控制系统的稳定性分析

1、机机 械械 控控 制制 理理 论论第五章第五章控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析机机 械械 控控 制制 理理 论论第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5-1 稳定性稳定性 5-2 劳斯劳斯- -胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据5-3 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据5-4 系统的相对稳定性系统的相对稳定性机机 械械 控控 制制 理理 论论1 1、稳定性的概念、稳定性的概念 稳定性：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬稳定性：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当

2、此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。定的。 由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。（结构、参数），与系统的输入信号无关。 第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5-1 稳定性稳定性 机机 械械 控控 制制 理理 论论2 2、判别系统稳定性的基本原则、判别系统稳定性的基本原则 对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：对于一般的反馈系统，系统的传递函数为： oiX (s)G(s)(s)X (s)1 G(s)H(s)设

3、输入信号为单位脉冲信号，则有：设输入信号为单位脉冲信号，则有：o12nn12nii 112niG(s)G(s)X (s)1 G(s)H(s)(ss )(ss )(ss )ccccssssssss第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 ins toii 1x (t)c e机机 械械 控控 制制 理理 论论从从式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根s s，全部具有负实部。全部具有负实部。 综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负性系

4、统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在要条件也可表述为：系统的极点均在s s平面的左半平面。平面的左半平面。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 机机 械械 控控 制制 理理 论论一般情况下，确定系统稳定性的方法有：一般情况下，确定系统稳定性的方法有：1 1 直接计算或间接得知系统特征方程式的根。直接计算或间接得知系统特征方程式的根。2 2 确

5、定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。应用第一种类型的两种方法是：应用第一种类型的两种方法是：(1)(1)直接对系统特征方程求解；直接对系统特征方程求解；(2)(2)根轨迹法根轨迹法应用第二种类型的两种方法是：应用第二种类型的两种方法是：(1)(1)劳斯劳斯- -胡尔维茨判据胡尔维茨判据; (2); (2)奈氏判据奈氏判据第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 机机 械械 控控 制制 理理 论论1 1、胡尔维茨稳定判据、胡尔维茨稳定判据第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5-2 劳斯劳斯- -胡尔维茨稳定性判据

6、胡尔维茨稳定性判据系统稳定的充要条件是：系统稳定的充要条件是：1 1）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，即）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，即a ai i=0=02 2）由系统特征方程各项系数组成的主行列式及其各顺序主由系统特征方程各项系数组成的主行列式及其各顺序主子式全部大于零。子式全部大于零。满足这两个条件的系统是稳定的，否则系统是不稳定的。满足这两个条件的系统是稳定的，否则系统是不稳定的。1201210nnnnna Sa Sa SaSa 00a 将系统的特征方程式写成：将系统的特征方程式写成：机机 械械 控控 制制 理理 论论胡尔维茨行列式可列写为：胡尔维茨行列式可列写为： n

7、nnnaaaaaaaaaaaaa2120314205310000000000000000000建立建立 规律：主对角线上元素从规律：主对角线上元素从a a0 0开始依次递增为开始依次递增为a an-1n-1，再再写出各列元素，按自上而下角标递减，小于写出各列元素，按自上而下角标递减，小于0 0时用时用0 0代替。代替。n第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 机机 械械 控控 制制 理理 论论第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 系统的特征方程为：系统的特征方程为： 4322ss3s5s 100试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性

8、。解：由特征方程知：解：由特征方程知：1) 1) a ai i=0=02)2) 150023 10 0n0150023 10 110 2157023 所以，不满足胡尔维茨行列式，系统不稳定。所以，不满足胡尔维茨行列式，系统不稳定。例例机机 械械 控控 制制 理理 论论2 2、劳斯判据、劳斯判据当系统特征方程阶次越高，利用胡氏判据时，行列式计当系统特征方程阶次越高，利用胡氏判据时，行列式计算工作量越大，所以高阶时，可用劳斯判据判别系统的算工作量越大，所以高阶时，可用劳斯判据判别系统的稳定性。稳定性。 劳斯判据步骤如下：劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：）列出系统特征方程： 检查各项系数是

9、否大于检查各项系数是否大于0 0，若是，进行第二步。，若是，进行第二步。可见，可见，ai0 (i=0,1,2,n)，是满足系统稳定的必要条件。是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表）按系统的特征方程式列写劳斯表第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 1201210nnnnna Sa Sa SaSa00a 机机 械械 控控 制制 理理 论论024611357212343123212311201nnnnsaaaasaaaasbbbbscccsdddseesf3 3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列

