电路分析第9章 阻抗与导纳B

1、第第8章章 阻抗和导纳阻抗和导纳8-1 变换方法的概念变换方法的概念8-4 相量的线性性质和微分性质相量的线性性质和微分性质8-5 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式8-7 VCR相量形式的统一相量形式的统一阻抗和导纳的引入阻抗和导纳的引入8-8 正弦电路与电阻电路的类比正弦电路与电阻电路的类比相量模型的引入相量模型的引入8-6 三种基本电路元件三种基本电路元件VCR的相量形式的相量形式8-9 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 8-11 相量模型的等效相量模型的等效 8-12 有效值有效值 有效值相量有效值相量 8-13 两类特殊问题两类特殊问题 相量图法相量图法 8-2

2、 复数复数8-3 相量相量8-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法相量模型的网孔分析法和节点分析法 正弦交流电路是指含有正弦电源正弦交流电路是指含有正弦电源( (激励激励) )而且电路而且电路各部分所产生的电压和电流各部分所产生的电压和电流( (稳态响应稳态响应) )均按正弦规律均按正弦规律变化的电路。变化的电路。 在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应用更为广泛。相电路应用更为广泛。 本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法。概念、基本理论和基本分析方法。 交流电路具有

3、用直流电路的概念无法理解和分析交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。免引起错误。 直流电路在稳定状态下电流、电压的大直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，如图所示。小和方向是不随时间变化的，如图所示。 tI U0 正弦电压和电流是按正弦规律周期性正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如图所示。变化的，其波形如图所示。 tu i0 +uiR +uiR 电路图上所标的方向是指它们的参考电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。方向，即代表正半周的

4、方向。 负半周时，由于电压（或电流）为负值，负半周时，由于电压（或电流）为负值，所以其实际方向与参考方向相反。所以其实际方向与参考方向相反。+ 实实际际方方向向 一一.周期电压和电流周期电压和电流按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。u(t)=Umcos(t)u(t)=Umsin(t+/2)Um 振幅振幅 角频率角频率i (t)= Imcos ( t+ )i0 t (rad) 2 t(s)T/2T 正弦交流电的三要素：正弦交流电的三要素：（1）幅值）幅值 Im（2）角频率）角频率 （3）初相位）初相位 u0 t (rad)Um 2

5、t(s)T/2T 二二.正弦电压和电流正弦电压和电流 随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。T周期周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；：正弦量变化一周所需要的时间；角频率角频率 : t 2 例我国和大多数国家的电力标准频率是例我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其，试求其周期和角频率。周期和角频率。解解 = 2 f = 2 3.14 50 = 314rad/sImTf1 S02. 01 fT t i0频率频率 f ：正弦量每秒内变化的次数；：正弦量每秒内变化的次数；fT22 Im 交流电每交变一个周期便变交流电每交变一个周期便变化了化

6、了2 弧度，即弧度，即 T = 2 是交流电任一时刻的值。是交流电任一时刻的值。用小写字母表示用小写字母表示。如如 i、u、e分别表分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。示电流、电压、电动势的瞬时值。 幅值幅值是交流电的是交流电的。用大。用大写字母加下标表示。如写字母加下标表示。如Im、Um、Em。交流电流通过一个电阻交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能与某直时在一个周期内消耗的电能与某直流电流通过同一电阻在相同时间内流电流通过同一电阻在相同时间内消耗的电能相等消耗的电能相等, 就将这一直流电就将这一直流电流的数值定义为交流电流的有效值。流的数值定义为交流电流的有效值。 TtiTI02d

7、12mII 2mUU t 2 Im t i0Im同理可得同理可得根据上述定义，有根据上述定义，有有效值有效值当电流为正弦量时当电流为正弦量时:2mEE Ri2dt=RI2T0Ti(t)= Imcos ( t+ i ) 对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值 (t=0时的值时的值)就不同，到达某一特定值就不同，到达某一特定值（如（如0值）值）所需的时间也就不同。所需的时间也就不同。例如例如:t=0时的相位角时的相位角 称为称为初相位角初相位角或或初相位。初相位。 ( t+ )称为正弦量的称为正弦量的相位角相位角或或相位。相位。它反映出正弦量变化它反映

