第5章 系统综合

1、现代控制理论第第5 5章章 线性定常系统综合线性定常系统综合邓晓刚邓晓刚中国石油大学（华东）中国石油大学（华东）信息与控制工程学院自动化系信息与控制工程学院自动化系Modern Control Theory: Chapter -5信息与控制工程学院信息与控制工程学院控制控制系统系统研究研究分析分析：对于一个具体的控制系统和已知的外部输入，：对于一个具体的控制系统和已知的外部输入，如何从理论上对它的如何从理论上对它的运动行为运动行为如状态运动规律、如状态运动规律、稳定性等，稳定性等，结构特性结构特性如能控性、能观测性等进行如能控性、能观测性等进行分析分析。 综合综合：给定系统方程，：给定系统方程

2、，根据对系统性能的要求，如根据对系统性能的要求，如何何确定确定系统的系统的外部输入外部输入即控制作用即控制作用，使系统的，使系统的性能能全面性能能全面满足技术要求。满足技术要求。通常控制作用取为通常控制作用取为反馈形式反馈形式。无论是抑制外部扰动的影。无论是抑制外部扰动的影响还是减少内部参数变动的影响，反馈控制都要远优越响还是减少内部参数变动的影响，反馈控制都要远优越于非反馈控制。于非反馈控制。 信息与控制工程学院信息与控制工程学院控制系统的综合问题控制系统的综合问题系统的综合问题由系统的综合问题由受控系统受控系统，性能指标性能指标和和控制输入控制输入三个要素组成。三个要素组成。 所谓所谓系统

3、综合系统综合，确定反馈形式的控制，确定反馈形式的控制u(t) ，使所导出闭环系统，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。对象对象目标目标手段手段CxytxxBuAxx0) 0(:00状态反馈输入：状态反馈输入：u (t) =Kx(t)+F (t)输出反馈输入：输出反馈输入：u (t) =Hy(t)+F (t)信息与控制工程学院信息与控制工程学院性能指标的类型性能指标的类型 性能指标性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种过程行为上的一种规定规定。非优化型性能指标非优化型性能指标 (不等

4、式型不等式型)优化性型能指标优化性型能指标(极值型极值型)（1）镇定问题）镇定问题（2）极点配置）极点配置（3）解耦控制）解耦控制（4）跟踪问题）跟踪问题dtJTT0)()(RuuQxxu常规综合常规综合最优综合最优综合信息与控制工程学院信息与控制工程学院研究综合问题的思路研究综合问题的思路建立可综合条件建立可综合条件建立控制规律的建立控制规律的“算法算法”工程实现中的一些理论问题工程实现中的一些理论问题（1）状态反馈物理构成问题）状态反馈物理构成问题（2）系统模型不准确性和参数摄动问题）系统模型不准确性和参数摄动问题（3）对外部扰动影响的抑制问题）对外部扰动影响的抑制问题控制规律的控制规律的

5、“算法算法”综合问题的综合问题的计算方法和步骤计算方法和步骤，适于适于编程编程，数值稳定性。数值稳定性。信息与控制工程学院信息与控制工程学院5.1 反馈反馈控制系统的基本结构控制系统的基本结构n无论在经典控制理论还是在现代控制理论中，反无论在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈都是系统设计的重要方式。馈都是系统设计的重要方式。n反馈的不同结构形式反馈的不同结构形式输出反馈输出反馈：经典控制理论用传递函数来描述系统，由经典控制理论用传递函数来描述系统，由输出的测量值与给定的输入量进行比较后确定闭环系输出的测量值与给定的输入量进行比较后确定闭环系统的控制规律。统的控制规律。状态反馈：状态反馈：现

6、代控制理论中用系统的内部状态变量来现代控制理论中用系统的内部状态变量来描述系统特性的，除了描述系统特性的，除了输出输出反馈外，通常采用反馈外，通常采用状态反状态反馈馈，即利用系统的全部状态变量作为反馈量。，即利用系统的全部状态变量作为反馈量。信息与控制工程学院信息与控制工程学院一、状态反馈一、状态反馈n设线性定常系统为设线性定常系统为 状态反馈控制律状态反馈控制律DuCxyBuAxx KxFvuK状态反馈阵状态反馈阵F输入变换阵输入变换阵xy信息与控制工程学院信息与控制工程学院闭环状态方程闭环状态方程DFvxDKCyBFvxBKAx)()(当当D=0 时时CxyBFvxBKAx)(传递函数为传

