【结题报告】《几何画板》辅助教学的实践研究结题报告

1、几何画板辅助教学的实践研究结题报告刖 百几何画板辅助教学教学实践研究自2019年8月通过评审，被立项为市 级教师课题后，课题组成员围绕课题的研究目标，刻苦钻研，大胆实践，充分利 用各种有利因素，努力探索。在校教研室的组织下，我承担了课题组组长，经过 一年度的实践研究，在教育理论和实践上取得了一定的研究成果，有力地推动了 我校数学教学改革的深入开展.现将课题实验情况报告如下。一、课题的提出（一）课题研究的背景新高考背景下的高中数学不仅要考虑数学自身的抽象性、精确性和应用的极 端广泛性等特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经 验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并

2、解释与应用的过程。儿 何画板最大特点是形象和动态，学生通过运用几何画板，从“听”数学转 变为“做”数学，使学生以研究者的方式参与教学，通过发现、探索从而获得知 识。“几何画板”软件的应用，为高中数学探究性教学增添了新的生命力。（二）课题研究的理论依据建构主义是本课题研究的主要的理论依据。建构主义认知理论认为：“知识是由 认知主体主动建构起来的，建构是通过新旧经验的相互作用而实现的。学习者并 不是把知识从外部搬到记忆中来，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互 作用来建构新的理解。新一轮数学课程改革不仅要考虑数学自身的抽象性、精确 性和应用的极端广泛性等特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强

3、调从学生 已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并解释与应 用的过程。于是，自主、探究、合作的教学方式、学习方式成为数学课改的主旋 律。几何画板最大特点是形象和动态，学生通过运用几何画板，从“听” 数学转变为“做”数学，使学生以研究者的方式参与教学，通过发现、探索从而 获得知识。“几何画板”软件的应用，为中学数学自主探究性教学方式增添了新 的生命力。二、研究目标和内容（一）研究目标:边实践边反思，探究总结出关于几何画板的数学探究教学的教学模式， 通过改变课堂教学模式，改善学生的学习方式，发展对数学的理解，加强对数学 的感受。学会自主探究、自主解决问题，提高自主学习的能力，

4、为终身学习打下 良好的基础。引领教师的专业化成长，形成一批数学教学业务骨干，提供一些可 供选择和参考的教学案例，为进一步研究如何提高数学教学的有效性提供经验。（二）研究内容：在数学教学中运用几何画板进行探究式教学，能为学生提供实践的机会, 体验科学探究的过程。有利于培养学生数学思维能力，提高学生发现并解决实际 问题的能力。同时也有助于提高教师科研能力，营造浓郁的教研氛围，这也是目 前课程改革的需要。三、研究方法和途径研究途径：本课题研究将确定三个实验班，三个对比班（同年级），以儿 何画板为工具，构建数学探究教学的新模式。结合本校实际和 学科特性，进一步优化组合教学信息化的资源环境。研究方法：1

5、 .检索和收集与本课题相关的理论学习材料，通过学习加快实验教的理念更 新。2 .在课题研究的中、后期，从案例中提炼出个性化的经验和个性化、理论化 的操作样式，汇集研究成果，并对实验教师的成长进行记录，建立个人成长 袋。3 .根据研究中遇到的具体情况，边实践，边修改，边完善，不断反思、总结， 实现理论与实践、成果与应用有机统一。7研究的过程:序号研究步骤（起止时间）进 程承担人1前期准备阶段：（2019、112019、 12）收集有关信息，确定研究主题， 制定课题计划。课题组成员2研究阶段初期：（2020、12020、 2）确定现行教材中可使用几何画 板的教学内容，设计初步的教 学方案和数学实验

6、方案。课题组成员3研究阶段中期：（2020、32020、 5）全面深入地开展实验，探究教 学中几何画板功能的发挥。课题组成员4课题结题：（2020、62020、 7）完成研究资料的整理、数据的 统计。撰写论文和研究报告， 做好课题结题工作。课题组成员四、研究成果（一）几何画板教学模式的探究1、探究式教学模式探究式教学模式是指在教学过程中，教师利用几何画板进行实验，引导 学生进行观察分析，得出结论，然后再对这个数学问题进行改造（改变题设条件, 结论，或同类变形、附加条件等），引导学生自主探究新的结论，从而找出数学 规律的教学模式。这种教学模式有利于学生发散性思维、创新意识和创新能力的 培养，也有