8、出正弦量变化的进程。的进程。若所取计时起点不同，则正弦量若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。初相位不同。i (t)= Imcos ti (t)= Imcos ( t+ )t=0时，时， i (0)= Imi (0)= Imcos i t0i0 ti0Im 相位差相位差i1= I1mcos( t+ i1)i2= I2 mcos( t+ i2)的相位差的相位差 和和 = ( t+ i1)- ( t+ i2)= i1- i2i2 超前超前i1i2 滞后滞后i1 ti10 ti10 ti10 ti10 ti10i2i2i2i1与与i2反相反相i2i1与与i2同相同相i2i1与与i2正交正交在一个交

9、流电路中，通常各支路电流的频率相同，在一个交流电路中，通常各支路电流的频率相同，而相位常不相同。而相位常不相同。 正弦电量正弦电量（时间函数）（时间函数）正弦量运算正弦量运算所求正弦量所求正弦量变换变换相量相量（复数）（复数）相量结果相量结果反变换反变换相量运算相量运算（复数运算（复数运算) 正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了用三角正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了用三角函数式和正弦波形表示外，还可用函数式和正弦波形表示外，还可用相量相量来表示同频率的正弦量。来表示同频率的正弦量。正弦量的正弦量的相量表示法相量表示法就是用就是用复数复数来表示正弦量。来表示正弦量。 相量

10、法相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具，是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。例如：已知两个支路电流例如：已知两个支路电流 i1= I1 mcos( t+ i1) i2= I2 mcos( t+ i2)若求：若求： i1 + i2aA0 b+1+jr模模辐角辐角a=rcos b=rsin r= a2+b2 =arctanba cos +jsin =ej 欧拉公式欧拉公式A=a+jb=r(cos +jsin )=rej =r 代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式复数在进行加减运算时应采用代数式，

11、复数在进行加减运算时应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数在进行乘运算时宜采用指数式或极坐标式，复数在进行乘运算时宜采用指数式或极坐标式，模与模相乘，辐角与辐角相加。模与模相乘，辐角与辐角相加。有向线段可用复数表示有向线段可用复数表示复数复数可用几种形式表示可用几种形式表示1j 复数在进行除运算时宜采用指数式或极坐标式，复数在进行除运算时宜采用指数式或极坐标式，模与模相除，辐角与辐角相减。模与模相除，辐角与辐角相减。8-3 相量相量由欧拉恒等式，由欧拉恒等式， ej = cos +jsin 令令 = t+ Imej( t+ )= Imcos(

12、 t+ ) +jImsin( t+ )设设 i(t)= Imcos( t+ )ReImej( t+ ) =Imcos( t+ )= i(t)ImImej( t+ ) =Imsin( t+ )Re(ej )= cos Im(ej )= sin 8-3 相量相量Imej( t+ )= Imcos( t+ ) +jImsin( t+ )设设 i(t)= Imcos( t+ )i(t) = Imcos( t+ ) = ReImej( t+ ) =ReImej ej t由欧拉恒等式，由欧拉恒等式， ej = cos +jsin = ReIm ej t= Imej =Im / = Imcos +jImsi

13、n Im式中式中称为正弦电流称为正弦电流i(t)的的幅值相量幅值相量ImI = 2= Iej =I/ = Icos +jIsin 称为正弦电流称为正弦电流i(t)的的有效值相量有效值相量 +1 + j0 t1+ Im ti 0 t1 A t2A i= Imsin( t+ )i t t1 有向线段长度是有向线段长度是Im，t=0时，与横时，与横轴的夹角是轴的夹角是 ，以以角速度角速度 逆时针方逆时针方向旋转，它在向旋转，它在实轴上的投影，实轴上的投影，即为即为正弦电流的正弦电流的瞬时值瞬时值i= Imcos( t+ )t=t1时，时， i(t1)= Imcos( t1+ ) 由以上分析可知，一个

14、复数由模和辐角两个特征量确定。由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量确定。而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。但在分析线性而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可以由幅值因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可以由幅值和初相位两个特征量来确定。和初相位两个特征量来确定。 比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值（或有效值），复数的辐