7、递函数为BFBKAsICsWFK1)()(,+ADCBF+K+vuxy信息与控制工程学院信息与控制工程学院若若F=I ，则闭环方程为，则闭环方程为CxyBvxBKAx)(传递函数传递函数BBKAsICsWK1)()(状态反馈可改变系统的极点。但是反馈的引入并不增加状态反馈可改变系统的极点。但是反馈的引入并不增加新的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。新的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。CxyBFvxBKAx)(闭环状态方程闭环状态方程信息与控制工程学院信息与控制工程学院二、输出反馈二、输出反馈n线性定常系统为线性定常系统为n输出反馈控制律输出反馈控制律DuCxyBuAx

8、x HyFvuH：输出反馈阵：输出反馈阵F：输入变换阵：输入变换阵v+ADCBFH+u信息与控制工程学院信息与控制工程学院v+ADCBFH+u()uFvHyFvH CxDux1() ()uIHDFvHCx信息与控制工程学院信息与控制工程学院DuCxyBuAxx 被控系统被控系统输出反馈输出反馈1() ()uIHDFvHCx闭环状态方程为闭环状态方程为FvHDIDxHCHDIDCHCxFvHDIDCxyFvHDIBxHCHDIBAHCxFvHDIBAxx111111)()()()()()()()(CxyBFvxBHCAx)(当当D=0 时时其传递函数为其传递函数为BFBHCAsICsWFH1)(

9、)(,信息与控制工程学院信息与控制工程学院若若F=I ，则闭环方程为，则闭环方程为CxyBvxBHCAx)(其传递函数为其传递函数为BBHCAsICsWH1)()(输出输出反馈反馈中中HC相当于状态反馈的相当于状态反馈的K，可改变系统的极点。可改变系统的极点。但由于输出维数不大于状态维数，所以但由于输出维数不大于状态维数，所以H的选择余地比的选择余地比K小，只相当于一部分状态的反馈，小，只相当于一部分状态的反馈，这说明状态反馈有可这说明状态反馈有可能获得比输出反馈更好的效果能获得比输出反馈更好的效果信息与控制工程学院信息与控制工程学院三、三、状态反馈、输出反馈对系统能控性和能状态反馈、输出反馈

10、对系统能控性和能观性的影响观性的影响n在在D=0，F=I 的条件下的条件下，系统状态描述，系统状态描述CxyBuAxx KxvuHyvuCxyBvxBKAx)(CxyBvxBHCAx)(状态反馈状态反馈输出反馈输出反馈信息与控制工程学院信息与控制工程学院定理定理1： 状态反馈不影响系统的能控性状态反馈不影响系统的能控性，不一定保持不一定保持系统的能观性系统的能观性定理定理2： 输出静态反馈可保持系统的能控性和能观性输出静态反馈可保持系统的能控性和能观性证明：根据系统能控能观性的判定条件进行证明。证明：根据系统能控能观性的判定条件进行证明。 教材教材 P191-193信息与控制工程学院信息与控制

11、工程学院5.2 SISO系统的极点配置系统的极点配置n控制系统的各种特性或各种品质指标，在很大程控制系统的各种特性或各种品质指标，在很大程度上是由系统的极点决定的度上是由系统的极点决定的n系统的综合系统的综合 方法方法之一，以在之一，以在s平面上给定一平面上给定一组组希希望的极点，通过状态反馈阵望的极点，通过状态反馈阵K的选择，使闭环系统的选择，使闭环系统的极点恰好处于希望的一组极点的位置上。这就的极点恰好处于希望的一组极点的位置上。这就是所谓是所谓极点配置极点配置问题。问题。n由于希望极点位置有任意性，因此极点的配置应由于希望极点位置有任意性，因此极点的配置应当做到具有任意性。当做到具有任意

12、性。信息与控制工程学院信息与控制工程学院一、极点配置问题描述一、极点配置问题描述给定连续线性时不变单输入受控系统给定连续线性时不变单输入受控系统BuAxx设计状态反馈或者输出反馈矩阵，设计状态反馈或者输出反馈矩阵，从而使得闭环系从而使得闭环系统的极点位置在期望极点位置统的极点位置在期望极点位置 。 1*, 2*, , n* v期望闭环极点组的性能指标属性期望闭环极点组的性能指标属性期望闭环极点组期望闭环极点组直观性能指标直观性能指标时间域：s%，ts频率域：Mr , r , c信息与控制工程学院信息与控制工程学院 基本类型性能指标和期望闭环极点组的主导极点对的关系2211,nnjss 期望闭环

13、极点组的确定工程型的性能指标2211,nnjssn-2个期望闭环极点Re(si) =(46)Re(s1) , i=3,4, n 1-InRe32n nsnpttes5 . 41%100%21/2信息与控制工程学院信息与控制工程学院二、状态反馈极点配置二、状态反馈极点配置n问题问题1：是否可采用状态反馈进行任意极点配置是否可采用状态反馈进行任意极点配置?定理定理：采用状态反馈对采用状态反馈对单输入单输出系统单输入单输出系统 0 0(A,b,c)进行任意进行任意极点配置极点配置的充分必要条件是的充分必要条件是原系统完全能控原系统完全能控。当系统不完全能控时，若不能控部分特征值属于期望闭当系统不完全

