第二章 连续时间系统的时域分析

1、第二章第1讲1第2章连续时间系统的时域分析2系统分析步骤：1、建立数学模型：常系数线性微分方程 在微分方程中包含表示有激励和响应的时间函数，以及它们对于时间的各阶导数的线性组合。w 从电路图得到微分方程w 由模拟图得到微分方程2、对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应（直接求解微分方程）w 齐次解特解w 零输入响应零状态响应第2章连续时间系统的时域分析3例例1：写出图示电路的微分方程。：写出图示电路的微分方程。根据KVL有 L R + e（t） C 根据各元件端电压与电流的关系 - i（t） 整理后代入KVL式，得)()()()(tetututucRLtcdiCtu)(1)()()(tRi

2、tuRdttdiLtiLtuL)()()()()(1)()(tediCtRidttdiLtdttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22第2章连续时间系统的时域分析4例2：LL)(teMCCRR1i2i解：微分方程为：33222222232342422)(12)2(2)(dttedMiCdtidCRdtidCLRdtidRLdtidMLdttdedtidMiCdtdiRdtidL)(1222112120121222222dtidMiCdtdiRdtidL第2章连续时间系统的时域分析5描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型)()()()()()()()(0111101111te

3、bdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdnnmmmmnnnnn 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程第2章连续时间系统的时域分析6全响应全响应= =齐次方程通解齐次方程通解+ +非齐次方程通解非齐次方程通解（自由响应）（受迫响应）全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应 （解齐次方程）（叠加积分法） 卷积，杜阿美尔积分时域分析法时域分析法变换域法变换域法（第五章拉普拉斯变换法）微分方程求解微分方程求解n n阶常系数线性微分方程的求解法阶常系数线性微

4、分方程的求解法经典法经典法积分法积分法第2章连续时间系统的时域分析7l全响应齐次解全响应齐次解( (自由响应自由响应) )特解特解( (强迫响应强迫响应) )w 齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：w 特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。w 用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数，可用个 n 初始值确定nitihieCtr1)(i第2章连续时间系统的时域分析8若特征根 为n个单根，则其齐次解式中常数 由初始条件确定。 不同特征根所

5、对应的齐次解n 321，tniiieCtr1)(iC特征根)(tr齐次解jm一对共轭复根重实根单实根21)sin()cos(012211tDtCeeCetCetCetCCettttmmtmmt 第2章连续时间系统的时域分析9例题例题用时域经典法求解微分方程)()(8)(6)(tftytyty 2)0(, 1)0(),()(yytetft解：(1)求齐次解，特征方程为：0862 ssttheCeCty4221)(2)求特解：设特解为：tpKety)(将上式代入原微分方程，得：tttteKeKeKe8631K比较等式两端系数可得：特征根为：4, 221tpety31)(第2章连续时间系统的时域分析

6、10例题例题用时域经典法求解微分方程tttpheeCeCtytyty21)()()(4221全解的通解为：将初始条件代入上式，得：23142)0(131)0(2121CCyCCy02161125)(42teeetyttt故，全解为：6112521CC第2章连续时间系统的时域分析11l利用卷积法求零状态响应分析思路利用卷积法求零状态响应分析思路系统的响应划分为零输入响应和零状态响应。（1）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合 ；（2）求出单位冲激信号作用在系统上的响应 冲激响应 ；（3）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的零状态响应 。零输入响应：零输入响应：是指输入激励为零

7、，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。 根据齐次方程的特征根确定零输入响应的形式；再由初始条件确定其中的待定系数。零状态响应：零状态响应：指系统的初始状态为零，仅由系统的输入激励单独作用而产生的输出响应。 第2章连续时间系统的时域分析12l定义定义dtdp tdp)(1dtdxpx nnndtxdxptxdtxp1对于算子方程：xpypp)3()52(2xdtdxydtdydtyd35222其含义是：第2章连续时间系统的时域分析13l微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。l多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因

8、式分解的运算。l算子方程两边的公共因子一般不允许消去。ypNapapx)()(ypNx)(1xxpDpD)(1)()()()(1txxpDpD但xxpp1但xCxpxp1第2章连续时间系统的时域分析14abxdtdxbadtxdxabpbapxbpap)()()(. 1222CyxdtdydtdxPPyPx两边积分得不能消去其中 ,. 4xPxpxxtxddtdxPxptt则若1 , 0)()()(1. 3xxddtdxpPt1. 2 代数量的运算规则一般对于算子符号是可以应用的，只是在分子分母中或等式两边中相同的算子符号却不能随便消去。第2章连续时间系统的时域分析15微分方程微分方程)()(

