理论力学PPT课件

1、理论力学多媒体课件理论力学多媒体课件 教材蓝本教材蓝本 (面向面向21世纪课程教材世纪课程教材) 金尚年金尚年,马永利编著马永利编著.理论力学理论力学.第二版第二版.北京：高等教育出版，北京：高等教育出版，2002 主要参考书：主要参考书： 1. 陈世民陈世民.理论力学简明教程理论力学简明教程.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2001. 2. H.Goldstein .Classical Mechanics (Second Edition). Cambridge:Addison-Wesley,1980. 3. 蒋士亮蒋士亮.理论力学学习导引理论力学学习导引.桂林桂林:广西师范大学出

2、版社广西师范大学出版社,1997. 内容设计内容设计 蒋士亮教授蒋士亮教授 何良明何良明 脚脚 本本 蒋士亮教授蒋士亮教授 何良明何良明 多媒体制作多媒体制作 赵迎新老师、刘杰、何良明赵迎新老师、刘杰、何良明 动画制作动画制作 吴礼燕老师吴礼燕老师 文字录入文字录入 盘佳秀盘佳秀一、力学、与理论力学 经典力学 绝对时空 v光速 一般力学固体力学 流体力学 交缘力学 微观 宇观 量子力学 相对论力学 (质量与尺寸随v而变化 )宏观研究杆状构件的强度，刚度和稳定性 。研究杆系结构的强度，刚度和稳定性。流体力学：弹性力学：固体力学材料力学：结构力学： 研究非杆结构在弹性阶段 的强度、刚度和稳定性。研

3、究流体受力与运动规律。 理论力学： (属于一般力学) 包 括：研究质点系机械运动一般规律。静力学、运动学和动力学二、研究内容包括几何静力学、分析静力学应 用:变形固体 块、板、壳.杆与杆结构.三大关系(1) 静力学:研究物体所受力系的简化平衡规律及其应用。质点系、刚体、流体平衡、几何、物理(2) 运动学:(与力无关、也是变形体运动基础) (3) 动力学:包括质点系、刚体，变形体的动力效应。研究点与刚体运动的几何性质研究物体所受力与运动间的关系变形(包含刚体位移和相对位移)刚体运动FBCABC包括位移、轨迹、速度、加速度。三、力学模型1、基本模型:2、一般模型: 理想流体(无粘性) 。质点系基本

4、理论(包括一切模型)质 点: 具有质量的几何点。刚 体: 任何两点距离不变的几何体。变形固体: 连续、均匀、各向同性或各向异性假设。分为宏、细、微三层次。流 体:地震学中视为多相变形固体。 土木工程中视为弹性半空间。.地球:天文学中视为质点或刚体。3、特殊模型:温度变化、电磁效应、支座移动，加工误差等。工程系统的计算简图(结构与机构)形状轮廓线、杆轴线联结铰接:限制平移、可转动刚结:限制平移与转动弹性:可变形荷载恒载与活载静载与动载表面力与体积力分布力与集中力 其它外因:pKK 基本模型基本模型（质点系（质点系 ）普遍定理普遍定理力学模型力学模型数学模型数学模型理论解答理论解答误差检验误差检验

5、 结果结果实际对象实际对象抽象抽象简化简化 是是否实实验验模模拟拟基本定律基本定律 公理化公理化修改力学模型修改力学模型解析解析计算计算四、研究途径与方法1、途径: 分理论体系与工程应用两条。分析力学：从两个基本原理出发.公理化:静力学：从5条公理出发.动力学： 从牛顿三大定律出发.数学方法: 矢量分析、代数方程、微分方程。计算机方法: 数值计算、过程仿真。实验方法:机械测试、电测、光测等。开拓新方法: 校核优化设计 响应 参数识别(系统几何物理特性)逆问题培养能力: 抽象与逻辑思维；运动、变形与受力分析；计算模型与方法的选择。1、经典方法分析能力2、创新能力 创造新思想、新方法、新产品的能力

6、。创新思维特点:发散性: 多向性开放性:一题多解、多问、多变探索性:寻找新问题与新途径。寻找新问题与新途径。由被动接收主动索取主动索取想象性想象性:想象力比知识更重要。想象力比知识更重要。3、考研 土木、力学、机械、航天研究生必考课程之一.科技创新，需要高级力学人才。第一章第一章 牛顿动力学方程牛顿动力学方程 内容内容: 经典力学立论的理论基础经典力学立论的理论基础 牛顿力学的基本定律和定理牛顿力学的基本定律和定理 牛顿动力学方程及其应用牛顿动力学方程及其应用 解题指导解题指导 重点重点: 牛顿动力学方程及其应用牛顿动力学方程及其应用 难点难点: 角动量概念和角动量定理角动量概念和角动量定理

7、牛顿在伽利略、开普勒工作的基础上建立了完整的经典牛顿在伽利略、开普勒工作的基础上建立了完整的经典力学理论，这是现代意义下的物理学的开端。经典力学理论的力学理论，这是现代意义下的物理学的开端。经典力学理论的基础是质点运动三条定律，其核心是牛顿动力学方程。基础是质点运动三条定律，其核心是牛顿动力学方程。1、1 经典力学立论的理论基础经典力学立论的理论基础 包括：三个观点（物质观、时空观、运动观）和四条推理规则（简单包括：三个观点（物质观、时空观、运动观）和四条推理规则（简单性原理、因果性原理、统一性原理、真理性原理）性原理、因果性原理、统一性原理、真理性原理） 物质观。物质观。所有的物质都由原子的