14、能控时，若不能控部分特征值属于期望闭环特征值环特征值 ，仍然能够配置系统的全部闭环极点，仍然能够配置系统的全部闭环极点n问题问题2：如何进行极点配置？如何进行极点配置？信息与控制工程学院信息与控制工程学院n极点配置算法极点配置算法1：（：（低阶系统情形，如低阶系统情形，如n 3）CxyBvxBKAx)(CxyBuAxx Kxvu假定线性反馈增益矩阵假定线性反馈增益矩阵K=k1,k2，, kn, 求出闭环特征求出闭环特征多项式多项式()( )sf sIA+BK根据给定的闭环极点根据给定的闭环极点 ，得到期望特征多项式，得到期望特征多项式*0*11*11*)()(asasasssfnnnnii*1

15、2,.,n根据根据 ，通过比较对应项系数求出反馈矩阵参数，通过比较对应项系数求出反馈矩阵参数*( )( )f sfs信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例 针对如下系统，设计状态反馈控制器，使得闭环系统的针对如下系统，设计状态反馈控制器，使得闭环系统的极点为极点为-2， -1+j， -1-j0100001002311000uy x =x+x解解： （1）首先判断系统的能控性）首先判断系统的能控性2001013137MBABA BRank(M)=3, 系统完全能控！系统完全能控！也可以直接根据能控标准I型判断系统能控性信息与控制工程学院信息与控制工程学院(2) 加入状态反馈阵加入状态反馈阵K=

16、k0 ，k1 ，k201200010( )()det000010023sf sssskkk IA+BK3210(3)(2)()sk sk sk Kxvu0100001002311000BuuyC x = Axx+xx(3) 期望闭环系统的极点为期望闭环系统的极点为-2， -1+j， -1-j*32( )(2)(1)(1)464fsssj sjsss 信息与控制工程学院信息与控制工程学院（4）根据）根据 ，比较对应项系数，比较对应项系数*( )( )f sfs3210( )(3)(2)()f ssk sk sk *32( )464fssss0124,4,1kkk 10y1xu2x3x-2-110

17、y1xu2x3x-2-11k0k2k信息与控制工程学院信息与控制工程学院极点配置算法极点配置算法2：在被控系统能控条件下，将状态空间描述化为能控标准在被控系统能控条件下，将状态空间描述化为能控标准I型型1110cnnnsIAsIAsasa saxcxcTyubxAbuTxATTxccccccc1111,1111nnncaaabAbbAT变换矩阵变换矩阵CxyBuAxx xTxc其中参数其中参数ai来自于开环特来自于开环特征多项式征多项式信息与控制工程学院信息与控制工程学院11011000001000010ncccaaaATTA1001bTbcc110,ncccTc能控标准能控标准I型型xcxc

18、TyubxAbuTxATTxccccccc11其中的参数矩阵其中的参数矩阵1110nncnsIAsIAsasa sa变换的目的在于：根据参数矩阵可以容易写出特征多项式变换的目的在于：根据参数矩阵可以容易写出特征多项式信息与控制工程学院信息与控制工程学院状态反馈控制器状态反馈控制器cccxA xb uyc xcuvKxvKT xvKxxcyvbxKbAxcccc)(能控标准能控标准I型型)()()(1000001000010111100nnckakakaKbA闭环控制系统闭环控制系统特征多项式特征多项式)()()()(0011111kaskaskasKbAsInnnncc110nkkkKcKTK

19、信息与控制工程学院信息与控制工程学院*0*11*11*)()(asasasssfnnnnii1cTKK根据期望闭环极点组：根据期望闭环极点组： 1*, 2*, , n* ，写出期望特征多项式，写出期望特征多项式1111100( )()nnccnnf ssIAb Ks(ak)s(ak )s(ak )1, 1 , 0*niaakiii与闭环特征多项式进行系数对比与闭环特征多项式进行系数对比得到结果得到结果反推原系统中状态反馈系数矩阵反推原系统中状态反馈系数矩阵110nkkkK信息与控制工程学院信息与控制工程学院v1x2x1n2n101nxnx1nk2nk1k0kF信息与控制工程学院信息与控制工程学

20、院极点配置算法极点配置算法Step1: 判别（判别（A，b）能控性）能控性Step2: 计算矩阵计算矩阵A特征多项式特征多项式 det(sI-A)=sn+ an-1sn-1+ a1s+ a0Step3: 由期望闭环特征值由期望闭环特征值 *1,n计算期望特征多项式计算期望特征多项式 *0*11*1*1*)()(asasasssfnnniniStep4: 计算计算*11*11*00,nnaaaaaaK11,1111nnncaaabAbbATStep5：计算能控规范性变换矩阵：计算能控规范性变换矩阵 Step6：计算：计算 Tc -1Step7：计算：计算 1cTKKStep8：完成计算：完成计算

