同角三角函数的基本关系式

1、7.3同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式复习引入：复习引入：任意角三角函数的定义：任意角三角函数的定义：任取角任取角的终边上一点的终边上一点P(x,y),P(x,y),点点P P到原点的距离记作到原点的距离记作r r， 那么定义那么定义由定义我们可得由定义我们可得sinsin，coscos，tantan满足下列关系：满足下列关系：|22OPrxy（则 ）sin,cos,tanyxyrrx1.1.平方关系：平方关系：2.2.商数关系：商数关系：sintancos22sincos1,为什么会有这样的关系呢？下面我们来学习它们的证明1、证明：sincos2222222yxyxaarrr

2、 由三角函数的定义，可得22222rxyrxy因为 ，所以 22sincos1,aa所以 v2、证明：sin.tancosyrxray ryaar xx由三角函数的定义，的sintancos所以 在单位圆中，角在单位圆中，角的终边的终边OP与与OM、MP组成直组成直角三角形，角三角形， 的长度是的长度是正弦正弦的绝对值，的绝对值， 的长度是的长度是余弦余弦的绝对值，的绝对值，|OP|=1根据勾股定理得根据勾股定理得sin2+cos2=1.MPOMxyo(x,y)(x,y)M M另外，也可用正弦、余弦线来证明平方关系另外，也可用正弦、余弦线来证明平方关系 4、 是是 的简写形式，与的简写形式，与

3、 不同。不同。 2sin2)(sin 2sin 注意事项：注意事项：1. 公式中的角一定是公式中的角一定是同角同角，否则公式可能，否则公式可能不成立不成立. 如如sin230+cos2601. 2.同角同角不要拘泥于形式不要拘泥于形式， ，6等等都可以等等都可以.2如如sin24+cos24=1. 3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件限制条件. 即即cos0. k+ + ，kZ. 2(1) 当我们知道一个角的某一个三角函数值当我们知道一个角的某一个三角函数值时，可以利用这两个三角函数关系式和三角时，可以利用这两个三角函数关系式和三角函数定义，函数定

4、义，求求出这个角的出这个角的其余三角函数值其余三角函数值。 同角三角函数关系式的应用：同角三角函数关系式的应用：(2) 此外，还可用它们此外，还可用它们化简三角函数式化简三角函数式和和证证明三角恒等式明三角恒等式。 4.常用变形：常用变形：22sin1 cos 22cos1 sin sincostan在公式应用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用和变用.221sincos1,a、 sin2tancos、 sintan .cos 22sin1 cos 22cos1 sin sincostan221sincos1,a、 sin2tancos、 例例1 已知已知 ，并且，并且是第二象限角，是

5、第二象限角，求求的余弦值和正切值的余弦值和正切值54sin分析：由平方关系可求分析：由平方关系可求cos的值，的值，由已知条件和由已知条件和cos的值可以求的值可以求tan的值，的值，解：解：sin2+cos2=1，是第二象限角是第二象限角.2243cos1sin1(),55 例例2已知已知 ，且，且是第四象限角，是第四象限角，求求sin、cos的值的值. tan 5分析：我们把分析：我们把sina和和cos看成两个未知数，只看成两个未知数，只要列出要列出sina和和cos的方程组，就可以求出的方程组，就可以求出sina和和cos解：由题意和三角函数的基本关系式，得解：由题意和三角函数的基本关

6、系式，得解：由题意和三角函数的基本关系式，得解：由题意和三角函数的基本关系式，得sincos5 22sincos1,asincoscoscos225161=6aaaa 由得，把它代入整理得， cos1666aa因为 是第四象限角，所以sincosa5630566a 故例例3. 已知已知tan=-3 ,求求2sincos的值。的值。解：由已知可得解：由已知可得方程组方程组sincos3 22sincos1,asincoscoscos2231101=10aaaa 由得，把它代入整理得， sincos(cosa)cosacos2231636610105aaa 故2例例4 化简：化简： 1tancos

7、sin解：原式解：原式= sincossin1cossincossincoscos=cos. 例例5. 求证：求证：(1)sin4cos4=2sin21；(2) tan2sin2=tan2sin2；(3)cossinsincosxxxx 11证明：（证明：（1）原式左边原式左边=(sin2+cos2)(sin2cos2) =sin2cos2 =sin2(1sin2) =2sin21=右边右边. 所以所以sin4cos4=2sin21(2) 2222sintansintan证明：证明：原式右边原式右边=tan2(1cos2) =tan2tan2cos2 2222sintancoscos=tan2

8、sin2=左边左边. 因此因此 2222sintansintan1s inc o sxx21sin(1sin ) cosxxxcossin( )sincos131xxxx 证明证明:（法一）（法一） 左边左边coscos(1 sin )cosxxxx=右边右边 原等式成立原等式成立.v（法二） cossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincosxxxxxxxxxxxxxxxx 22221111011=1因为所以例例6 已知已知tan=2=2求值求值： sincos(1)2sin3cos解解：（：（1）分子分母同除以分子分母同除以cos tan1=2tan3原式=1/7. 221(2)sincos（2）分子分子“1”换为换为 “sin2 +cos2” 2222sincos=sincos原式=5/3. 22tan1tan122cossin1) 1 (换为cossintan)2(切化弦：2)cos(sincossin21 )3(xxxxxxxx22cossin1)sin1)(sin1 ()4( 小结小结sintan .cos 22sin1 cos 22cos1 sin sincostan221sincos1,a、 sin2tancos、 证明等式的常用