15、角即为正弦量的初相位。正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用在大写字母上打一在大写字母上打一“”的符号表示。的符号表示。I=I = Iej =I(cos +jsin ) (有效值相量有效值相量) Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) (最大值相量最大值相量)的相量为的相量为例如例如i (t)= Imcos ( t+ ) = Ia +j Ib=Icos +jIsin =Iej =I最大最大值相量值相量有效有效值相量值相量0Im +1+jI IaIbI

16、= Iam +j Ibm=Imcos +jImsin =Imej =ImIm相相量量图图相量是相量是正弦交流电的复数，正弦交流正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，所以二者之间并电是时间的函数，所以二者之间并。正弦量正弦量用用旋转有向线段表示旋转有向线段表示用复函数表示。用复函数表示。同频率正弦量同频率正弦量可以用可以用复数复数来表示，称之为来表示，称之为相量相量。用大写字母上打用大写字母上打“”表示。表示。 IUm i= Imcos( t+ )例：已知某正弦电压例：已知某正弦电压Um=311V，f =50Hz， u=30，试，试写出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量写出此电压的

17、瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量，画出此电压的相量图，求出，画出此电压的相量图，求出t=0.01S时电压的瞬时电压的瞬 时值。时值。解：解： 瞬时值瞬时值 u=311cos(100 t+30 )=311 30 VUm u( 0.01) =311cos(100 0.01 +30 )= 269.3VU 30 =220VU = 2Um= 2311=220 30 VU 有效值相量有效值相量最大值相量最大值相量有效值有效值相量是相量是正弦交流电的复数，正弦交流电是正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，二者之间并时间的函数，二者之间并。 按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的按照正弦量的大小

18、和相位关系画出的若干个相量的图形，称为图形，称为相量图相量图。注意注意只有正弦量才能用相量表示；只有正弦量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；相相量量图图1j0 i1 i2I1mI2m例例 若若 i1= I1 mcos( t+ i1) i2= I2 mcos( t+ i2)，已知已知 i1=30， i2=65，I1m=2I1m试画出相量图。试画出相量图。i1(t)= 5cos(314t+ 60) Ai2(t)=10sin(314t+ 60)Ai3(t)= 7cos(314t+ 60 ) A写出相量，绘相量图写出相量，绘相量图i2(t)

19、 =10sin(314t+60) =10cos(314t30 ) =7cos(314t120 )A例例:i3(t) = 7cos(314t+ 60) I1m=5/60 AI3m=7/120 AI2m=10/30 A解：解：+j+160I1m -30-120I2m I3m 8-4 相量的线性性质和微分性质相量的线性性质和微分性质1. 相量的线性性质相量的线性性质 表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。亦即的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。亦即 如设两个正弦量分别为：如设两个正弦量分别为

20、：i1(t) = Im1cos( t+ 1) = ReIm1 ej t 设设 k1和和k2为两个实数，则正弦量为两个实数，则正弦量i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t)可用相量可用相量 = ReIm2 ej ti2(t) = Im2cos( t+ 2) Im = k1 Im1 + k2 Im2 表示。表示。例例 若已知若已知 i1=I1mcos( t+ 1)=100cos( t+45 )A， i2=I2mcos( t+ 2)=60cos( t 30 )A ，试，试求求 i=i1+i2 。解解 j30-j452m1mme60e100IIIAe129)03j52()7 .70j7 .

21、70(02j18 于是得于是得 i2=129cos( t+18.33 )A 正弦电量的运算可按正弦电量的运算可按下列步骤下列步骤进行进行 正弦电量正弦电量（时间函数）（时间函数）正弦量运算正弦量运算所求正弦量所求正弦量变换变换相量相量（复数）（复数）相量结果相量结果反变换反变换相量运算相量运算（复数运算（复数运算)例例 若已知若已知 i1= I1 mcos( t+ i1)、 i2= I2 mcos( t+ i2)，用用相量图求解相量图求解 i1 + i2解：用相量图求解解：用相量图求解1j0 i1 i2ImIm1Im2 ii= I mcos( t+ i)8-4 相量的线性性质和微分性质相量的线