7、利于师生、生生之间的交流合作.例如，肖若安老师讲授，指数函数的图像及性质，时，采用的教学设计是，实验 观察一分析讨论一归纳结论，取得了较好的教学效果.实验观察：（1）让学生任意取a> 1 , 1 >a>0 , a= 1的值画图（2）取a=0, a V。的值画图学生对以上实验结果进行观察、分析和讨论，就不难归纳出指数函数中规定 底数a>0且y1的理由:如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,当x$0时，ax无意义;如果avO,在实数范围内，函数值不存在；如果a=l, y=l是一个常量，对它没研究的必要.(3)让a在(0,y)上进行变化，让学生观察图像的变化根据图1,学

8、生不但成功地总结出了课本中所列指数函数的性质，还发现了 图象间的关系：以定点(0 , 1)为支点看，在y轴右侧，图象底大图高；在y轴 左侧，图象底大图低；丁 = 和广仕丫的图象关于y轴对称.图1正是因为几何画板在教学中的应用，才使得学生由被动学习转变为主动 学习，实实在在地掌握了所学的知识。他们获得的结论不是教师强加的，而是他 们通过，做，数学后，自己分析、研究并归纳得出的，对通过亲身实践而获得的性 质的记忆自然也就比较深刻了.例如，杨孝贻老师在讲解某些特殊的高次不等式，(x-x,Xx-x2)-(x-xn)>0 (或V0)的解法时，教学设计为：”提出问题一转化 探究一改变条件一探求新知一

9、归纳总结”.提出问题：求不等式)，=(X + 3+ 2*工一一 2)> 0的解集.转化探究：师生对函数、方程、不等式三者间的关系讨论后，将问题转化为 求函数)，= (x + 3Xx + 2Xx-l)(x-2)>0的图象在x轴上方的部分的横坐标的集 合，所以，要求不等式的解集，关键在于了解函数图象.如图2,学生通过作图观察，发现了函数y = (x-王心-)-5)的图象规律：改变条件:若方程(x-x/x-q)(-工”)=0有重根，图象还相同吗？探求新知：学生利用几何画板展开实验探究，归纳出两种情形： (1)方程有奇数个重根的情况，如图3和图4.图3图466.图6(2)方程有偶数个重根的

10、情况，如图5和图图5归纳总结：y=0时的n个根将x轴分为n+1个区间，最右一个区间f (x) >0, 其余区间函数值的符号从右到左，负正相间，有重根时，图象的特点是奇数根处 图像穿过根而偶数根处图像不穿过根(简记为，奇穿偶不穿)王大成老师对题目的改造，使问题变得更具吸引力和探究性，较好地激发了 学生的好奇心和探究的欲望，很好地培养了学生的探究意识和能力.如果说用纸笔虽然繁琐，但在一定程度上还能帮助学生学习函数图象，那么 在学习某些特殊函数，例如正态曲线的性质时.，除了利用信息技术外，可能再也找不到更合适的方法了.上一）2正态曲线就是函数=的图象.面对如此复杂的函数，传统 J24b教学只能

11、由教师画几个4和b分别取不同值的草图（一般都是照着教科书的三 个图画下来），然后告知学生正态曲线的所有性质.其实大多数学生根本就不能 从仅有的几个图象就得到这些性质.对正态曲线性质的理解成了传统教学下学生 一直克服不了的难点.但在实验教学中，学生却能很主动地利用信息技术动态地 研究函数图象（图7图8）,通过观察图象位置和形状的变化，轻而易举地得到 了正态曲线的性质，自然也就很容易理解了.2、实验归纳模式实验归纳模式是指在课堂教学中，学生在教师的引导下，根据教材内容，利 用几何画板，自主地做数学实验，通过对实验结果的观察、分析和讨论，归 纳出规律或结论的教学模式.这种教学模式注重学生的动手能力、