8、微粒组成，原子间存在互相吸引所有的物质都由原子的微粒组成，原子间存在互相吸引力和排斥力，可以凝聚分离，构成万物及运动。力和排斥力，可以凝聚分离，构成万物及运动。 时空观（绝对时空观）时空观（绝对时空观）。时间是一维的、均匀的、无限的，与空。时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质都无关间和物质都无关牛顿的绝对时间。可用一条长的直线表示时间：牛顿的绝对时间。可用一条长的直线表示时间：左右过去 现在 未来图1.1 空间是三维的，各向同性的、均匀的、无空间是三维的，各向同性的、均匀的、无限的，与时间和物质都无关限的，与时间和物质都无关牛顿的绝对空间。牛顿的绝对空间。可用一直角坐标系表示空间。原点为

9、空间任一点，可用一直角坐标系表示空间。原点为空间任一点，正交的三个坐标轴方向可以任意选取且可向正负正交的三个坐标轴方向可以任意选取且可向正负方向无限延伸，任一质点在空间的位置均可用坐方向无限延伸，任一质点在空间的位置均可用坐标系中的三个坐标值表出。标系中的三个坐标值表出。绝对时间和绝对空间构成了牛顿力学的绝对时空观。 运动观.内容包括内容包括 力学的最高原理力学的最高原理牛顿三定律和牛顿三定律和力学相对性原理的确立；万有引力定律的发现。力学相对性原理的确立；万有引力定律的发现。 简单性原理.凡科学上正确的东西都是简单的，因此，凡科学上正确的东西都是简单的，因此，力求用简单的方法和形式解决科学问

10、题，表述科学结论。力求用简单的方法和形式解决科学问题，表述科学结论。 因果性原理.即决定论。即决定论。 绝对性原理绝对性原理.指物质观、时空观、运动观对整个自然指物质观、时空观、运动观对整个自然都是普遍适用的，是自然哲学的根本所在。都是普遍适用的，是自然哲学的根本所在。 真理性原理真理性原理.既承认客观真理的存在，同时又承认人们既承认客观真理的存在，同时又承认人们在一定认识阶段的认识只能接近真实，即承认相对真理的存在一定认识阶段的认识只能接近真实，即承认相对真理的存在。真理性原理是绝对真理与相对真理结合的观点。在。真理性原理是绝对真理与相对真理结合的观点。 四条哲学推理规则是自然科学认识论、方

11、法论的准则，四条哲学推理规则是自然科学认识论、方法论的准则，是学习、研究自然科学强大的思想武器。是学习、研究自然科学强大的思想武器。.牛顿第二定律的数学表达牛顿第二定律的数学表达设质量为设质量为m的物体（质点）沿曲线的物体（质点）沿曲线C运运动，所受到的力为动，所受到的力为,当物体的质量不变时当物体的质量不变时,牛牛顿第二定律的表示为顿第二定律的表示为Fdtdm 图1.3m O Cr式式(1.3)在常用的坐标系中的分量式分别为：在常用的坐标系中的分量式分别为：),(trrFF (1.1) Frr 力力一般是位矢一般是位矢速度速度和时间和时间t的函数的函数:(1.2) 则式则式(1.1)可写为可

12、写为 ),(trrFrm (1.3)（）直角坐标系（）直角坐标系) 6 . 1 ();,;,();,;,();,;,(tzyxzyxFzzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmyx 方程（方程（1.3）可表示为）可表示为 kzj yi xr kzj yi xr （1.4）（1.5）P(x,y,z)yxx图图1.4ox（2）平面极坐标系）平面极坐标系jiejier cossinsincos （1.7）rrredtddedeedtddede （1.8）rr 质点的位矢质点的位矢和速度和速度为为rerr （1.9） ererererrrrr （1.10）及其单位矢量及其单位矢量rre e和极角和

13、极角及其单位及其单位的方向都随时间改变，且的方向都随时间改变，且矢量矢量 其结构如图其结构如图1.5所示所示.从图中可知：从图中可知：随着质点随着质点P的运动，矢径的运动，矢径加速度为加速度为 errerrdtdar )2()(2 （1.11） FrrmFrrmr)2()(2 （1.12） (3)球坐标系球坐标系 xyzor rN图图1.6jieeekjiekjierrcossinsinsincoscoscoscossinsincossin(1.13)(1.1)(1.1)因此，牛顿第二定律可表示为因此，牛顿第二定律可表示为 eeer、，由图，由图1.6可知：可知： 空间一点空间一点P的位置坐标

14、及其单位矢量分别为的位置坐标及其单位矢量分别为r、和和eeeedtdeeeeeeeeeeerrrrrrcossin)(cossin(1.16)(1.1)(1.1)位矢和速度为位矢和速度为 rerr （1.19） erererrrsin （1.20） aa由定义由定义求出加速度求出加速度的表示式后，可得的表示式后，可得 FrrrmFrrrmFrrrmr)cos2sin2sin()cossin2()sin(222 （4）柱坐标）柱坐标可看成是由可看成是由OXY平面上的平面极坐标平面上的平面极坐标R、和直角坐标和直角坐标Z组合而成。组合而成。单位矢量单位矢量keeR和和、 的变化率为的变化率为 0k

15、eeeeRR （1.221.22）位矢和速度为位矢和速度为kZrR eRkZerR eR（1.231.23）（1.241.24）Y z O x z R r 图图1.7牛顿第二定律为牛顿第二定律为 zRFzmFRRmFRRm )2()(2（1.251.25） （5）自然坐标与内禀方程）自然坐标与内禀方程 设质点沿着某一空间曲线设质点沿着某一空间曲线MN运运动，在轨道动，在轨道MN上的任意点上的任意点P作密切作密切平面，在密切平面内过平面，在密切平面内过P点作切线点作切线 和法线和法线n，再作直线，再作直线b，使三者的方向关，使三者的方向关系为系为 bn ，即互相，即互相，b称为次法线。称为次法线