22、性性质和微分性质2. 相量的微分性质相量的微分性质 这一性质包含两个内容：这一性质包含两个内容： 若若 Am 为给定正弦量为给定正弦量 Amcos( t+ ) 的相量，则的相量，则 j Am为为该正弦量的导数的相量。亦即该正弦量的导数的相量。亦即 ReAm ej t= Re Amej t= Re j Am ej tdddtdt取实部和求导数的运算是可交换的（取实部和求导数的运算是可交换的（ Re和和可交换）；可交换）；dtd复值函数复值函数 Amej t 对对 t 的导数等于该函数与的导数等于该函数与 j 的乘积。的乘积。Ai1i3i2i1= I1 mcos( t+ 1)i2= I2 mcos

23、( t+ 2)i3= I3 mcos( t+ 3)由由基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律，节点节点A的电流方程为的电流方程为i1 + i2 - i3 = 0节点节点A的电流方程相量表达式为的电流方程相量表达式为AI1I2I3I2I3I1+= 0基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 I = 0 U = 0 8-4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式根据相量的线性性质根据相量的线性性质 电路分析是确定电路中电路分析是确定电路中电压与电流电压与电流关系及关系及能量的转换能量的转换问题。问题。iRu 本节从电阻、电容、电感两端电压与电流一般关系式入手，本节从电阻、电容、电感两端电压与电

24、流一般关系式入手，介绍在正弦交流电路中这些理想元件的介绍在正弦交流电路中这些理想元件的电压电压与与电流电流之间的关系，之间的关系，为分析交流电路奠定基础。下章再讨论为分析交流电路奠定基础。下章再讨论功率功率和和能量转换能量转换问题。问题。R +ui电压与电流的关系电压与电流的关系在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。根据欧姆定律根据欧姆定律设设则则式中式中mmRIU 或或RIUIU mm可见，可见，R 等于电压与电流有效值或最大值之比。等于电压与电流有效值或最大值之比。8-4 三种基本电路元件三种基本电路元件VCR的相量形式的相

25、量形式i (t)= Imcos ( t+ )u(t)= RImcos ( t+ )= Umcos ( t+ ) 电压与电流同频率、同相位；电压与电流同频率、同相位； 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 UI 电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 相量图相量图+1+j0RIU IRU R +uiU=UI=Ii (t)= Imcos ( t+ )u(t)= RImcos ( t+ )= Umcos ( t+ )iu波形图波形图 t0设设 =0 设设 0fXL感抗感抗由由，有，有 感抗与频率感抗与频率f 和和L成正比。因此，电成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而感线圈对高频电流的

26、阻碍作用很大，而对直流可视为短路。对直流可视为短路。tiLudd LmmmXILIU 式式中中LXL fLXL2 设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。 +uiLXL与与 f 的关系的关系i= Imcos tu= LImsin t = Umcos( t+90)90 ； Um = XLIm U =XLI 用相量法可以把电感的电压和电流的上面三方面用相量法可以把电感的电压和电流的上面三方面的关系的的关系的(2)和和(3)统一用相量表示：统一用相量表示：Um = j XL ImU = j XLI即即: j I=I ej90 =I e

27、j ej90 =Ie j( +90 )因因jI 相当于将相量相当于将相量 I 逆时针转了逆时针转了90 U +1+j0I相量图相量图由上面的分析可知电感的电压和电流的关系为由上面的分析可知电感的电压和电流的关系为依据依据“相量的微分性质相量的微分性质 ”,重新审视重新审视 这一性质包含两个内容：这一性质包含两个内容： 若若 Am 为给定正弦量为给定正弦量 Amcos( t+ ) 的相量，则的相量，则 j Am为为该正弦量的导数的相量。亦即该正弦量的导数的相量。亦即 ReAm ej t= Re Amej t= Re j Am ej tdddtdt取实部和求导数的运算是可交换的（取实部和求导数的运