9、)()(tepNtrpD)()()(tepHtr)()()()()(pDpNtetrpH转移算子：转移算子：)()()()()()()()(0111101111tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdnnmmmmnnnnn)()()()(01110111tebpbpbpbtrapapapmmmmnan第2章连续时间系统的时域分析16)()()()()(pDpNtetrpH)()()(tepHtr)(pH)(te)(trl系统的自然频率系统的自然频率(特征根)：0)(pD的根为系统的自然频率自然频率或特征根特征根。第2章连续时间系统的时域分析17对电感：

10、dtidLuLLLLiLpu Lp 算子阻抗对电容：CtCCipCdtiCu111 算子阻抗Cp1第2章连续时间系统的时域分析18例 利用算子阻抗列微分方程LL)(teMCCRR1i2i解：网孔方程为：)()1(21teiMpiCpLpR0)1(21iCpLpRiMp2222)1()(110)(1pMCpLpRtepMCpLpRMpMpCpLpRMpteCpLpRi2223422312)2(2)()(CpCRpCLRRLppMLtepM33222222232342422)(12)2(2)(dttedMiCdtidCRdtidCLRdtidRLdtidML第2章连续时间系统的时域分析19例 利用

11、算子阻抗求转移算子)(tf1i2i0u3F11H1)()()(0tftupH1u解：用节点方程可求得：)(1)131(01tfupup0) 11(101uppup)()131(01tpfuup021) 1(uppu)()1)(311 (002tpfuuppp44313131311)()()(23220pppppppptftupH第2章连续时间系统的时域分析20l全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应零输入响应的求法零输入响应的求法D(p)r(t)=0)()()()()()(tepDpNtepHtr特征方程： D(p)=0i)()()()(tepNtrpD齐次微分方程第2章连续时间

12、系统的时域分析210,)(2121tececectrtnttzin0,)()(1110tetctcctrtkkzi0)()(trpk2、若有、若有K阶重根，即：阶重根，即：iic对于对于 n 阶系统阶系统0)()(0111trapapapnnn1、若无重根：、若无重根：0)()()(21trpppn第2章连续时间系统的时域分析22tnttzinececectr2121)(nnnnnnnnnnncccrcccrcccrcccr1212111)1(2222121 221121)0()0()0()0()0()0()0()0()1( nrrrr、对于对于 n 阶系统阶系统0)()(0111trapap

13、apnnn若无重根：若无重根：可由此求出 n 个常数。第2章连续时间系统的时域分析23例：设例：设L1H，C1F，R2，若激励，若激励电压源电压源e(t)为零，且电路的初始条件为为零，且电路的初始条件为(1) i(0)=0; i(0)=1A/s(2) i(0)=0; uc(0)=10V分别求上述两种条件时电路的零输入响应分别求上述两种条件时电路的零输入响应0)()(2)()()(1)()(2222tidttdidttiddttdetiCdttdiRdttidL解：解：0) 1(0) 12(22pipptttececti10)(0,)(1, 010tAteticct0)()(2)( )()()(

14、)(tutititetutRidttdiLcc10, 0/10)0( )()(2)( 10ccsAitutitic0,10)(tAtetit第2章连续时间系统的时域分析2431311)2321()2321(0101010jcjccjcjcc0)()()(22tidttdidttid23210) 1(2, 12jipptjecectitj)2321(1)2321(0)(dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(220,)23sin(323131)(21)2321()2321(tAteejejtittjtj第2章连续时间系统的时域分析25例例 求零输入响应求零输入响应221)(2p

15、pppH2)0(, 1)0(rrtjtjzieCeCtr)1(2)1(1)(0)3cos(10)(1ttgtetrtzi)(trt00222ppjp 11jp 12解：令 得：1)0(21CCr2)1()1()0(21CjCjr代入初值得：23211jC23212jC解得：10)()(212232211C31tg故：)cos(2)(1)1(2)1(1teCeCeCtrttjtjzi第2章连续时间系统的时域分析2612)(2ppppH2)0(, 1)0(rrtzietCCtr)()(210)31 ()(tettrtzi解：令 得：0122pp121 pp1)0(1 Cr2)0(21CCr代入初值

