第2-3次课-第1章信号及其描述

1、1第一章 信号及其描述第2次课第一节 信号的分类与描述第二节 周期信号与离散频谱第三节 非周期信号与连续频谱第四节 随机信号3教学目的与要求1、了解信号分类及描述方法；2、掌握傅里叶级数的三角函数和复指数函数展开式；3、掌握各种典型周期信号频谱分析与计算。重点及难点： 1、学会辨别各种信号；、学会辨别各种信号； 2、傅里叶级数的三角函数和复指数函数展开式、傅里叶级数的三角函数和复指数函数展开式 。4（二）信号的时域描述和频域描述（1） 时域描述：以时间时间t为独立变量的描述方法。v例：（2） 频域描述：以频率频率为独立变量的描述方法。v例：对上例应用傅立叶级数展开： .)5sin513sin3

2、1(sin4)(000tttAtx002T 此式表明该周期方波是由一系列幅值和频率不等、相角为零的正弦信号叠加而成的。tx(t)A-A-T0/20T0/25周期方波的描述67x2(t)=x1(t- )40T8讨论：v1、时域描述：信号瞬时值随时间变化。 如：振动中反映的是振动的烈度。v3、两者描述的是同一信号，只是变换域不同，研究的方面不同。2、频域描述：反映信号频率组成及其幅值、相角大小。 例：寻找振源910一、傅立叶级数的三角函数展开式二、傅立叶级数的复指数函数展开式三、周期信号的强度表述第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱一、傅立叶级数的三角函数展开式一、傅立叶级数的三角函

3、数展开式 在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。 10sin0cos0ntnnbtnnaatx 100cosnnntnAatx22nnnbaA狄里赫利条件狄里赫利条件 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 必须绝对可积；必须绝对可积； 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个极大值和极小值；只能有有限个极大值和极小值； 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个不连续点，而且，在这些不连续只能有有限个不连续点，而且，在这些不连续点上，点上， x(t) 的函数值必须是有限值。的

4、函数值必须是有限值。 100sinnnntnAatxnnnabtannnnbatan或常值分量常值分量余弦分量的幅值余弦分量的幅值正弦分量的幅值正弦分量的幅值0T周期周期0圆频率圆频率，;200T,3,2,1n 10sin0cos0ntnnbtnnaatx例：求例：求下图周期性三角波的傅立叶级数下图周期性三角波的傅立叶级数X(t)t-T0/2T0/2A解：在解：在x(t)的一个周期中可表示的一个周期中可表示为为余弦分量的幅值正弦分量的幅值na 042sin4cos24cos22222202002200000nAnnAtdtntTAATtdtntxTTTT , 5 , 3 , 1n , 6 ,

5、4 , 2n 2200000sin2TTntdtntxTb常值分量 042sin4cos24cos22222202002200000nAnnAtdtntTAATtdtntxTTTT 5 , 3 , 1cos1425cos513cos31cos420122020202ntnnAAtttAAtxn结果：可见：周期性三角波频谱，其幅幅频谱频谱只包含常值分量、基波、和奇次谐波的频率分量，谐波的幅值收敛。在其相频谱相频谱中基波和各次谐波的初相位均为零。v根据欧拉公式： 式可改写成 1sincosjtjttjetjetjet21costjtjeejt21sin 10002121ntjnnntjnnnejb

6、aejbaatx二、傅立叶级数的复指数函数展开式二、傅立叶级数的复指数函数展开式有nnnjbac21njbnanc21000acn 时， 11000ntjnnntjnnececctx nntjnenctx, 2, 1, 00令则或令则或(n=1,2,3,)一般情况下 cn 是复数 与 共轭ncnc一些分析周期函数周期函数x (t)展开为傅立叶级数的复指数函数形式后展开为傅立叶级数的复指数函数形式后可分别以可分别以|C n | - 和和 n-作幅频谱图和相频谱图作幅频谱图和相频谱图也可分别以也可分别以C nR 和和C nI 作作实频谱图和虚频谱图实频谱图和虚频谱图21三角函数展开式与复指数函数展

7、开式对比： nntjnenctx,2,1,00(n=1,2,3,)a) |C n | =An， | c0 | =a0 100cosnnntnAatx负频率说明0ImARe主要原因：角速度按其旋转方向可以为正或负，一个矢量的实部可以看成为两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，而虚部则为虚轴上投影之差。0-0A/2例题1-1 画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。解 ：根据式子故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称;正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。tjetjejttjetjet00000021sin21cos结论：结论：一般周期函数按傅立叶级数的复指数函数形一般周期函数按傅立叶级数的复指数函数