28、算是可交换的（ Re和和可交换）；可交换）；dtd复值函数复值函数 Amej t 对对 t 的导数等于该函数与的导数等于该函数与 j 的乘积。的乘积。U=j LItiLudd U +1+j0电压超前电流电压超前电流90 ；相量图相量图 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 LIXU +uiLIi= Imcos tu= Umcos( t+90)i波形图波形图 t0uU I 电压与电流相量式电压与电流相量式 = j XL解：解：XL2=2 f2L=3140 10 30 j 31.4=0. 318 60A10 30 j 3140=0. 00318 60AXL1=2 f1L=31.4 U. UjXL1

29、.=I1=. UjXL2.I2=.I2I1.3060+1 例例: 已知已知L=0.1H，u=10 2cos（ t+30）V， 当当f1=50Hz，f2=5000Hz时，求时，求XL及及I，并画出，并画出U、I 相量图。相量图。.0fXc容抗容抗设设得得由由dtduCi CmmXICIU 1mCX 1C fCX 21C C +uiXC与与f 的关系的关系设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。式中式中 容抗与频率容抗与频率f ，电容电容C 成反比。因成反比。因此，电容元件对高频电流所呈现的容抗此，电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，

30、而对直流所呈现的容抗趋于无穷很小，而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故可视为开路。大，故可视为开路。u=Umcos ti= C Umsin t=Imcos( t+90)90 ； Um = XcIm U = Xc I 用相量法可以把电容的电压用相量法可以把电容的电压和电流的上面三方面的关系的和电流的上面三方面的关系的(2)和和(3) 统一用相量式表示：统一用相量式表示：Um = j Xc ImU = jXcI相量图IU+1+j0即即: j I=I ej90 =I e j ej90 =Ie j( 90 )因因jI 相当于将相量相当于将相量 I 顺时针转了顺时针转了90 由上面的分析可知电容的电压和电

31、流的关系为由上面的分析可知电容的电压和电流的关系为u波形图波形图 t0iU +1+j0 电流超前电压电流超前电压90 相量图相量图I 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 CIXU C +uiu= Umcos ti= C Umcos( t+90) 电压与电流相量式电压与电流相量式 = XC U jI 例例: 下图中电容下图中电容C=23 . 5 F，接在电源电压接在电源电压U=220V、频率为频率为50Hz、初相为零的交流电源上，求电路中的电流、初相为零的交流电源上，求电路中的电流i 。该电容的额定电压最少应为多少伏？该电容的额定电压最少应为多少伏？ 额定电压额定电压 解解: 容抗容抗 5 .

32、135211CfCCX A62. 1C XUIV311 C +uii= Imcos( t+90)= 2.3cos(314t+90)u =iR 电压与电流电压与电流同频率、同相位同频率、同相位电压与电流大小关系电压与电流大小关系 U=R I 或或 Um=R Im 电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 U=RI 电压超前电流电压超前电流90 didtu= L 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 U=I XL，XL= LU I 电压与电流相量式电压与电流相量式 = j XL 电流超前电压电流超前电压90 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 U=I XC，XC=1/ Cdudti= C 电压与

33、电流相量式电压与电流相量式 = XC U jI 电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 电压与电流相量式电压与电流相量式U I = j XL = ZL = I I YL1U I = R = ZR = I I YR18-6 VCR相量形式的统一相量形式的统一阻抗和导纳的引入阻抗和导纳的引入电压与电流相量式电压与电流相量式U I = j XC = ZC = I I YC1U = Z = I I Y1U Z = I 称为复数阻抗，简称称为复数阻抗，简称阻抗阻抗，单位为欧姆（，单位为欧姆（ ）。）。称为复数导纳，简称称为复数导纳，简称导纳导纳，单位为西门子（，单位为西门子（S）。）。Y = Z 1相

34、量模型：相量模型：电压、电流用相量表示，电路参数用复数阻抗表示。电压、电流用相量表示，电路参数用复数阻抗表示。U=RIU=j LIU = j I C1RUIIUj LIU j C1RuiuiLCui8-7 正弦电路与电阻电路的类比正弦电路与电阻电路的类比相量模型的引入相量模型的引入根据根据KVL可列出可列出已知已知u，求，求i. tiCtiLRid1dd +L +uCRiuLuCuR + +CLRuuuu 在在R、L、C串联交流电路中，电流电压参考方向如图所示。串联交流电路中，电流电压参考方向如图所示。如用相量表示电压与电流关系，如用相量表示电压与电流关系，可把电路模型改画为相量模型。可把电路