16、得：11C32C解得：)(trt01例例 求零输入响应求零输入响应第2章连续时间系统的时域分析27冲激响应冲激响应: 输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，用 h (t) 表示。)()()()()()(tepHtepDpNtr若系统为：)()()()(01110111tapapapbpbpbpbtpHthnanmmmm则：因为冲激响应为零状态响应，则：0, 0)(tth有： 其特征方程为：l 对于一阶线性系统：)()()(tbetardttdr)()()(tbtahdttdh0ap第2章连续时间系统的时域分析28可以发现：一阶系统的冲激响应，可以由其转移算子得到。当当 t0时，由于激励时，

17、由于激励 ，方程变为齐次方程，解的形式为，方程变为齐次方程，解的形式为：0)(t0,)(tKethat或写为：)()(tKethat则：)()(tbethatbK )()()(tbtahdttdh解得：将解的形式代入方程：第2章连续时间系统的时域分析29其转移算子为：l 对于二阶线性系统：根据一阶系统冲激响应的求解，得到二阶系统的冲激响应为：)()()(2121teKteKthtt)()()()()(010122tbdttdbthadttdhadtthd01201)(apapbpbpH若其特征方程： 有两个不同的根0012apap21,其中， 为待定系数。则转移算子可写为：22112101)(

18、)(pKpKppbpbpH21, KK第2章连续时间系统的时域分析30l 对于 n 阶线性系统，当 n m ，且特征方程的根均为单根，其对应的转移算子为：则其冲激响应为：nititnttteKteKeKeKthin121)()()(21nnnnnnnmmmpKpKpKppppNapapapbpbpbpbpDpNpH22112101110111)()()()()()(其中待定系数 可由部分分式展开法求得：nKKK,21ipiipHpK)()(海维赛德展开式海维赛德展开式第2章连续时间系统的时域分析31教材例教材例2-4 2-4 求解冲激响应求解冲激响应)(4)()(6)(5)(tetetrtrt

19、r 解：转移算子为32)3)(2(4654)(212pKpKpppppppH故，系统的冲激响应为)()(2)(32tetethtt根据海维赛德展开式求得：21234)()2(221pppppHpK11124)()3(332pppppHpK第2章连续时间系统的时域分析32l 对于 n 阶线性系统，当 n m ，且特征方程的根出现 n 阶重根时：则其冲激响应为：nitiitnnttttetKtetKetKteKeKth1112321)()()(pKpKpKppNapapapbpbpbpbpDpNpHnnnnnnnnnmmm11101110111)()()()()()()(其中待定系数 ：pnini

20、nipHpdpdinK)()()!(1第2章连续时间系统的时域分析33例例 求解冲激响应求解冲激响应)()(4)(4)(tetrtrtr 解：转移算子为2212)2(2441)(pKpKpppH故，系统的冲激响应为)()(2ttetht根据海维赛德展开式求得： 11)()2(2222pppHpK0)()2(321ppHpdpdK第2章连续时间系统的时域分析34l 对于 n 阶线性系统，当 n = m ，且特征方程的根无重根时：nnmnnnnmmmpKpKpKpDpNbapapapbpbpbpbpDpNpH221101110111)()()()()(则其冲激响应为：nitimteKtbthi1)

21、()()(ipiipHpK)()(其中第2章连续时间系统的时域分析35l 对于 n 阶线性系统，当 n 0 时，系统已不再有输入信号，所以响应就由上述储能的状态唯一地确定。第2章连续时间系统的时域分析41l考察考察 如下如下n 阶系统阶系统：)()()(0111tetrapapapnnn)()()()()(01111tthathddathdtdathdtdnnnnn1)()()()()(0000000100)1(100)(dttdtthadtthadtthadtthnnn0)0()0(0)0()0(0)0()0(0)0(1)0()2()2()1()1(hhhhhhhhnnnn第2章连续时间系统

22、的时域分析42)()(4)(4)(tetrtrtr 解：先求出方程的特征根：221冲激响应的形式为：)()()(221tektktht)()(2ttetht由微分方程1)0 ( ; 0)0 (hh)()(4)(4)( tththth对上式求导，得：)()()22()(22121tktetkkktht而2122)0(;)0(kkhkh则可求出：0, 121kk第2章连续时间系统的时域分析43l推广到更一般情况推广到更一般情况)()()()(01110111tebpbpbpbtrapapapmmmmnnn)()()(10111tthapapapnnn)()()()(01110111tbpbpbpb