10、中各数a0a0、a1a1、b1b1、c1c1、的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。系统具有的正实部特征根的个数。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 120314051607123111,a aa aa aa aa aa abbbaaa表中131 2151 3171 4123111,baabbaabbaabcccbbb121 211e dd efe机机 械械 控控 制制

11、 理理 论论已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：列劳斯表解：列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在有二个根在S S的右半平面，因而系统是不稳定的。的右半平面，因而系统是不稳定的。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 32441.55172.3 100SSS例例401423103 . 25 .380103 . 25 .4105171SSSS机机 械械 控控 制制 理理 论论解：列劳斯表解：列劳斯表 由劳斯判据可知，若系

12、统稳定，则劳斯表中第一列的由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：系数必须全为正值。可得：第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 例例 已知某调速系统的特征方程式为已知某调速系统的特征方程式为求该系统稳定的求该系统稳定的K K值范围。值范围。 3241.585171670(1)0SSSK)1 (167005 .41)1 (16705175 .410)1 (16705 .41051710123KSKSKSS0)1 (16700)1 (2 .40517KK9 .111K机机 械械 控控 制制 理理 论论 劳斯判据特殊情况劳斯判据特殊情况 2.2.劳斯表

13、中出现全零行劳斯表中出现全零行则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。 第五章第五章

14、 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 1. 1. 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法是以一个很小的正数是以一个很小的正数 来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。成劳斯表的排列。e机机 械械 控控 制制 理理 论论1 1、奈氏稳定判据、奈氏稳定判据C(s)R(s)G(s)H(s)考虑上图所示的闭环系统，其闭环传递函数为考虑上图所示的闭环系

15、统，其闭环传递函数为)()(1)()()(sGsHsGsRsC要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。 奈氏判据正是将开环频率特性与系统的闭环极点联系起来奈氏判据正是将开环频率特性与系统的闭环极点联系起来的判据。的判据。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5-3 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据机机 械械 控控 制制 理理 论论奈奎斯特稳定判据的陈述奈奎斯特稳定判据的陈述1. 绘制绘制w从从 变化时的开环频率特性曲线，即开环奈变化时的开环频率特性曲线，即开环奈氏图，并在曲线上标出氏图，并在曲线上标出w从增加的方向。从增

16、加的方向。 0 2.根据曲线包围（根据曲线包围（-1，j0）点的次数和方向，求出点的次数和方向，求出N的大的大小和正负。小和正负。 )()(jGjHw从从 时，曲线时，曲线对（对（-1，j0）点包围的次数。点包围的次数。 当当N0N0时，按逆时针方向包围的情况。时，按逆时针方向包围的情况。当当N0N0 0，系统稳定；，系统稳定； ，系统不稳定，系统不稳定， 越小，表示系统越小，表示系统相对稳定性越差，一般取相对稳定性越差，一般取 。其在图中的位置如。其在图中的位置如图所示。图所示。0 3060 2) 幅值裕量幅值裕量 在奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数，在奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交

17、点处幅值的倒数，称为幅值裕量，用称为幅值裕量，用kgkg表示。表示。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 机机 械械 控控 制制 理理 论论相位穿越频率相位穿越频率g：开环开环Nyquist曲线与负实轴的交点对曲线与负实轴的交点对应的频率应的频率g称为称为相位穿越频率，也称相位交界频率。相位穿越频率，也称相位交界频率。其在图中的位置如图所示。其在图中的位置如图所示。 第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 机机 械械 控控 制制 理理 论论当当 ，则，则kg1kg1，kg(dB)0dBkg(dB)0dB，系统是稳定系统是稳定的。的。当当 ，则，则kg 1kg

18、1，kg(dB) 0dBkg(dB) 0dB，系统是不系统是不稳定的。稳定的。KgKg一般取一般取8 82020dBdB为宜。为宜。ggG(jw )H(jw )1ggG(jw )H(jw )1第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 ()18011()()()1()20lg20lg()()()gggggggggKAG jH JKdBALA 机机 械械 控控 制制 理理 论论二、关于相位裕量和幅值裕量的几点说明二、关于相位裕量和幅值裕量的几点说明控制系统的相位裕量和幅值裕量是系统的极坐标图对控制系统的相位裕量和幅值裕量是系统的极坐标图对-1+j0点点靠近程度的度量。这两个裕量可以用来作为涉及准则。靠近程度的度量。这两个裕量可以用来作为涉及准则。 只用幅值裕量和相位裕量