12、观察能力、概 括归纳能力以及发现知识的策略和方法的培养.这种教学模式不仅充分体现了现 代教学技术的作用，还使学生认识了，数学不仅是一门逻辑科学，也是一门实 验科学这一现代数学观.中学数学实验是以问题解决为核心，信息技术为工具，学生为主体，动手操 作为特征的数学学习活动。其形式一是进行课外的数学实验；二是在课堂教学中， 选择与信息技术的结合点，结合教学开展课堂上的数学实验.由于数学实验是利 用信息技术工具进行的数学活动，所以必须选择能发挥运用信息技术作用的问题 作为数学实验的内容；数学实验应该是学生做数学的过程，所以选择的内容要能 体现学生问题解决的过程；数学实验的主体是学生，应尽量选择学生感兴

13、趣的内 容；数学实验是学生的数学学习活动，所以选择的内容应该以教材内容为主，围 绕教学的重点和学习的难点，同时结合学校的校本课程，适当选择一些与数学知 识有关的课外的内容，特别是实际问题；数学实验的内容选择应注意问题的难度、 开放程度，学生的可操作性等因素.数学实验的步骤可分为：A.确定实验目的 B.提出实验要求C.选择信息技术工具 D.开展数学实验 E.填 写实验报告（附表1）; F.实验成果汇报与评价分析实验题目班级姓名时间实验目的实验工具问题提出解决问题 的思路或设 想实验步骤实验结果 及猜想实验结果 的论证或解 释实验结论评价下面是陈树勋老师的一个实验课课例：实验课题：函数/（x） =

14、 x+上的图象和性质 X实验背景：函数= x + V蕴涵极大的教学价值：（1）它是一个正比例函 X数与一个反比例函数之和通过变量替换而得到的函数；（2）它是一个奇函数；（3）用其在（0, +8）上的单调性可解决函数的一类最值问题，特别是“均值不 等式，中等号不能取得时的最值问题；（4）当修0时其图像为双曲线.实验工具:几何画板GPS （5.06） .实验目的：探究函数x)=x +上的图象和性质(单调性和奇偶性) X实验要求：1.把学生分成若干组，每组4人；2.各组写出实验目的、实验v方法和实验步骤；3.各组按计划开展实验4.全班交流实验结果5.撰写实验报告实验步骤：L打开几何画板，进入函数编辑

15、功能；2 .输入函数 y= f(x) = x+-； (k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 等)3 .不断改变k的值，观察函数图象(图9图10)的变化规律，并记录下观察 到的现象；并填写表24 .根据观察到的现象猜想函数x)=x +七的性质;(奇偶性、单调性) X5 .检验猜想的正确性，并严格的数学证明.16图9图101 .图象为双曲线.2 .第一象限先减后增， 第三象限先增后减.3 .关于原点对称.4/值变大，函数的最 值也发生改变.Ly随x增大而增大.2 .图象过原点.3 .图象关于原点对称实验报告(1)实验现象记录不断改变k值时，观察到的现象是：随着k值的不断减小，分布在1、3

16、象限的两条曲线逐渐靠近，当k值为正 数时,图象在第一象限内“先减后增”,在第三象限内“先增后减”;当k为0时, 两条曲线变为一条直线丫=乂,当k值为负值时，若x>0,函数为增函数，xVO也 是增函数；在整个变化过程中，函数图象都关于原点对称.(教师用几何画板演 示)(2)猜想猜想1：函数/'(x)=x+'为奇函数；X猜想2：当kVO时，函数/(x) = x +公在x>0时单调递增，在xVO时，也单调 X递增猜想3：当k>0时，函数x) = x +与在第一象限“先减后增”，在第三象限“先 X增后减”(3)证明猜想1、猜想2,请同学证明;(略)但猜想3中的增与减的

17、分界点难以确定.(4)寻找函数x) = x +'(k>0)的单调区间打开几何画板；k取不同的值，作出函数/(x) = x + ± (x>0)的图象，并观察出函数取得最小值时的x的值(见图11),并填写表3；由表3猜想函数x) = x +七(x>0)取得最小值时x的值中所蕴涵的规 X律；表3k(x>0)取得最小值时x的值11.00821.34431.68042.01693.025164.033对猜想进行验证；证明猜想的正确性.L（5）讨论：函数/（x） = x + t的性质X函数%） = x +七是奇函数，图象关于原点对称.X当k<0时，X在（-8