35、模型改画为相量模型。CLRUUUU IXIXIRCLjj IXXRCL)( j )( jCLXXRIU RXXCLCLXXR arctanj22e)( jeZ + + + +URULUCUI电路的阻抗，用电路的阻抗，用 表示。表示。Z KVL相量表示式为相量表示式为Z = R2 +X2 =arc tan Z= R+j(XL-XC )XL-XC=X 电抗电抗阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角XR复数阻抗复数阻抗阻抗三角形阻抗三角形XRZ Z=R+jX = Z +L +uCRiuLuCuR + + + + + +URULUCUI)( jCLXXRIU Z = R2 +X2阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角 =arc

36、tan XRZ =UI =UuIi=UIu- i = u- i阻抗阻抗Z=R+jX = Z 当当XLXC 时时, X 0， 为正，电路中电压超前电流为正，电路中电压超前电流,电路呈电感性；电路呈电感性；当当XLXC 时时, X 0， 为负，则电流超前电压，电路呈电容性；为负，则电流超前电压，电路呈电容性；当当XL=XC , X=0， =0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。，则电流与电压同相，电路呈电阻性。 + + + +URULUCUI设电流设电流为参考正弦量为参考正弦量i= Imcos t则电压则电压u= Umcos( t+ ) 的大小和正负由的大小和正负由电路参数决定。电路参数决定。 为正

37、为正时时电路电路中电压中电压电流相电流相量图量图I UURUL UcULUc阻抗阻抗三角形三角形XL- XcR Z + + + +URULUCUIU= U2R+(UL - Uc)2各部分电压有效值之间关系各部分电压有效值之间关系URXZ 阻阻抗抗三三角角形形电电压压三三角角形形电压、阻抗三角形电压、阻抗三角形X = XL-XC UXULUC =+ UXUR例题：例题： 已知下图所示电路中，已知下图所示电路中，UL= UR= 40V， UC=80V，画出该电路的相量图，并计算总电压画出该电路的相量图，并计算总电压U 。CRLuRuLuciu+例题图例题图 URULUCI U解：根据基尔霍夫定律的

38、相量形式及各元解：根据基尔霍夫定律的相量形式及各元件电压、电流的相量关系，可得相量图件电压、电流的相量关系，可得相量图由相量图可知由相量图可知 2 U = 40 V解：解：1. 感抗感抗 XL= L=314127 10-3=40 容抗容抗 XC= C1=31440 10-61=80 Z = R2 +(XL Xc)2=50 Z = 302 +(40 80)2复阻抗模复阻抗模 例例: R、L、C串联电路如图所示，已知串联电路如图所示，已知R=30 、L=127mH、C=40 F，电源电压，电源电压u=220 cos(314 t+45 ）V求：求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模感抗、容抗及复阻抗的模;

39、2 .电流的有效值和瞬时电流的有效值和瞬时值表达式；值表达式；3. 各元件两端电压的瞬时值表达式。各元件两端电压的瞬时值表达式。 2CRLuRuLuciu+解：解：1. XL=40 XC= 80 =50 Z2. =220 45 VU 电压相量电压相量I =UZ=220 45 30+j(40-80)=220 45 50 53 = 4.4 98 A I=4.4 Ai=4.4 cos(314 t+98 )A电流有效值电流有效值瞬时值瞬时值 2Ij LR+U URUCULuR= 132 2cos(314 t+98 )V3. =RI =132 98 VUR=I j XL=176 172 VULuL= 1