8、形式展开后式展开后，其其实频谱实频谱总是总是偶对称偶对称的的，其其虚频谱虚频谱总是总是奇对称奇对称的的。tjetjejttjetjet00000021sin21cos周期信号频谱的三大特点周期信号频谱的三大特点q1）离散性离散性 周期信号的频谱是离散的。周期信号的频谱是离散的。q2）谐波性谐波性 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频 率是诸分量频率的公约数。率是诸分量频率的公约数。q3）收敛性收敛性 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐波次数的增高而减小的。因此，在频谱分析中没必要没必要取那

9、些次数过高的谐波分量。25v周期信号的强度以峰值xp、绝对均值u| x| 、有效值xrms和平均功率pav来表述。见下图：三、周期信号的强度表述4）平均功率有效值的平方（均方值）就是信号的平均功率 maxtxxp dttxTTx0001 dttxTxTrms00201 dttxTpTav00201px1） 峰值 是信号可能出现的最大瞬时值，即ppx峰-峰值 是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差2）绝对均值周期信号全波整流后的均值3）有效值是信号的均方根值272829第三节 瞬变非周期信号与连续频谱一、傅立叶变换二、傅立叶变换的性质三、典型信号频谱30另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线

10、出现在0，fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。（）非周期信号准周期信号瞬变非周期信号非周期信号 具有离散频谱的信号不一定是周期信号。Or 几个简谐信号的叠加，不一定是周期信号。周期信号周期信号由很多简谐信号叠加而成，判断对错：任意两个谐波的频率比都是有理数频率比都是有理数存在至少两个谐波的频率比是无理数频率比是无理数准周期信号准周期信号由很多简谐信号合成，（ ）非周期信号常见示例X(t)t0X(t)t0tX(t)0X(t)t0指数衰减信号矩形脉冲信号衰减振荡信号单一脉冲信号一、傅立叶变换对于非周期信号的理解周期信号频谱谱线的频率间隔 当周期 趋于无穷大时，其频率间隔 趋于无穷小，谱线

11、无限靠近。变量 连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的非周期信号的频谱是连续的。002T0T注意：通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号注意：通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号 准周期信号具有离散频谱准周期信号具有离散频谱傅立叶变换满足的条件傅立叶变换满足的条件：狄里赫利条件狄里赫利条件dttx )(收敛收敛设有一个周期信号x(t)在区间 以傅立叶级数表示为 2,200TT ntjnnectx0 dtetxTctjnTTn0002201 ntjntjnTTedtetxTtx00002201将 代入上式则得 当 趋于无穷大时，频率间隔 成为 ，离散频谱中

12、相邻的谱线紧靠在一起， 成为连续变量 ，求和符号 就变为积分符号 ，则0Td0n这就是傅立叶积分 tx式1-25 ntjntjnTTedtetxTtx00002201 dedtetxedtetxdtjtjtjtj212 dedtetxedtetxdtjtjtjtj212 dtetxfXftj2两者称为傅立叶变换对，可记为 XtxFTIFTf2代入式1-25中，则式1-26、式1-27变为 dfefXtxftj2 dtetxXtj21 deXtxtj式1-26式1-27傅立叶变换傅立叶逆变换关系 XfX2一般 是实变量 的复函数，可以写成 fXf fjefXfX式中 为信号 的连续幅值谱， 为信

13、号 的连续相位谱。 fX tx f tx例题1-3求矩形窗函数的频谱 01t2Tt 2Tt 常称为矩形窗函数，其频谱为 fTjfTjTTftjftjeefjdtedtet212222)( fW引入式fTjfTjeejfT21sin fTcTfTfTTfWsinsin式中T称为窗宽有定义定义sinc =sin/ ，以2为周期并随的增加而做衰减振荡。 sinc2-2Sin c 函数是偶函数，关于纵轴对称，当=n(n=1, 2, )时为零。4041v作业： P40 1-1、1-2、 1-3v更正：xuxu2、P40页1-2题中绝对均值 改为 。fje2ftje21、 P32页倒数第9行 应改为 熟悉

