定理：克定理：AADDD sstStDDD ASDt 24AxFD - -AAyzp - -其中其中第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page68变形协调条件：变形协调条件： cFx yz 棒侧面受均匀外压棒侧面受均匀外压p bt x筒侧面受均匀内压筒侧面受均匀内压p对于钢套：对于钢套：2StpD ?Sx 0Sx ASDt 1ADyzxAE -+-+对于铝棒，根据广义胡对于铝棒，根据广义胡克定理：克定理：24AxFD

52、- -AAyzp - -其中其中/SSttE 钢筒是单向应力状态钢筒是单向应力状态(1)(1)由式（由式（1）解出）解出p，然后求，然后求解筒、棒内应力解筒、棒内应力第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page69题题: 9-19 如图所示：如图所示： l=300mm, d=40mm, b=20mm, h=60mm, E=210GPa, G=84GPa; 铅垂载荷铅垂载荷F =1kN计算轴计算轴 AB 的危险点的危险点 r32. 计算截面计算截面D 转角转角 D 和挠度和挠度wD（A、B为固定端）。为固定端）。思考：思考：如何解组合变形的静不定问题。如何解组合变形的静不定问题。如何应用叠加法。如何应用叠加法。第九章第九章 强度问题强度问题BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)Page70FlFl/2Fl/2TFl/2Fl/2+-（1）先解扭转静不定问题）先解扭转静不定问题解：解： 1 .计算轴计算轴 AB 的危险点的危险点 r3研究思路：叠加法研究思路：叠加法分解为扭转与弯曲静不定问题分解为扭转与弯曲静不定问题FBACllFl思考：能否不用变形协调思考：