16、。 nb和和构成的平面构成的平面称为法平面，称为法平面， 与与 b组成的平面称为直切平面。轨道上每一点组成的平面称为直切平面。轨道上每一点都可作出这样的三条正交的直线，以、都可作出这样的三条正交的直线，以、n、b为坐标轴构成空间自然坐标系。为坐标轴构成空间自然坐标系。 bneee、 bneee、 用用表示其单位矢量，显然，随着质点的运动，表示其单位矢量，显然，随着质点的运动，方向随时间方向随时间t而变化。而变化。 O x y P ds图图1.9 e dtdedtddtda ? dtd （1.26） 质点在任意时刻（质点在任意时刻（P点）的速度和加速度分别为点）的速度和加速度分别为如图如图1.9

17、所示：所示：ddsdtdsdsddtddtedddeed 所以加速度为所以加速度为 ede dted 因因，即，即指向轨道的凹向，可见指向轨道的凹向，可见与法线与法线 edne同向，同向， needtda 2 （1.27）dtda 2 na0 ba ， ，则牛顿第二定律为则牛顿第二定律为 bnFFmFdtdm02 （1.28）1.3 动力学基本定理动力学基本定理 1.3.1 动量定理动量定理 (1)质点系动量定理质点系动量定理Fdtdm 牛顿第二定律牛顿第二定律可写为可写为Fdtpddtmddtdm )( (1.29) 对于由对于由n个质点组成的质点系个质点组成的质点系)(1)(enieisF

18、Fdtpd （1.30）式中式中 mp 为质点动量，式为质点动量，式(1.29)表明：表明：质点动量的变化率等于质点质点动量的变化率等于质点所受到的力。所受到的力。 为质点系的动量：为质点系的动量：式中式中spiniinissmPP11 （1.31）为合外力：为合外力： )(eF nieieFF1)()( （1.32）方程（方程（1.30）表明：质点系动量的变化率等于体系所受到的合外力）表明：质点系动量的变化率等于体系所受到的合外力质点系动量质点系动量定理，方程中体系中的的内力完全不出现。定理，方程中体系中的的内力完全不出现。 （2）质点系动量守恒定理）质点系动量守恒定理即质点系动量不变即质点

19、系动量不变质点系动量守恒定律。质点系动量守恒定律。0)( eF，质点系动量不守恒，但在某一定方向（例如质点系动量不守恒，但在某一定方向（例如x方向）的合外力方向）的合外力 0)( exF，则在该方向动量守恒：，则在该方向动量守恒： 常常量量 sxP0 Fdtpds常常矢矢量量 niiismP1 若质点系所受的合外力为零：若质点系所受的合外力为零：，则，则（1.33） 例如外力仅为重力时，质点系水平方向动量守恒。例如外力仅为重力时，质点系水平方向动量守恒。 您能举出系统总动量不守恒而在水平方向动量守恒的实例吗？您能举出系统总动量不守恒而在水平方向动量守恒的实例吗？ 为质点系质心的位矢，为质点系质

20、心的位矢，sm为质点系总质量，则为质点系总质量，则（3）质心运动定理）质心运动定理 质点系的动量质点系的动量)()(1siiisssiiiniiismrmdtdmmmrmdtdmP 式中式中 sniiicmrmr （1.34） cscssmdtrdmP （1.35）质点系的动量定理可改写成：质点系的动量定理可改写成： )(ecssFdtdmdtpd （1.36） 是质心的速度。上式描述了质心的运动（平移）规律，称为质心运是质心的速度。上式描述了质心的运动（平移）规律，称为质心运动定理，它表明：动定理，它表明：质心的运动如同一个质量等于质点系的质量，所受的力等质心的运动如同一个质量等于质点系的质

21、量，所受的力等于作用在整个质点系上的合力的质点的运动一样。于作用在整个质点系上的合力的质点的运动一样。式中式中c 质心运动定理只描述质点系质心的平移，不涉及质点系相对于质心的质心运动定理只描述质点系质心的平移，不涉及质点系相对于质心的空间取向，而且质心运动状态的变化取决于质点系所受的外力，而与内力空间取向，而且质心运动状态的变化取决于质点系所受的外力，而与内力无关，内力可以改变质点系内质点的运动状态，不能改变质心的运动状无关，内力可以改变质点系内质点的运动状态，不能改变质心的运动状态。质点系可以是离散的质点组或可变形的柔体（如京剧演员、跳水运动态。质点系可以是离散的质点组或可变形的柔体（如京剧

22、演员、跳水运动员）或不发生形变的刚体，也可以是运动过程将发生爆炸的炮弹，在这些员）或不发生形变的刚体，也可以是运动过程将发生爆炸的炮弹，在这些体系中质心运动定理都成立。如跳水运动员在空中卷缩、抱膝、翻滚、伸体系中质心运动定理都成立。如跳水运动员在空中卷缩、抱膝、翻滚、伸展多姿多态，而其质心的运动遵循抛体运动规律，轨迹为抛物线。展多姿多态，而其质心的运动遵循抛体运动规律，轨迹为抛物线。 1.3.2 角动量定理角动量定理 （1）角动量）角动量r m 质点的位矢质点的位矢 和它的动量和它的动量的矢量积的矢量积 PrO图图1.11L m mrL （1.37）称为质点对坐标原点称为质点对坐标原点O的角动