23、thapapapmmmmnnn)()()(10111thbpbpbpbthmmmm第2章连续时间系统的时域分析44l阶跃响应与冲激响应的关系：dttrdth)()(tdhtr)()(冲激响应冲激响应: 输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，用 h (t) 表示；阶跃响应阶跃响应: 输入信号为单位阶跃函数时系统的零状态响应，用 r (t)表示。对于因果系统：tdhtr0)()(第2章连续时间系统的时域分析45例例 Su2u11H11u解：系统转移算子为：21214121121111)(pppppuupHs)()()()(222tutututuss)()()(5 . 04121tettht)(

24、)1 ()()(5 . 02105 . 021021teedhtrttt第2章连续时间系统的时域分析46)(3)(2)(tftyty)(3)()(2)(tftftyty)()(2)(3)(tftytyty 求系统 的冲激响应。 求系统 的冲激响应。 求系统 的冲激响应。)(3)(2tetht)()()(2tettht)()4()()(2teetthtt第2章连续时间系统的时域分析47l门函数及其应用门函数及其应用)(tg1t0)(1tfK0t2t)(2tf0123A2t)2()()sin()()(sin)(1tttKtttKtf f 2 (t)的第0个周期：)1()(2ttAt f 2 (t)

25、的第1周期将第0个周期延迟1：)2() 1() 1(2tttA f 2 (t)的第K个周期：)1()()(2KtKtKtA022)1()()()(kKtKtKtAtf第2章连续时间系统的时域分析48 1)()()2() 1()1()1()()(iittttttttttf)2()2()(tttG)(tG1t022第2章连续时间系统的时域分析49第个阶跃函数：)()0(tf)()()()0()()()0()()()(11tttttfttttftfttftfttftftt第1个阶跃函数：第K个阶跃函数：)()()()()()()()()()(tkttttftktttttkftkftktttkftkf

26、tktftftktkkt)(tf0ttkkf1ft第2章连续时间系统的时域分析50阶梯形的近似函数为：当 0, 即 为d, 则 k 为 ， f (t) 成为 d f() 。)()(lim)()0()(lim)(100tktttftftftfnktktanktkttktttatkttttftftkttttftttttftftf1)()()()0()()()()()()0()()()()(fddfttftktdtftftft0)()()()0()(t)(tf0ttkkf1ft第2章连续时间系统的时域分析51dtftf)()()(kkttttkttkttkfttkttkttkfttkttkttkft

27、ttttftttftf)()()()()()()()()()2()()()()()0()(当 0, 即 为d, 而 k 为 ,且 )()()(ttttkttkt第2章连续时间系统的时域分析52l用用 (t)表示任意信号表示任意信号dtftf)()()()(t)(th)(t)(thl对于任意信号为输入信号的零状态响应：对于任意信号为输入信号的零状态响应：dtftf)()()(dthftrzs)()()()()()()()(thtfdthftrzsl卷积积分的定义：卷积积分的定义：第2章连续时间系统的时域分析53dtfftftftf)()()()()(2121021)(2f132021)(2tft

28、1t3)()(22ff反折得将图形向右移动图形向左移动, 0;, 0tt01)(1f101)(1f1t021)(2f132第2章连续时间系统的时域分析54t1t3例例dtfftftftf)()()()()(2121t1t3 和 没有公共的重叠部分，故卷积01t1t)(2tf)(1f0)()()(21tftftf01)(1f1)(2tf01)(1f1)(2tft021)(tf1324110t21t) 1(21211)()()(101021tddtfftfttt 1132t21211)()()(101021ddtfftf03tt1t301)(1f1)(2tf第2章连续时间系统的时域分析55t1t3

29、 例例dtfftftftf)()()()()(2121 和 没有公共的重叠部分，故卷积13t4t)(2tf)(1f0)()()(21tftftf01)(1f1)(2tf130t43t)4(21211)()()(131321tddtfftfttt021)(tf1324t1t301)(1f1)(2tf第2章连续时间系统的时域分析56tt2tt2 例例dtfftftftf)()()()()(2121t0B)(2tf120)(2f12tB2tt2t02)(tf1344AB) 12(4)(2)(10tABdtBAtf02t21 tt110 t200214)(2)()()(tABdtBAdtfftftt1

30、20t32t) 1(44)(2)(212tABdtBAtft)()()(21tftftf024tAB) 12(2tAB) 1(442 tAB00t10 t21 t32 t3t0A)(1f10A)(1f10A)(1f1第2章连续时间系统的时域分析57t 例例)()(tetht)()(tte解：系统零状态响应为：)()()()()(ttetethtrtzs)()1 ()(00teedetrtttzs0)(h0)(e1第2章连续时间系统的时域分析58)2()( 2)() 1() 1()(21tttftttf例：)3()3() 1() 1(2) 1() 1(2)3()3() 1() 1() 1() 1