40、76 cos(314 t 172 )V 2UC= j XCI=352 8 VuC= 352 cos(314 t +8 )V 2 C1 j解：解：1、 XC= 8 I=12V 3 = 4 A 例例: 电路如图电路如图, 已知已知 R=3 ,电源电压电源电压u=17cos314t V, j XL = j 4 。求：。求：1 容抗为何值（容抗不等于零）开关容抗为何值（容抗不等于零）开关S闭合前后，电流闭合前后，电流 I 的有效值不变，这时的电流是多少？的有效值不变，这时的电流是多少？2容抗为何值，开关容抗为何值，开关S 闭合前电流闭合前电流 I 最大，这时的电流是最大，这时的电流是多少？多少？Z =

41、5 U = 17 1.414 =12VI=12V 5 =2.4A2、 Z 的值最小时的值最小时, I 值最大值最大XC= 4 = R2 +(XLXC)2Z = R2 +XL2IRUjXCjXLS+ICIILIR=+i Ri Li CCRLiu+UR1=+j XL1j XC1（+）UR1=+XC1XL1 ）j（U=G+j（BC BL）容纳容纳电导电导感纳感纳Y=G+j（BC BL）R、L、C并联电路的导纳：并联电路的导纳：=YIUUY=I（1）导纳）导纳Z= 1 Y看另一个特例：看另一个特例：R、L、C并联电路并联电路 设设 u= U mcos tIR相量图相量图IIcILIcILU1、 R、L

42、、C 并联电路并联电路uCRLiiRiciLUj LILIcIRIRj C1（2） 相量图相量图i Ri Li CCRLiu+U IIRIC ILICILI= IR2 + (ILIC)2（2） 相量图相量图IIRILIC 电流三角形电流三角形例例 已知已知IL=5A，IC=2A，IR=4A 求电流的有效值求电流的有效值I。解：解：I= 42+(52)2=5A1、 R、L、C并联电路并联电路 和计算复杂直流电路一样，正弦稳态混联电路也可和计算复杂直流电路一样，正弦稳态混联电路也可应用支路电流法、回路分析法、节点分析法、叠加原理应用支路电流法、回路分析法、节点分析法、叠加原理和戴维南定理等方法来分

43、析与计算。所不同的是电压、和戴维南定理等方法来分析与计算。所不同的是电压、电流应以电流应以表示，电阻、电感和电容及其组成的电路表示，电阻、电感和电容及其组成的电路应以应以复数复数复数复数来表示。即正弦稳态混联电路来表示。即正弦稳态混联电路用其用其相量模型相量模型表示。表示。8-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 I = 0 U = 0 U = Z = I I Y1例子例子设设 u= U mcos t相相量量图图IIcUURULIRLuiiRLicuRuLCL+RUj LIRLIcIRURUL+j C18-9 正弦稳态混联电路的分析正弦

44、稳态混联电路的分析 8-9 相量模型的网孔分析法相量模型的网孔分析法 和节点分析法和节点分析法 一一.网孔分析法网孔分析法 电阻电路电阻电路正弦稳态电路相量模型正弦稳态电路相量模型R11I1+ R12I2+R1nIn=Us11R21I1+ R22I2+R2nIn=Us21Rn1I1+ Rn2I2+RnnIn=UsnnZ11I1+ Z12I2+Z1nIn=Us11Z21I1+ Z22I2+Z2nIn=Us21Zn1I1+ Zn2I2+ZnnIn=Usnn65364)(CBAiRRRiRiRS4S3uu 6525)(ABiRRRiRS26 CuiR 541)(S4uS1u5 BiRAiRRR 4

45、ciR +US2-R1R2R4R6R3iCiAiBR5+US1-+US3-US4+令令 R11=R1+R4+R5 为第一网孔的为第一网孔的自电阻自电阻 令令 R12= R21 = R5为一、二两网孔中为一、二两网孔中互电阻互电阻令令 R13 =R31 =R4为一、三两网孔中为一、三两网孔中互电阻互电阻 令令 uS11= uS1-uS4为第一网孔中电压源电压升之和为第一网孔中电压源电压升之和R11iA+R12iB+R13iC=uS11R21iA+R22iB+R23iC=uS22R31iA+R32iB+R33iC=uS331 1自电阻自电阻* *网孔电流网孔电流+ +互电阻互电阻* *相邻网孔电流

