固体量子理论初步

1、第3章固体量子理论初步1第3章固体量子理论初步n31允带与禁带n32固体中电的传导n33三维扩展n34状态密度函数n35统计力学n36小结23.1允带与禁带3.1.1能级分裂为能带n赛车33.1允带与禁带 3.1.1能级分裂为能带外层先分裂允带和禁带r0 平衡时的距离r0 处存在能量的允带 准连续分布 例3.143.1允带与禁带硅原子外电子允带与禁带n3s和3p距离近时产生交叠53.1允带与禁带3.1.2克龙尼克潘纳模型63.1允带与禁带 3.1.2克龙尼克潘纳模型得到sincoscosaPakaa20222 mV bamEP对自由粒子有：00Vk时，波数73.1允带与禁带3.1.3 K空间能

2、带图n自由粒子的E-K关系P为粒子的动量，p与k为线形关系mP2E/(2m)PPk由粒子性有又由德布罗意关系因此mk22kE2m 由此可得到图3.7所示的Ek关系。随波矢k的连续变化自由电子能量是连续的。83.1允带与禁带3.1.3 K空间能带图sincoscosafaPakaa93.1允带与禁带3.1.3 K空间能带图coscos2cos2fakakankan22E2m103.1允带与禁带 3.1.3 简约布里渊区113.1允带与禁带 3.1.3 简约布里渊区 (a) E(k)k/2关系 (b) 能带 (c) 第一布里渊区 图2.4 晶体中电子的E(k) k/2关系/2/2123.1允带与禁

3、带 3.1.3 简约布里渊区 结论结论:（1）当k=2n/a （n= 1/2，2/2)时，能量不连续，形成一系列相间的允带和禁带。允带的k值位于下列几个称为布里渊区的区域中 第一布里渊区 /ak/a 第二布里渊区 2/ak-/a，/ak/a 第三布里渊区 3/ak- 2/a ，2/ak3/a 第一布里渊区称为简约布里渊区，相应的波矢称为简约波矢 133.1允带与禁带 3.1.3 简约布里渊区（2）E(k)=E(k+2n/a)，即E(k)是k的周期性函数，周期为 2/a。因此在考虑能带结构时只需考虑/ak/a的第一布里渊区就可以了。 推广到二维和三维情况： 二维晶体的第一布里渊区 /a (kx，

4、ky) /a 三维晶体的第一布里渊区 /a (kx，ky，kz)0K (c) 简化能带图nT=0K的半导体能带见图 (a)，这时半导体的价带是满带，而导带是空带，所以半导体不导电。n当温度升高或在其它外界因素作用下，原先空着的导带变为半满带，而价带顶附近同时出现了一些空的量子态也成为半满带，这时导带和价带中的电子都可以参与导电，见图 (b)。n常温下半导体价带中已有不少电子被激发到导带中，因而具备一定的导电能力。图 (c)是最常用的简化能带图。 半导体的能带 183.2固体中电的传导 E-K关系图n无外电场时的情况193.2固体中电的传导 E-K关系图 由上述激发过程不难看出： 受电子跃迁过程

5、和能量最低原理制约，半导体中真正对导电有贡献的是那些导带底部附近的电子和价带顶部附近电子跃迁后留下的空态(等效为空穴)。 换言之，半导体中真正起作用的是那些能量状态位于能带极值附近的电子和空穴。203.2固体中电的传导3.2.5金属 绝缘体 半导体213.2固体中电的传导3.2.5金属 绝缘体 半导体223.2固体中电的传导3.2.3电子的有效质量n粒子所受作用力int (3.36)totalextFFFma粒子所受外力内力粒子静止质量加速度* (3.36)extFm a粒子有效质量，包括了粒子的质量以及内力作用的效果。加速度233.2固体中电的传导 电子的有效质量与E-k曲线222, (3.

6、28)22pkpkEmm自由粒子能量和动量的关系式：2 (3.38)dEkpdkmmE对k求导：1 (3.39)dEpvdkm粒子速度222 (3.40)d EdkmE对k求二阶导数：22211 (3.41)d Edkm (3.42)FmaeE 牛顿方程：得到加速度值。24Ec 导带底Ev 价带顶图3.16 (a)简约k空间导带及其抛物线近似；(b)简约k空间价带及其抛物线近似 21 (3.44)cEECk2122221 Cd Edk22211d Edkm*10m 22 vEECk2222221 Cd Edk*10m* /npm vaF m导带底电子有效质量价带顶电子有效质量3.2固体中电的传