31、() 1() 1(2)3()3() 1() 1(2)2() 1()() 1()2() 1()() 1( 2)2()( 2)1() 1()()()()()(2112112121tttttttttttttttdtdtdtddttdttdttdttdtttdttfftftftftttt第2章连续时间系统的时域分析59)()()(tfttf)()()(00ttftttf)()()(tfttfdfttft)()()()()()(tttt2112),()(1)()(1221teetetetttt)()()(ttetetettt第2章连续时间系统的时域分析60l卷积的代数性质卷积的代数性质l卷积的微分与积分

32、性质卷积的微分与积分性质)()()()()(2121tftftftftf)()()()()(2) 1(1) 1(21) 1(tftftftftf)()()()()()1(212)1(1tftftftftf)()(11tfdft0)()(lim11ftft第2章连续时间系统的时域分析61l时移性质时移性质w 若1(t)2(t)=(t)，则有1(t-t1)2(t-t2)=(t-t1-t2)，l含有冲激函数的卷积含有冲激函数的卷积w (t)=(t)(t)， (t-t0)=(t)(t-t0)，w (t)(t)=(t), (t)(t)=(t), l与阶跃函数的卷积与阶跃函数的卷积dfttft)()()(

33、第2章连续时间系统的时域分析62例例t0)(1tt 1t1t)(1tt t0TT2Tt0)(tft0)(t*=t0)(tft0)(tf*t0)(1tt 1t=t0)()(1tttf1tt0)(tf*=t01t1tt0)(tf*=t0)(tTTTT2第2章连续时间系统的时域分析63例例t01)(1tf1t021)(2tf132t01)() 1(1tf1t0)(2tf 132)(21t0)()()(2) 1(1tftftf121234)()()(21tftftf第2章连续时间系统的时域分析64nnnpKpKpKppppNpDpNpH221121)()()()()()(njjjpK1njtjzite

34、Ctrj1)()()()()()()(1tetektethtrnjtjzsj)()()(trtrtrzszinjtjtethteCj1)()()(njtjtekthj1)()(第2章连续时间系统的时域分析65例例 )()2()(2teethtt冲激响应为解：将转移算子按部分分式展开有：2112)2)(1(3)(ppppppH2)0 (, 1)0 (),()(rrtte233)(2ppppH零输入响应：0)(221teCeCtrttzi34211112212111121CC034)(2teetrttzi零状态响应：02121222)()()(2020teededetethtrttttzs)(25

35、223)()()(2teetrtrtrttzszi第2章连续时间系统的时域分析66 例例 已知某线性系统单位阶跃响应为 ,试利用卷积的性质求如图信号激励下的零状态响应。)() 12()(2tetrtt0)(te12311解一：利用非时变特性：)3()2(2)()(tttte)3( 12)2( 12 2)() 12()3()2(2)()()3(2)2(22tetetetrtrtrtrtttzs解二：利用微分性质：)()()()()()()(tetrtetrtethtrzs)3()2(2)()(tttte)3( 12)2( 12 2)() 12()3()2(2)()3()()2()(2)()()(

36、)3(2)2(22tetetetrtrtrttrttrttrtrtttzs第2章连续时间系统的时域分析67)()()()()()(11tetekteCtrtrtrnjtjnjtjzszijj)()(tetest)()()()()()(11tetekteCtrtrtrstnjtjnjtjzszijjnisi, 2, 1,)()()()()()()()()()(111111teskeskCteeskteCtetekteCtrtrtrnjstjjnjtjjjnjsttjjnjtjstnjtjnjtjzszijjjjj第2章连续时间系统的时域分析68nisi, 2, 1,)()()()(111tesH

37、eateskeskCtrstnjtjnjstjjnjtjjjjj系统函数H(s)在特定激励频率s时的值即为受迫响应中该频率分量在t=0时的值。瞬态响应分量：稳态响应分量：第2章连续时间系统的时域分析691s)()(22111teskeskcetkctrnjstjjnjtjjjtj)()()()()(1111ttetetetetettttst第2章连续时间系统的时域分析70 ，已知 )()1 ()(3tetet)()() 1(tetup)()()(tcetcetuttzi1代入初始条件，得1c，故有 )()(tetutzi)()()(thtetuzs)()21211 ()()1 ()()()1 ()()(302)(03)(3teed