18、,0）上函数为增函数,X在（0,+8）上函数也是增函数当k>0时,x在（-8,女），（、久）上函数是增函数;x在（-7仁0）,（0,VT）± 函数是减函数.若 X>0,当 X=& 时,），min = 2& ； X<0,当 x=- yfk 时 >Tmax = 2>fk .当k=0时,函数为y=x是一次函数（性质略）本节课是一节探究性的实验课，其设计宗旨是想通过学生利用信息技术的实 验，从原始的实验数据归纳整理，观察实验现象，从中猜想出函数的性质，在检 验其是否正确，并通过严格的证明其猜想的正确性.在利用性质来解决一些实际 问题和数学问题.通

19、过实验来培养学生科学的实验方法，学会撰写数学实验报告, 从而促进学生学习方式的转变.在上述例子中，学生参与实验的过程实际上是在观察实验模拟过程中思 考.当然在问题讨论环节中，部分学生仍可发挥创造性，提出自己新的“实验” 设想，并上讲台进行实验操作演示或由教师择优实验.（-）学生学习方式的转变1、数学实验探究模式下的教学，很好地体现学生的主体地位。在教师、知识和学生三者关系中，尤其以“教师与学生”这一对关系最为重要。 “传统教育''与"现代教育”本质区别不是看是否使用了多媒体教育手段，而是看是 否“以学生为中心”。“以学生为中心”是素质教育的本质特征，是实现教育全球化、

20、 现代化、素质化的重要举措。几何画板等教学辅助软件不仅可以简化很多传统的数学计算，很好体现 数形结合的数学思想，更重要的是使学生有更多的时间去探索他们感兴趣的未知 世界.通过教师创设的符合教学内容要求的情境和提示新旧知识之间联系的线 索，学生能自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的或片面的认识，正确建构 当前所学知识的意义.例如：函数图象的变换规律这一内容，在高中数学中占有重要的地位， 历年的高考中均会出现相关的题目，学生往往不容易掌握，成为教学中的一个难 点。传统的教学模式由于受作图工具的限制，教师往往通过一两个函数为例，把 诸如，左加右减，这样的图象变换规律告诉学生，让学生呆板地去记忆，并

21、强化应 用.为什么会想到有这样的规律？到底这些规律是否正确？都是完全由教师给出 的，无形中要求学生不用了解知识的发生过程，只要接受事实规律就行了，即使 一些产生了疑问，希望能够“寻根问底”的学生，也因条件的限制而压制了正确的 思维方向。陈树勋老师在上这节课时，通过设计实验表格：让学生利用几何画板在 同一直角坐标系中画出/(x)=-/+2x + 3及按函数解析式要求变换后的函数图 象，填入，图例，栏中，观察所得图象的相互位置关系，归纳出图象的变换规律并 填入表中.然后从中选出了 6个做得比较好的学生在课堂上进行演示。如图12, 图13：图13在课堂上，学生真正成为了学习的中心，气氛热烈，大家共同

22、讨论、研究， 最终很好地完成了学习的任务，达到了教学的要求。学生有了这样的从感性到理 性、从特殊到一般的认识过程，对教师再做出的严格的数学证明就自然容易接受 了.2、信息技术引入数学教学时，学生由原来的“听”数学，变成“做”数学。作为一门自然科学，“实验”是数学的一个必要且重要的部分。许多数学发现 都源于实验一观察、试验、猜测、验证。正如弗赖登塔尔说“从事创造性数学的 人都知道，在与数学相关的任何问题中，直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的 作用”。著名数学家教育家波利亚也精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是 欧几里德式的严谨科学，从这方面看，数学是一门系统的演绎科学；但另一方面, 创造过程