23、量（或动量矩），是描述物体运动特性的重要物理的角动量（或动量矩），是描述物体运动特性的重要物理量之一。量之一。 质点系的角动量定义为质点系的角动量定义为 iiniimrL 1 （1.38） （2）质点系对惯性系中固定的角动量定理）质点系对惯性系中固定的角动量定理 式（式（1.38）两边对）两边对t求导：求导： )()()(1111iieiniiiniiiiniiiiniiFFrFrdtdmrmdtrddtLd 上式中内力矩和上式中内力矩和 0)(1 iiniiFr于是于是 )(1einiiFrdtLd （1.39） 上式表示：质点角动量的变化率等于作用在质点在质点系上所有外力矩的和，与上式表示

24、：质点角动量的变化率等于作用在质点在质点系上所有外力矩的和，与体系内部的相互作用无关体系内部的相互作用无关质点系对惯性系中固定点的角动量定理。质点系对惯性系中固定点的角动量定理。 （2）角动量守恒定律）角动量守恒定律 如果质点系所受到的外力矩为零，则体系角动量守恒如果质点系所受到的外力矩为零，则体系角动量守恒 常常矢矢量量 iiniimrL 1 （1.40）若在某一固定方向的外力矩为零，则角动量在该方向的分量守恒。若在某一固定方向的外力矩为零，则角动量在该方向的分量守恒。 宇宙中存在着各种层次的天体系统，它们都具有旋转的盘状结构。例宇宙中存在着各种层次的天体系统，它们都具有旋转的盘状结构。例如

25、银河系，最初是一团极大的弥漫气体云，具有一定的初角动量如银河系，最初是一团极大的弥漫气体云，具有一定的初角动量。 在自在自身引力作用下收缩，聚集而成现在的形态。由于角动量守恒，银河系演变成了朝一身引力作用下收缩，聚集而成现在的形态。由于角动量守恒，银河系演变成了朝一个方向旋转的盘状结构（图个方向旋转的盘状结构（图1.12）L (3)质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理 质心系质心系随质点系质心平动的参考系（当质心加速度随质点系质心平动的参考系（当质心加速度0 ca时，质心系不是惯性系而为非惯性系）。时，质心系不是惯性系而为非惯性系）。imcrir irzXYZxyOc图图1.13MLr 、

26、 表示质心系中相应的量，则表示质心系中相应的量，则zyxc 如图如图1.13所示，所示，o - xyz为固定坐标系（惯性系），为固定坐标系（惯性系），为原点取在质心为原点取在质心C上随质点系相对于上随质点系相对于oxyz平动的质心系平动的质心系, iiniimrL 1)(1einiiFrM nieiiiiniiiiniiiiniiFrdtdmrmdtrdmrdtddtdL1)(111)( 即即MdtLd （1.41）上式表明：质点系对质心的角动量变化率等于作用在质点系上的外力对质心的力矩上式表明：质点系对质心的角动量变化率等于作用在质点系上的外力对质心的力矩的和。的和。对质心的角动量定理，与惯

27、性系中的角动量形式相同。对质心的角动量定理，与惯性系中的角动量形式相同。 1.3.3 能量定理能量定理 （1）质点系动能定理）质点系动能定理 质点系的动能质点系的动能221iiiiimTT （1.42）对上式两边微分得对上式两边微分得 iiiiiiiiiiiiiirdFrddtdmdmmddT)21(2 即即iiiiiieirdFrdFdT )()(（1.43）上式表示：上式表示：质点系动能的增加等于外力和内力所做的元功之和质点系动能的增加等于外力和内力所做的元功之和质点系动质点系动能定理。能定理。 （2）寇尼希（）寇尼希（Knig）定理）定理 如图如图1.10所示，质点系动能所示，质点系动能

28、 TmrdtdmmmmrmdtdmmmmmTscccsiiiiiiiiiiccsiiciciiciiciiiiiiii)(21)21)(21)2(21)()(212121222222 0 iiiiicmrmr 因质心系的原点在质心因质心系的原点在质心C上，故式中上，故式中，所以，所以TmTcs 221 （1.44）221iiimT （1.45）式中式中为质点系相对于质心的动能。（为质点系相对于质心的动能。（1.44）式表示：质点系的总动能等于质点系全部质）式表示：质点系的总动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心速度运动的动能，加在各质点相对于质心系的动能量集中在质心并以质心速度运动的动能，加

29、在各质点相对于质心系的动能寇尼寇尼希定理。希定理。 （3）质心系的动能定理）质心系的动能定理 质点系动能的微分为质点系动能的微分为 iiiieicieiiiciiieiiiiiiiiiiiiiirdFFrdFrdrdFFrdFrddtdmdmmddT).(.).(.21)()()()()(2 根据寇尼希定理根据寇尼希定理:)(.)21()(2TdrdFTdrddtdmTddmTmddTcieiccsccscs iiiiieirdFrdFTd)()(1.46) (4) 机械能守恒定律机械能守恒定律 上式为质心系中的动能定理上式为质心系中的动能定理,与惯性系中的动能定理的形式一样与惯性系中的动能定

30、理的形式一样.因此得因此得 如果力如果力F是坐标的单值、有限、可微的函数，且是坐标的单值、有限、可微的函数，且 0000 xFyyFFxFzzFzFyyFxxz即即 （1.47）则存在某一单值标量函数则存在某一单值标量函数V（x，y，z），且），且 )()()(.000000rVrVdVdzzVdyyVdxxVrdFWrrrrxyzzyx （1.49）)(,kzVjyVixVzVFVFyVFxVFzyx 即即（1.48）则力所做的功为则力所做的功为 可见力可见力F所做的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关。满足（所做的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关。满足（1.47）式）式或（或（1.