7、导 导带低、价带顶 电子有效质量25 图 自由电子、晶体中电子E(k)k，vk和mk关系下图分别画出了自由电子和半导体中电子的E(k)k，vk和mk关系曲线。3.2固体中电的传导 3.2.3电子的有效质量263.2固体中电的传导3.2.3电子的有效质量有效质量的意义有效质量的意义n上述半导体中电子的运动规律公式都出现了有效质量mn*，原因在于F=mn*a中的F并不是电子所受外力的总和。n即使没有外力作用，半导体中电子也要受到格点原子和其它电子的作用。当存在外力时，电子所受合力等于外力再加上原子核势场和其它电子势场力。n由于找出原子势场和其他电子势场力的具体形式非常困难，这部分势场的作用就由有效

8、质量mn*加以概括，mn*有正有负正是反映了晶体内部势场的作用。n既然mn*概括了半导体内部势场作用，外力F与晶体中电子的加速度就通过mn*联系了起来而不必再涉及内部势场。273.2固体中电的传导3.2.4空穴的运动283.2固体中电的传导 3.2.4空穴的运动n空穴293.2固体中电的传导 3.2.4空穴的运动n一定温度下，价带顶附近的电子受激跃迁到导带底附近，此时导带底电子和价带中剩余的大量电子都处于半满带当中，在外电场的作用下，它们都要参与导电。n对于价带中电子跃迁出现空态后所剩余的大量电子的导电作用，可以等效为少量空穴的导电作用。n空穴具有以下的特点：(1)带有与电子电荷量相等但符号相

9、反的+q电荷；(2)空穴的浓度就是价带顶附近空态的浓度；(3)空穴的共有化运动速度就是价带顶附近空态中电子的共有化运动速度；(4)空穴的有效质量是一个正常数mp* 。n半导体的导带电子参与导电，同时价带空穴也参与导电，存在着两种荷载电流的粒子，统称为载流子。303.3 三维扩展n三维情况下各方向势场不同电子在不同方向上运动会遇到不同的势场，从而产生不同的k空间边界。31硅和砷化镓的k空间能带图 直接带隙半导体：价带能量最大值和导带能量最小值的K坐标一致。 间接带隙半导体：价带能量最大值和导带能量最小值的K坐标不一致。323.4 状态密度函数n能带中能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。 导带中

10、有效状态密度： 3 2*342- (3.72)nccmgEE Eh 价带中有效状态密度： 3 2*342- (3.75)pvvmgEEEh333.5 统计力学n在一定温度下，半导体中的大量电子不停地作无规则热运动，从一个电子来看，它所具有的能量时大时小，经常变化。但是，从大量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律性，即电子在不同能量的量子态上统计分布几率是一定的。343.5 统计力学 粒子在有效能态中的分布：三种分布法则n麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数。认为分布中的粒子可以被一一区分，且对每个能态所容纳的粒子数没有限制。n玻色-爱因斯坦分布函数认为分布中的粒子不可区分

11、，但每个能态所容纳的粒子数没有限制。n费米-狄拉克分布函数认为分布中的粒子不可区分，且每个量子态只允许一个粒子存在。353.5 统计力学费米分布函数 热平衡条件下半导体中电子按能量大小服从一定的统计分布规律。能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率为 据上式，能量比EF高5kT的量子态被电子占据的几率仅为0.7%；而能量比EF低5kT的量子态被电子占据的几率高达99.3%。 1()1expFFfEEEkT11( )11 expFFfEEEkT fF(E)表示能量为E的量子态被电子占据的几率，那么1-fF(E)就是能量为E的量子态不被电子占据的几率，也就是被空穴占据的几率。36费米概率函数n理想

12、情况，能量小于EF的能级被电子占据的概率为能量EEf E038费米能级F 如果温度不很高，那么EF 5kT的范围就很小，这样费米能级EF就成为量子态是否被电子占据的分界线： 1) 能量高于费米能级的量子态基本是空的； 2) 能量低于费米能级的量子态基本是满的； 3) 能量等于费米能级的量子态被电子占据的几率是50%。 费米分布函数与温度密切相关！39玻尔兹曼分布函数费米分布函数中，若E-EFkT，则分母中的1可以忽略，此时上式就是电子的玻耳兹曼分布函数。同理，当EF-EkT时，上式转化为下面的空穴玻耳兹曼分布( )expexpexpexpFFBEEEEEfEAkTkTkTkTFF11 f (E)EE1 expkTFFEEEEE1 f(E)expexpexpBexpkTkTkTkT1( )1 expFFfEEEkT40费米能级n费米能级标志了电子填充能级的水平。n半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，并且满足 Ec-EFkT或EF-EvkT的条件。