23、中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学。”所以，数学和发现 往往离不开数学实验，需要经过猜想和证明两个过程。数学的猜想与数学的实验是分不开的，在数学实验中，往往要通过观察、分 析、归纳、处理数据、发现规律。传统的教学方法，学生根本没有“做数学实验” 做个概念，学生大部分时间处于静听、抄笔记的状态，并没有积极参与。信息技 术能够突出数学教与学“互动”，利于学生主体参与。通过实验，教师和学生在课堂中的角色发生了转变，教师也成为了学习者， 并且其主导性的主体地位得到了体现，变得更加尊重学生的需求、现状和发展的 可能；学生发展性的主体地位也得以凸现，他们能够有机会去思考他们感兴趣和认为有意义的问题

24、.以几何画板为平台，以问题解决为核心，实现了教师、所画的图象（图14）,很快发现结果.3、通过信息技术与数学课程整合，培养了学生“信息素养”信息素养，是素质教育的核心要素，其中，信息处理能力是重要的一种能力。基 于网络的中学数学课程教学，所选择的既可以是直接的学习素材，也可以是数学 问题，而且这些学习素材都附带一定的情景或背景，学生通过网络收集提取有关 素材，对相关素材进行分析、研究和比对，通过实验、观察、类比、联想、交流 和讨论，最后归纳、综合，实现意义建构。教师的角色和行为方式发生了重大变 化，教师不再是主要的信息源，他是教学活动中的导航者，设计者和帮助考。学 生成为教学活动的主体，是知识

25、的探索者。自主学习成为学生学习的主要方法。 学生在学习过程中学会学习、学会组织、学会协作、学会思考和交流。（三）促进教师的专业成长.1、教师教学方式的转变信息技术的使用，使得教师可以利用技术整合教学资源，通过图形、动画、 实物图象、声音等呈现数学教学内容.例如，在正余弦函数图象和性质的学习中, 过去通常是在教师按照教科书的要求，先学习认识正弦线、余弦线，后再由教师 在课堂上通过画图演示，让学生认识正、余弦函数的图象。虽然教师花费很大的 功夫讲完教学内容，但是，学生还是难以理解正、余弦函数的图象特征。而利用 几何画板来画正弦函数、余弦函数的图象，用时少，形象具体，大大提高了 数学课课堂教学效率；

26、并且，学生能直接参与教学实践活动，体会画函数图象的 过程，感悟数形结合的真实意义和内涵。这样，使原有粉笔与黑板、教师讲学生 听和教师示范学生模仿等的数学教学活动，转变为师生借助现代信息技术，在教 师引导下进行的师生、生生和小组之间主动探索、互动交流的数学教学活动。III 此形成新的课堂互动形式，建立起新数学教学方式，给高中数学教学改革注入新 的源动力.2、教师的研究能力得以提升课题实验工作的开展，积极推动了数学教师专业水平的发展和提高。教师要 参与课题实验，必须认真学习掌握多媒体软件的操作使用，并能按课程整合的要 求进行数学教学的设计，在实验过程中不断领悟高中数学教学与信息技术整合的 真实意义

27、，逐渐转变数学教育观念，形成新的教学模式。这次实验研究，为实验 教师的专业化成长提供了有利的平台，经过五年的研究，课题组老师的科研意识 和研究能力不断增强，教学艺术也有了很大提高。涌现出一批高质量的实验研究 课、教科研论文和优秀课件，获得了多项荣誉称号。3、积极推动了校本培训工作的开展通过实验研究增强了教师的团队精神，充分发挥了教师在教学研究中的群体 作用，提升教师的群体研究能力。通过相互学习，共同交流，增强了数学学科群 体的凝聚力，形成良好的校本研究和校本培训的科研氛围，为校本培训工作搭建 了平台，提高了教师队伍的科研意识和研究能力。五、实践效果1、如何有效掌握与运用几何画板技术信息技术作为辅助手段引入课堂教学，学校有时并不能提供足够多的计算机 实验室，也没有安排足够多的实验时间，且学生家里也不是全有电脑，因此信息 技术的知识与技能的掌握需要一个较长的循序渐进的过程，教师和学生掌握信息 技术的基本知识与技能还欠熟练，往往因相关同步知识不具备而使辅助教学本身 遇到障碍。因此在学习数学的过程中，不可能完全掌握某种信息技术工具的所有 功能才去实践，往往在了解其基本特性和使用方法后，在实践中应用、学习、完 善。有必要将数学课程与信息技术整合纳入校本课程，扩大