31、48）式的力称为保守力。）式的力称为保守力。 由质点的动能定理：由质点的动能定理：drdFdmmddT.)21(2对上式积分得对上式积分得 T+V=E=常数常数 （1.50）式中单值标量函数式中单值标量函数V称为物体的势能，称为物体的势能，T+V为物体的机械能，上式表明：为物体的机械能，上式表明：如果作用在质点上的力如果作用在质点上的力FF不做功或不做功或机械能守恒定律。机械能守恒定律。为保守力，则质点的机械能守恒为保守力，则质点的机械能守恒 1.4 牛顿力学理论的应用例题牛顿力学理论的应用例题 例例1 长距离自由落体。长距离自由落体。试求彗星在万有引力作用下从距太阳试求彗星在万有引力作用下从

32、距太阳a处到处到b处所用的时间，其中处所用的时间，其中ab R，R为太阳半径为太阳半径 解：取图示的直角坐标，其运动微分方程为解：取图示的直角坐标，其运动微分方程为2ZmmGZm 2ZmmGdZZdZmdtZdmZm dZZmmGZdZm2 )11(212aZmGZ dtdZaZmGZ )11(2dZZaaZmGdtba 21dZZaaZmGt21axdxdZxaZ2, )1(2 )1arcsin211(2| )arcsin41121(212310231023ababbamGaxxxmGadxxmGatabab 积分积分 ZZaZdZmGZdZ02 得得 令令 代入上式：代入上式：O Zmf

33、太阳中心太阳中心 图图1.14 例例2 两个小环套在一悬挂着的大环上沿大环滑动两个小环套在一悬挂着的大环上沿大环滑动 解：大环和小环各受哪些力作用？解：大环和小环各受哪些力作用？ 如图如图1.15，大环在竖直方向所受的合力为，大环在竖直方向所受的合力为 F=T-2Ncos-mg (1)2cos mRNmg （2） mRmg sin（3）小环沿大环运动的微分方程为小环沿大环运动的微分方程为由（由（3）式，有）式，有 dgdRsin 积分上式得积分上式得)cos1(sin2102 gdgR（4） （4）式代入（）式代入（2）式可得）式可得)2cos3()cos1(2coscos2 mgmgmgmR

34、mgN （5） （5）式代入（）式代入（1）式：）式：gmmgTF cos)2cos3(2（6） 当合力当合力F0时大环上升，这时时大环上升，这时T=0，于是（，于是（6）式化为）式化为0cos4cos660cos4cos622 mmmmmm )2311(31cosmm 上式成立的条件为上式成立的条件为 mmmm 23, 0231即即，因此：，因此： 大环可上升的条件为大环可上升的条件为mm 23 大环开始上升时小环所处的位置为大环开始上升时小环所处的位置为)2311(31cos0mmarc 例例3质点沿摆线质点沿摆线 sin4RS 运动运动解解:半径为半径为R的圆周沿的圆周沿x轴纯滚动时轴纯

35、滚动时,圆周上一点圆周上一点P(x,y)的轨迹即为摆线的轨迹即为摆线.本题给本题给出摆线方程出摆线方程,求质点运动的加速度的大小求质点运动的加速度的大小. 摆线方程通常表成直角坐标形式摆线方程通常表成直角坐标形式.如图如图1.16所示所示: ORCYDRCEPM图图1.16XjRiRjRiRjRiRjRiRCMPCiRPMOPr)cos1()sin()cos1()sin(cossin )cos1()sin( RyRx (1) 上式为上式为M点的运动学方程点的运动学方程(直角坐标形式直角坐标形式),称为摆线称为摆线(式旋轮线式旋轮线)参数方程参数方程. dRdRdRdRdydxdS2sin2co

36、s1(2)sin()cos1()()(2222 积分得积分得)2cos1(4)( RS (2) (2) 232,223设设x轴正向与轨道切线正向之间的夹角为轴正向与轨道切线正向之间的夹角为,由图由图1.16知知:则则(2)式为式为 )sin1(4)23cos(14)( RRS将弧坐标原点移至将弧坐标原点移至4R处处,上式为上式为 sin4)(RS (3) (3) (3)式为以弧长为变量的摆线方程式为以弧长为变量的摆线方程(轨迹方程轨迹方程)sin24cos4RaRS cos4cos4RddRddS cos4cos4)cos4(222RRRan nnneReReaeaa cos4sin22 22

37、24 Raaan 可见可见:切向加速度和法向加速度随质点的位置改变变化切向加速度和法向加速度随质点的位置改变变化,但总的加速度的大小是常量但总的加速度的大小是常量 例例4 变质量方块串的运动。变质量方块串的运动。x y F O 图图1.17 NF2TF1TF方块串的总长为方块串的总长为L，单位质量为，单位质量为，开，开始时排列放在桌面上，右端正好排列到桌缘，始时排列放在桌面上，右端正好排列到桌缘，小方块与桌面的动摩擦因数为小方块与桌面的动摩擦因数为，用恒力，用恒力F沿沿水平方向从左端推动该列小方块。求当左端水平方向从左端推动该列小方块。求当左端刚好达到桌缘时，这列小方块的速度。刚好达到桌缘时，

38、这列小方块的速度。解：以桌面上（水平方向）和竖直方向解：以桌面上（水平方向）和竖直方向两部分方块串为研究对象，它们的质量在运两部分方块串为研究对象，它们的质量在运动过程中不断变化，是变质量运动问题，其动过程中不断变化，是变质量运动问题，其运动方程分别为运动方程分别为 1)(TFFgxxxdtd （1）2)(TFFygyydtd （2）在转角处，方块串微元在转角处，方块串微元dldm 的运动方程为的运动方程为21TTNFFFrdl （3） 当当0 dldm 时时021 TTNFFFNTTFFF2221 代入（代入（1）、（）、（2）式，并相减，得）式，并相减，得 Fgyxyyxxdtd )()(