14、傅立叶变换的性质的重要意义简化作用！第3次课（一）、奇偶虚实性一般X(f)是实变量f的复变函数。 fXjfXdtetxfXftjImRe2 ftdttxfX2cosRe ftdttxfX2sinIm余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。.若x(t)是实偶函数 X(f)是实偶函数.若x(t)是实奇函数 X(f)是虚奇函数证明：若 x(t)是实偶函数 则ReX(-f)= ReX(f)实偶 ImX(f)=0 故X(-f)= ReX(-f)= ReX(f)= X(f)是实偶函数 证明：若 x(t)是实奇函数 则ReX(f)=0 ImX(-f)= -ImX(f)实奇故X(-f)= -jImX(-f)= j

15、ImX(f)=- X(f)是虚奇函数 44v.若x(t)是虚偶函数 X（f）是虚偶函数v.若x(t)是虚奇函数 X（f）是实奇函数证明：若 x(t)是虚偶函数 则ReX(-f)= ReX(f)虚偶 ImX(f)=0 故X(-f)= ReX(-f)= ReX(f)= X(f)是虚偶函数证明：若 x(t)是虚奇函数 则ReX(f)=0 ImX(-f)= -ImX(f)虚奇故X(-f)= -jImX(-f)= jImX(f)=- X(f)是实奇函数 45（二）、线性叠加性若x1(t)X1(f)若x2(t)X2(f)则c1x1(t)+ c2x2(t)c1X1(f)+ c2X2(f)（三）、对称性 若

16、则 fXtx fxtX dfefXtxftj2以-t代替t得 dfefXtxftj2将t与f互换，即得X(t)的傅立叶变换为 dtetXfxftj2所以证明： fxtX由47（四）、翻转性 若 dfefXtxftj2 fXtxfXtx dfefXdfefXfdefXffdfefXtxftjftjftjftj2222)()(令t=-t,则有所以fXtx证明：因为则（五）、时间尺度改变特性窗函数 特性举例若则证明： fXtx 01kkfXkktx kfXktdetxkktdektxkdtektxtkfjktkfjftj11122249 当时间尺度压缩(k1)时，频谱频带加宽、幅值降低； 当时间尺度

17、扩展(k1)时，频谱频带变窄、幅值增高。（六）、时移与频移特性若则，时域频域 fXtx51证明：v将式 中的t替换为t-t0 X(f)(tX(f)tt000202020)(20ftjftjftjttfjettxdtetxetdetxfX X(f)(tX(f)tt000202020)(20ftjftjftjttfjettxdtetxetdetxfX dtetxfXftj2移项，得则得到 X(f)(tX(f)tt000202020)(20ftjftjftjttfjettxdtetxetdetxfX即同理可证52证明：将式 中的f替换为f-f0 txeffXdfeffXtxedfeffXtxtfjf

18、tjtfjtffj00020202)(20 txeffXdfeffXtxedfeffXtxtfjftjtfjtffj00020202)(20 dfefXtxftj2则得到 txeffXdfeffXtxedfeffXtxtfjftjtfjtffj00020202)(20移项，得即同理可证53频谱分析的应用频谱分析的应用54v 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与频率域变换分析，它是沟通时域频域的一个桥梁。因此了解卷积积分的数学物理含义是很必要的。 卷积积分的概念卷积积分的概念 （七）、卷积特性55 在系统分析中，系统输入输出和系统特性的作用关系

19、在时间域就体现为卷积积分的关系，如下图所示 用公式表示有 y (t) = x(t) * h(t) 函数x(t)与h(t)的卷积积分定义为 )(*)()()()(thtxdthxty若则卷积特性此称为时域卷积定理时域卷积定理，它说明时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，即在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中两频谱相乘。57证明：deXxdetdetxxddtetxxdtedtxxfjfjtfjftjftj2212)(221221221)f ()()()()()()()()( deXxdetdetxxddtetxxdtedtxxfjfjtfjftjftj2212)(221221221)f

20、 ()()()()()()()()(=X1(f) X2(f) deXxdetdetxxddtetxxdtedtxxfjfjtfjftjftj2212)(221221221)f ()()()()()()()()( deXxdetdetxxddtetxxdtedtxxfjfjtfjftjftj2212)(221221221)f ()()()()()()()()()f ()()()()()()()()(2212)(221221221Xdexdetdetxxddtetxxdtedtxxfjfjtfjftjftj 58X(f)*H(f) x(t)h(t) fXfXtxtx2121此称为频域卷积定理频域卷