46、相邻网孔电流= =网孔中电压源电压升之和网孔中电压源电压升之和2 2自电阻自电阻总总为正为正值。值。互电阻互电阻则则有正有负，两网孔电流流过互电阻时有正有负，两网孔电流流过互电阻时，方向相同方向相同则则取正取正, , 方向相反取负方向相反取负 电阻电路的网孔分析法电阻电路的网孔分析法例：试列出图示电路的网孔方程组。例：试列出图示电路的网孔方程组。网孔方程组网孔方程组(3+j3)I1-j3I2=10/30-j3I1+(2+j3-j2)I2-2I3=0-2I2+(2-j)I3=-5II=I1-I2辅助方程辅助方程解：解： 3I1-j2-jI2I3j32125I 10 /30 I二二.节点分析法节点

47、分析法 电阻电路电阻电路G11U1+ G12U2+G1nUn=Is11G21U1+ G22U2+G2nUn=Is21Gn1U1+ Gn2U2+GnnUn=Isnn正弦稳态电路相量模型正弦稳态电路相量模型Y11U1+ Y12U2+Y1nUn=Is11Y21U1+ Y22U2+Y2nUn=Is21Yn1U1+ Yn2U2+YnnUn=Isnn等号左端为通过各电导流出等号左端为通过各电导流出的全部电流之和，右端为流的全部电流之和，右端为流进该节点电流源之和。进该节点电流源之和。 0)(35432315 uGGGuGuG0)(33232111 uGuGGGuG)(3521151 iuGuGuGGsnn

48、snnnnnsnnsnniuGuGuGiuGuGuGiuGuGuG KKKKKK2211222222121111212111.G5G1G3G2G4isi1i2i5i41234选选4为参考点为参考点i3s3s3iuGuGuGiuGuGuG 22232221211113212111s3iuGuGuG 33332321311. 1. 自电导自电导节点电位节点电位 + + 互电导互电导相邻节点电位相邻节点电位 = = 流进该节点的流进该节点的电流源电流电流源电流2. 2. 自电导均为正值自电导均为正值( (相对相对) )，互电导均为负值。，互电导均为负值。电阻电路的节点分析法电阻电路的节点分析法例：例

49、： 试列出图示电路的节点方程组。试列出图示电路的节点方程组。节点方程组节点方程组3jU2I U1 =10/30UjjUj 3)12121(221 Uj 410辅助方程辅助方程03212)213131( UjUjj U131 解：解： 3-j2-jj3212345I 10 /30 IU4= 5 I一一. 无源单口网络的等效无源单口网络的等效2. 正弦稳态电路正弦稳态电路 abRZab(j )=R( )+jX( )Yab(j )=G( )+jB( ) 9-10 相量模型的等效相量模型的等效1. 电阻电路电阻电路RjXjBGabGN0wabN0abZ=R+jX两种等效电路的关系两种等效电路的关系串联

50、串联 并联并联Y=G+jBZ=R+jX2211XRjXRjXRZY 22XRjR 22XRX =G+jB 22XRX B=22XRR G=RjXjBG并联并联 串联串联Y=G+jB 2211BGjBGjBGYZ jXRBGBjBGG 2222BX1 GR1 阻抗与导纳互为倒数阻抗与导纳互为倒数XBGB 22RBGG 22正弦稳态电路正弦稳态电路 Zab(j )=R( )+jX( )Yab(j )=G( )+jB( )N0wabRjXjBG二二.含源单口网络的等效含源单口网络的等效 1.电阻电路电阻电路 2.正弦稳态含源单口网络正弦稳态含源单口网络 戴维南戴维南等效电路等效电路 诺顿诺顿等效电路等效电路 诺顿诺顿等效电路等效电路 NN 戴维南戴维南等效电路等效电路 UocRoIscRoUocZoIscZo例：例： 图示电路中图示电路中i(t)=cos(3t+45) A, 求求u(t)。解：解：(1)作出相量模型作出相量模型abi(t)u(t)231H65H31FabIU 2- j j25 j 解：解： (1)作相量模型：作相量模型：(2)求求U552325225)2(2)2(jjjjjjjjabZ jjjjj 234105 45 2222j例：例： 图示电路中图示电路中i(t)=cos(3t