39、因因yxLyxLyx ,，代入上式，可得，代入上式，可得yLggLFy)1()( yLggLFdyydydtdydyydy)1()( dyyLggLFydy) 1()( 积分上式并利用初始条件积分上式并利用初始条件t=0时，时，0,0 yy，得，得gLFLLgLgLFy)1(2)1()(22122 例例5带电粒子在电磁场中的运动带电粒子在电磁场中的运动的电磁场中的运动规律。的电磁场中的运动规律。，磁感应强度为，磁感应强度为EB 求电荷量为求电荷量为q，质量为，质量为m的带电粒子在电场强度为的带电粒子在电场强度为 解：（解：（1）带电粒子在均匀恒定磁场中的运动）带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 运

40、动方程运动方程 Btrqtrm )()( （1）BBkB 设设沿沿Z轴正向：轴正向： ,则则 )(Brmqr （2）粒子受什么力作用？粒子受什么力作用？ 速度速度用用k标乘（标乘（2）式：）式：0)()(. tZBrmqkrk 常量常量 Z（3）即沿即沿Z轴方向（轴方向（B方向）的速度分量不变（为何不变？）方向）的速度分量不变（为何不变？） 动能动能 将将r点乘（点乘（1）式：）式：0)( Btrr qrrm 0)21(2 rmdtd 或或 常常量量 221rmT（4） 即粒子的动能守恒（何故？）即粒子的动能守恒（何故？） 方程（方程（2）的分量式为）的分量式为)(j xi ymgBkzj y

41、i x 0)()()()()(tztxtytytx （5） 式中式中 mqB （6） 称为粒子的回旋频率，是等粒子体物理学中一个重要的特征量。称为粒子的回旋频率，是等粒子体物理学中一个重要的特征量。 运动轨迹运动轨迹 将（将（5）式中的第一、二两式再对）式中的第一、二两式再对t求导，得求导，得 0)()(0)()(22tytytxtx （）（） （7） 积分可得积分可得 00)cos()()sin()(yttyxttx 将（将（5）式中的第三式）式中的第三式0)( tz 对对t积分二次得积分二次得（）（） 0/)(zttz （8）和（）和（9）式即为粒子的轨迹方程，（）式即为粒子的轨迹方程，（

42、8）式表示：带电粒子）式表示：带电粒子磁感应线做横磁感应线做横向圆圈运动；（向圆圈运动；（9）式表示：带电粒子沿磁场方向作匀速直线运动。）式表示：带电粒子沿磁场方向作匀速直线运动。0/)(zttz 00, yx对于运动平面（对于运动平面（）上的观察者：粒子的运动轨迹是以（）上的观察者：粒子的运动轨迹是以（）为圆心（称为引导中心）的圆，圆的半径（称为回旋半径）为）为圆心（称为引导中心）的圆，圆的半径（称为回旋半径）为Bqmr （10）回旋方向与回旋方向与q的正负有关（见图的正负有关（见图1.18）yxzOByyy(a)(b)yyyxzOBy_图图1.18(a)(b)图图1.19对于静止观察者：带

43、电粒子绕磁感应线作螺旋运动，其轨迹形成一个对于静止观察者：带电粒子绕磁感应线作螺旋运动，其轨迹形成一个螺旋管（见图螺旋管（见图1.19） E/EB OOxz图图1.20 （2）带电粒子在均匀恒定电磁场中的运动）带电粒子在均匀恒定电磁场中的运动 设磁场和电场的方向为设磁场和电场的方向为 kEjEEkBB/ 牛顿力学方程的分量为牛顿力学方程的分量为 /)()()()()(qEtzEmqtxtytytx （11）积分（积分（11）中的第三式，很容易求得沿磁场方向的速度）中的第三式，很容易求得沿磁场方向的速度ztmqEtz0/)( （12） 上式表明带电粒子沿磁场方向作匀加速度运动。上式表明带电粒子沿

44、磁场方向作匀加速度运动。 为简化讨论，设为简化讨论，设E/ =0，jEE 。将（。将（11）式中的第一、二两式）式中的第一、二两式对对t再求导一次，然后连续积分两次，可得再求导一次，然后连续积分两次，可得 )sin()()cos()( ttyBEttx（13）是由粒子初始条件确定的常数。（是由粒子初始条件确定的常数。（13）式表明：）式表明：粒子除粒子除了围绕其引导中心作圆周运动外，其引导中心还沿着了围绕其引导中心作圆周运动外，其引导中心还沿着x轴方向漂移，轴方向漂移，漂移速漂移速度为度为 式中式中与与 2BBEBEEF 或或 （14） 在在受控核聚变受控核聚变中，需要采用磁场来约束带电粒子（

45、等离子体），使之在中，需要采用磁场来约束带电粒子（等离子体），使之在c810度高温下聚集不散，磁场约束装置设计的一个重要任务就是克服度高温下聚集不散，磁场约束装置设计的一个重要任务就是克服带电粒带电粒子因漂移运动而引起的损失。子因漂移运动而引起的损失。 地球是一个磁体，周围有地磁场存在。地球的大气层中有由大量的带电地球是一个磁体，周围有地磁场存在。地球的大气层中有由大量的带电粒子（电子、正离子、负离子）构成的电离层，电离层中的带电粒子的正负粒子（电子、正离子、负离子）构成的电离层，电离层中的带电粒子的正负总电荷相等，但不是中性的而是呈电性的称为等离子体。太阳也是由等离子总电荷相等，但不是中性的