21、积定理，它说明两时间函数的频谱的卷积等效于时域中两时间函数的乘积。如果：H(f) -傅里叶逆变换- h(t) X(f) -傅里叶逆变换- x(t)则：59证明：)()()()()-f ()()()()(1221)(22221221txtxdeXfdeXddfefXXdfedfXXtjtfjftjftj )()()()()-f ()()()()(1221)(22221221txtxdeXfdeXddfefXXdfedfXXtjtfjftjftj )()()()()-f ()()()()(1221)(22221221txtxdeXfdeXddfefXXdfedfXXtjtfjftjftj fXfX

22、txtx2121)()()()()-f ()()()()(1221)(22221221txtxdeXfdeXddfefXXdfedfXXtjtfjftjftj )()()()()()()()(12212221221txtxdeXtxddfefXXdfedfXXtjftjftj（八）、微分和积分特性若可得 nnndffXdtxtj2同理)(21)(fXfjdttxt61证明：)()2()2()()(d)(22txfjdffjefXdtdfefXdttdxftjftj)()2()2()()(d) t (22nntxfjdffjefXdtdfefXdtxdnnftjnftjn)()2()()f2()

23、(nnfXfjtxjdttxdnn因为所以故有62证明：)()2()2()()( d)(22fXtjdttjetxdfdtetxdffdxftjftj)()2()2()()(d)(22nnfXtjdttjetxdfdtetxdffxdnnftjnftjn则故有nndffXdfXtjtxtj)()()2()()2(nn线性 nnndffXdtxtj2典型信号的频谱举例分析n矩形窗函数的频谱n 函数及其频谱n正、余弦函数 的频谱密度函数n周期单位脉冲序列的频谱一、矩形窗函数的频谱 01t22TtTt函数关系式： )(sisin212fTncTffTeefjdtetfWfTjfTjftj频谱：二、

24、函数及其频谱 在时间内激发一个矩形脉冲 ，其面积为1。当趋于0时， 的极限就称为函数，记做(t)。 函数称为单位脉冲函数。 tS tS从面积的角度来看（也称为函数的强度） dttSdtt0lim 0, 00,ttt1、函数定义662、 函数的采样性质 )0()0()0()(fdttfdtftdttft)()()(t0000tfdttfttdttft 此性质表明任何函数f(t)和(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的函数(t-t0),而该乘积在无限区间的积分则是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。3、 函数与其他函数的卷积特性x(t)函数和函数的卷积的结果，就是在发生函数的坐标位置上简

25、单地将x(t)重新构图。684、(t)的频谱v将(t)进行傅立叶变换102edtetftj）（其逆变换为df12 ftjet）（时域的函数具有无限宽广的频谱，且在所有频段上都是等强度的（均匀谱）。(f)=69 t f1100tt根据傅立叶变换的对称、时移、频移性质，可得到下列傅立叶变换对：020e1ftjtt ）（）（020e1fftfj(t) 11 (f)三、正、余弦函数的频谱密度函数1、定义tfjtfjtfjtfjeetfeejtf0000220220212cos212sin000000212cos212sinfffftfffffjtf正余弦函数的傅立叶变换如下：tfjtfjtfjtfje

26、etfeejtf0000220220212cos212sin000000212cos212sinfffftfffffjtf711、定义等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用sndefsnTtTtcomb, ，整数，周期式中210;nnTs其傅立叶级数的复指数形式dteTtcombTckTfecTtcombsssskfjTTssksstkfjkkdefst2222,1,2, 1,0,/1, 系数式中四、周期单位脉冲序列的频谱 tf00sTtcomb ,sT2sTsT2sTsT/ 1sT/ 1sT/ 31周期单位脉冲序列dteTtcombTckTfecTtcombsssskfjTTsskss

27、tkfjkkdefst2222,1,2, 1,0,/1, 系数式中dteTtcombTckTfecTtcombsssskfjTTssksstkfjkkdefst2222,1,2, 1,0,/1, 系数式中73在（-Ts/2, Ts/2 ）区间内， 只有一个函数(t)，tkfjkssseTTtcomb21,sndefsnTtTtcomb,所以skfjTTsskTdteTtcombTcsss1,1t222)(2stkfjkffes得到可得comb(t,Ts)的频谱comb(f,fs)也是梳状函数根据sTkfTkffTffcombksskss11, ，整数，周期式中210;nnTs）（020e1fftfj令f0=kfs（函数采样性质函数采样性质）74周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱 tf00sTtcomb ,sffcomb,1sT2sT/3sT/ 1sT/ 1sT/3 tf00sTtcomb ,sT2sTsT2sTsT/ 1sT/ 1sT/31周期单位脉冲序列周期单位脉冲序列一、概述 随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的,不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观