弯曲变形求解方法

1、青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案课 题第六章 弯曲变形 6-1 弯曲变形概论6.2 弯曲变形的求解 6.3 提高弯曲变形刚度的措施需 4 课时教 学目 的要 求了解挠度，转角的概念及挠曲线近似微分方程掌握叠加法求梁的弯曲变形，求解梁挠曲线的挠度和转角教 学重 点用叠加法求梁的挠度和转角教 学难 点用叠加法求梁的挠度和转角编写日期年 月 日教 学 内 容 与 教 学 过 程提示与补充1、 工程中弯曲变形的实例2、 研究变形的目的3、 挠曲线、挠度的概念4、 转角5、 挠曲线的曲率表示式6、 叠加法求挠度和转角例61 , 例62 .第六章 弯曲变形6.1 工程中的弯曲变形问题一、 工程实例车

2、床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。二、研究变形目的建立刚度条件，解决刚度问题建立变形协调条件，解决超静定问题为振动计算奠定基础。6.2 挠曲线的微分方程一、概念以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。挠曲线：在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。挠度：梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。挠曲线的方程式：w=f(x)转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂

3、直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故挠度w和转角是度量弯曲变形的两个基本量。挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。二、挠曲线的曲率表示式：纯弯曲： （a）横力弯曲：对细长梁而言，忽略剪力Fs的影响 （b）高等数学中对曲率的定义及表达式于是式（a）转化为 （c） 在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，（如图所示），随着弧长S的增加，也是增加的，即正增量对应的也是正的，于是考虑符号后，式（c）可写成 （d） 注意到 代入式（d）及： （e）此式为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w=f

4、(x)是一非常平坦的曲线，转角也是一个非常小的角度，于是 （f）式（e）中，于是式（e）可写成 （g）此式为挠曲线的近似微分方程。6.3 叠加法求梁的变形 梁的挠曲线近似微分方程是在小变形，材料服从虎克定律的条件下导出的，其挠度和转角与外何载成线性关系，因此在求解变形时，也可采用叠加法。当梁同时作用几种荷载时，可以先分别求出每种简单荷载单独作用下梁的挠度或转角，然后进行叠加，即得几种荷载共同作用下的挠度或转角，这种方法称为叠加法。各种常见简单荷载作用下梁的挠度和转角见表91 ，可备查用。例61 悬臂梁同时受到均布荷载q和集中荷载F的作用（图940），使用叠加法计算梁的最大挠度。设为常数。 解

5、由表91查得，悬臂梁在均布荷载作用下自由端B有最大挠度,其值为 悬臂梁在集中力F作用下自由端B有最大挠度，其值为 因此，在荷载q和P共同作用下，自由端B处有最大挠度，其值为 6.4 梁的刚度条件与提高梁刚度的措施一、梁的刚度条件在工程中，梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。梁的刚度条件为 式中 最大挠跨比； 许用挠跨比。许用挠跨比可从设计规范中查得，一般在之间。例62 受力情况如图942a所示的简支梁，由型号为45a工字钢制成。材料的许用应力MPa，材料的弹性模量为GPa，试校核梁的强度和刚度。解（1）作梁的弯矩图（图942b）。由图可知： kNm（2）校核梁的强度。查型号为45a工字钢

6、知，惯性矩cm4，抗弯截面系数cm3。 梁内最大正应力 N/mm2=103.18MPa梁满足强度要求。（3）校核梁的刚度用叠加法计算梁跨中的挠度为 mm=18.5mm=0.002梁满足刚度要求。此梁安全。二、提高梁刚度的措施要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来考虑。梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载、梁的跨度、支座条件及梁的抗弯刚度有关，因此，要降低挠度，提高刚度，可采用以下措施：1增大梁的抗弯刚度增大抗弯刚度EI，可以减小最大挠度，从而提高梁的刚度，但对于同种材料（如钢材），E值相差不大，只有靠用E值较大的材料代替E值较小的材料，才能提高刚度。另一方面增大截面的惯性矩，可以提高梁的刚度，这就要选择合理的截面形状。2减小梁的跨长或改变梁的支座条件梁的跨长对梁的挠度影响很大，要降低挠度，就要设法减小梁的跨长，或在跨长不变的情况下，增加梁的支座，例如图943b所示。也可以在条件许可的情况下，移动支座，例如图943c所示。3改善荷载的分