46、而是呈电性的称为等离子体。太阳也是由等离子体组成的，不断从太阳吹向地球的所谓体组成的，不断从太阳吹向地球的所谓“太阳风太阳风”，实际上就是带电粒子流，实际上就是带电粒子流，这些带电粒子受到地磁场的作用时，形成丰富的物理现象。因此，本例讨论这些带电粒子受到地磁场的作用时，形成丰富的物理现象。因此，本例讨论的带电粒子在电磁场中的运动是一个很有实际意义的力学问题。的带电粒子在电磁场中的运动是一个很有实际意义的力学问题。 1.5 解题指导解题指导 (1)习题类型及基本解法习题类型及基本解法 牛顿动力学问题大体上分为两类牛顿动力学问题大体上分为两类: )(trr aF .已知质点的运动学方程已知质点的运

47、动学方程,求质点的运动速度求质点的运动速度、加速度加速度、和所受的力和所受的力：这是正问题。这是正问题。所受的力所受的力和加速度和加速度 基本解法基本解法：运用高等数学的微分法，将运动学方程运用高等数学的微分法，将运动学方程)(trr aamF F 对时间对时间t，再由第二定律，再由第二定律求导数，即可求得速度求导数，即可求得速度可求出质点可求出质点和运动的初始条件（状态），求质点的运动学方程F)(trr a .已知质点所受的力、速度、加速度和轨迹。这是逆问题这是逆问题。 基本解法：基本解法：根据牛顿第二定律建立方程，应用高等数学的积分法或解微根据牛顿第二定律建立方程，应用高等数学的积分法或解

48、微分方程方法，求出方程的解析解可得速度分方程方法，求出方程的解析解可得速度 )(trr )(trr 、运动学方程、运动学方程，消去，消去中的参数中的参数t可得轨迹方程。可得轨迹方程。（2）解题的思路和步骤）解题的思路和步骤 确定研究对象，并隔离出来；确定研究对象，并隔离出来； 选取适当的坐标系；选取适当的坐标系； 对研究对象进行受力分析和运动分析；对研究对象进行受力分析和运动分析； 根据已知条件和所求的量，确定解题方法，建立方程；根据已知条件和所求的量，确定解题方法，建立方程； 解方程，求出要求的量；解方程，求出要求的量； 必要时对结果进行讨论。必要时对结果进行讨论。 （3）范例）范例 例例1

49、 质点在粘性介质中的运动。质点在粘性介质中的运动。 mkR Ohmgm图图1.20 xmkmgxm （1） 请思考：方程中重力请思考：方程中重力mg和阻力和阻力xmk为何都是为何都是“-”的？的？ ),(xkgdtxdx 所以所以因因 质量为质量为m的质点无初速度地自离地面为的质点无初速度地自离地面为h处竖直处竖直下落，空气阻力大小与速度一次方成正比，即下落，空气阻力大小与速度一次方成正比，即R=mkv，k为可用实验方法测定的常数。试研究其运动。为可用实验方法测定的常数。试研究其运动。 解：质点运动中受的力有：重力解：质点运动中受的力有：重力mg、空气阻力空气阻力R=mkv，取图，取图1.20

50、所示的直角坐标，所示的直角坐标，质点的运动微分方程为质点的运动微分方程为 dtxkgxd 初始条件为：初始条件为：t=0时，时，0,00 hx，积分上式，得，积分上式，得tkgekhxkt ) 1(12（2）) 1( ktekgx （3） 讨论：当讨论：当t时，质点的速度时，质点的速度恒恒量量 kgekgkt) 1( 这时质点作匀速直线运动（为什么？）这时质点作匀速直线运动（为什么？） 例例2 在上例中，如果阻力与速度的平方成正比：在上例中，如果阻力与速度的平方成正比：22 mgkR ，试研究，试研究质点的运动。质点的运动。 解：在图解：在图1.20的坐标系中，质点的运动微分方程为的坐标系中，

51、质点的运动微分方程为22 mgkmgxm （1） （想一想：上式中阻力（想一想：上式中阻力22 mgk为何是为何是“+”？）？） )1 (22 kgdtdx gdtkd 221 （2） 积分（积分（2）式得）式得)(1gkttghk )cosh(ln12gktgkhx )(gkttghk1 讨论：讨论：当当t时，时，1，故极限速度为，故极限速度为 小结小结 求解物体在介质阻力作用下的运动问题需注意以下几点：求解物体在介质阻力作用下的运动问题需注意以下几点： 1.介质对物体的阻力规律是很复杂的，因为阻力的大小与运动物体介质对物体的阻力规律是很复杂的，因为阻力的大小与运动物体的形状、大小和介质的物

52、理性质（温度、粘性系数、密度等）以及物体运的形状、大小和介质的物理性质（温度、粘性系数、密度等）以及物体运动的速度有关，通常用下式表示：动的速度有关，通常用下式表示： )( scR 式中：式中：c与运动物体的形状以及物理性质有关的系数；与运动物体的形状以及物理性质有关的系数；介质密度；介质密度； S物体投影在物体投影在于速度的平面上的面积；于速度的平面上的面积； （v）物体运动的相对速度物体运动的相对速度v的函数，在不同的速度范围内，的函数，在不同的速度范围内，（v）的形式不同。）的形式不同。 kR 2 kR 2.质点在空气阻力作用下运动时，在速度不大的情况下，阻力的大小与质点在空气阻力作用下

53、运动时，在速度不大的情况下，阻力的大小与接近弹速范围内，接近弹速范围内，阻力大小与速度的二次方成正比：阻力大小与速度的二次方成正比：接近声速时，一般接近声速时，一般R与与v的关系不能用简单的函数关系表示。的关系不能用简单的函数关系表示。 速度的一次方成正比：速度的一次方成正比：（k0，k是一个由实验测定的阻力系数）；在是一个由实验测定的阻力系数）；在；当运动速度增至；当运动速度增至 3.求解质点在阻力作用下的运动问题求解质点在阻力作用下的运动问题.首先要正确建立运动微分方程，首先要正确建立运动微分方程，其关键是正确确定阻力在方程中的符号。阻力其关键是正确确定阻力在方程中的符号。阻力R的方向恒与

54、速度的方向恒与速度v反向，但反向，但R在运动微分方程中不一定为在运动微分方程中不一定为“-”，例如在前面的，例如在前面的例例1中阻力为中阻力为“-mkv”，而而在在例例2中则为中则为“+的反向的反向决定，还与坐标的取向及决定，还与坐标的取向及22 mgkn 的符号有关。的符号有关。 ”，原因是阻力，原因是阻力R在方程中的正负号不是简单地由在方程中的正负号不是简单地由R与与v4.确定阻力确定阻力R在微分方程中的符号的方法与步骤：在微分方程中的符号的方法与步骤： 先选定坐标的正方向；先选定坐标的正方向； 然后根据质点运动的运动方向，定出速度然后根据质点运动的运动方向，定出速度v在取定的坐标系中的正

55、负；在取定的坐标系中的正负； 再根据再根据R恒与恒与v反向判定反向判定R在选定的坐标系中的正负；在选定的坐标系中的正负； 最后有最后有n 的符号确定的符号确定R在方程中的正负。在方程中的正负。 1 22 mgk例如：在例如：在例例1中，中，x轴向上为轴向上为“+”，质点向下运动，质点向下运动，v为为“-”，根据，根据R恒恒为为“-”，故阻力，故阻力R在方程中为在方程中为“-”：与与v反向知反向知R向上，应为向上，应为“+”，但由于，但由于R=-mkv，而在，而在例例2中，由于中，由于v为为“+”，故阻力，故阻力R在方程中为在方程中为“+”：R=+ 例例3 质点的约束运动质点的约束运动 ayx4

56、2 ax20 一质量为一质量为m的小环，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程为的小环，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程为.试求小环自试求小环自处自由滑至抛物线顶点的速度及小环在此时所受的约束处自由滑至抛物线顶点的速度及小环在此时所受的约束反力。反力。 解：本题是质点的约束运动问题，属动力学的逆问题。已知质点运动轨解：本题是质点的约束运动问题，属动力学的逆问题。已知质点运动轨迹，故采用自然坐标法较简便。迹，故采用自然坐标法较简便。质点受哪些力作用？质点受哪些力作用？如图如图1.21，质点运动微分方程为，质点运动微分方程为 cossin2mgNmmgdtdm思考：式右边为何为思考：式右边为何为“-”？

57、 根据初始条件为：根据初始条件为：t=0时，时，aaaaxy 4442200，积分式，得，积分式，得 ag22 ag2 XYOmgnN N图图.由由(2)式：式： cos2mgmN ,21,2)4(2adxydyaxaxdxddxdyy 因因 2322232)41(121)1(1axayy 将、式代入式，得将、式代入式，得 cos)41(222322mgaxaagmN 在顶点在顶点O处：处：x=0，=0，所以，所以 N=mg+mg=2mg 再分析两个约束问题的例题。再分析两个约束问题的例题。 例例4 质点在重力作用下沿竖直平面内光滑的旋轮线运动质点在重力作用下沿竖直平面内光滑的旋轮线运动.旋轮

58、线的参数方程为旋轮线的参数方程为 )cos1()sin( RyRx求质点在求质点在 =0附近摆动的周期。附近摆动的周期。 解：解：题目要求质点摆动的周期，因此必须求出质点振动的微分方程题目要求质点摆动的周期，因此必须求出质点振动的微分方程.采用自然坐标法采用自然坐标法.如图如图1.22所示，以所示，以O为弧坐标原点，设为弧坐标原点，设=0时，时，s=0，质点，质点运动微分方程为运动微分方程为 2cos2sin2 mgNmmgsm OBYXCNRmgn图图1.222sin 由于不需要求约束反力，故只考虑式由于不需要求约束反力，故只考虑式.因因s，t，均为变量，不能直接积分，均为变量，不能直接积分

59、，。由参数方程，有。由参数方程，有为此，设法消去为此，设法消去 dRdydRdxsin,)cos1( dRdRRdydxds2cos2sin)cos1(222222 设设t=0时，时，0,0,0000 ss，积分上式，得，积分上式，得 2sin42cos20 RdRs Rs42sin 将式代入式将式代入式 sRgs4 02 ss 式为质点振动微分方程，式中式为质点振动微分方程，式中 Rg42 为圆频率，则周期为圆频率，则周期 gRT422 例例5 质量为质量为m的小珠串在一光滑的铁丝上，铁丝在竖直平面内且其的小珠串在一光滑的铁丝上，铁丝在竖直平面内且其形状为抛物线：形状为抛物线：pxy2 .初

60、始时小珠的初始时小珠的高度高度y=h，初速为零，初速为零. 求小珠下滑求小珠下滑时时所受的约束力。所受的约束力。 解：采用自然坐标法解：采用自然坐标法.设设t=0时，时， NmgNmgmmgmgdtdmcoscossinsin2 积分式，得积分式，得 )(22yhg ,22 ,232ypdxydyypdxdyypdxdyypxy 232232232)1(1)1(1ypypyy 因因 弧坐标弧坐标s=0.质点运动微分方程为质点运动微分方程为 ,22 ,232ypdxydyypdxdyypdxdyypxy 232232232)1(1)1(1ypypyy 因因 222222111111coscosy