21、 信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例 连续时间线性时不变状态方程为连续时间线性时不变状态方程为uxx0011210061000期望闭环极点为期望闭环极点为jj112*3*2*1计算状态反馈阵计算状态反馈阵K解：（解：（1）判断）判断 系统能控性：完全能控系统能控性：完全能控3200det()16018720112ssIAsssss a 0= 0，a1= 72，a2=18x1x2u1s1s+61s+12x3=y（2）计算矩阵）计算矩阵A特征多项式特征多项式 信息与控制工程学院信息与控制工程学院（3）计算由期望闭环极点组决定的特征多项式）计算由期望闭环极点组决定的特征多项式 464)1)(1

22、)(2()()(2331*sssjsjssssfiia0*= 4，a1*= 6，a2*=414,66, 4,*22*11*00aaaaaaK001011211872118720118001001016100101001,2122aaabAbbATc（4）计算）计算（5）计算能控规范性变换矩阵）计算能控规范性变换矩阵 信息与控制工程学院信息与控制工程学院14418112101001cT1220186,14144181121010014,66, 41cTKK721811210100cT（6）计算变换矩阵的逆阵）计算变换矩阵的逆阵 （7）计算状态反馈矩阵）计算状态反馈矩阵 信息与控制工程学院信息与控

23、制工程学院x1x2vu1s1s+614-18612201s+12x3=y信息与控制工程学院信息与控制工程学院状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响 结论：结论：对完全能控对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任意配置传递函数全部统，引入状态反馈任意配置传递函数全部n个极点的同时，个极点的同时，一般不影响其零点。一般不影响其零点。 注：实际上，通过状态反馈有可能将注：实际上，通过状态反馈有可能将W(s)的部分极点配置的部分极点配置为与为与W(s)的零点相重，构成零极点对消从而对零点产生影的零点相重，构成零

24、极点对消从而对零点产生影响。这也是对状态反馈不能保证能观测性的一个直观解释。响。这也是对状态反馈不能保证能观测性的一个直观解释。信息与控制工程学院信息与控制工程学院应用应用MATLAB求解极点配置问题求解极点配置问题 (A,B,C) u= Kx+vK=place(A,B,P)eig(A-B*K)指定的期望闭环极点组：指定的期望闭环极点组：P= 1*, 2*, , n* 检验K=acker(A,B,P)当系统维数n10,可能会有数值可靠性问题信息与控制工程学院信息与控制工程学院三、输出反馈极点配置三、输出反馈极点配置定理：定理：对完全能控对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统维单输

25、入单输出连续时间线性时不变受控系统 CxyBuAxx采用输出反馈采用输出反馈 u=v+Hy，只能使用闭环系统极点配置到根，只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外的位置上。轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外的位置上。 信息与控制工程学院信息与控制工程学院 通过合理选取补偿器结构和特性，可对带补偿通过合理选取补偿器结构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行器输出反馈系统的全部极点进行任意任意配置。配置。 BCAx xyu并联补偿器并联补偿器串联补偿器串联补偿器 状态观测器是一种动态补偿器状态观测器是一种动态补偿器信息与控制工程学院信息与控制工程学院5.3 系统镇定问

26、题系统镇定问题状态镇定问题状态镇定问题对给定时间线性时不变受控系统，对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型控制律找到一个状态反馈型控制律 vKxu使所导出的状态反馈型闭环系统为渐近稳定，即系统闭使所导出的状态反馈型闭环系统为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。环特征值均具有负实部。BvxBKAx镇定问题是极点配置问题的一种特殊情形，只要求闭环镇定问题是极点配置问题的一种特殊情形，只要求闭环极点配置在左半极点配置在左半S平面平面 0,)0(0txxBuAxx，信息与控制工程学院信息与控制工程学院状态反馈可镇定条件状态反馈可镇定条件n连续时间线性时不变系统可采用状态反馈镇定的连续时间

27、线性时不变系统可采用状态反馈镇定的充要条件是系统不能控部分为为渐近稳定。充要条件是系统不能控部分为为渐近稳定。 n连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个个充分充分条件是系统完全能控。条件是系统完全能控。 信息与控制工程学院信息与控制工程学院假定系统已经按能控性进行分解成如下形式：假定系统已经按能控性进行分解成如下形式：001221211BBAAAA设状态反馈阵为设状态反馈阵为K=K1, K2 ，则闭环系统的，则闭环系统的系统矩阵系统矩阵22211211110AKBAKBABKA其特征多项式为其特征多项式为22211111)()(AsIKBAsIB

28、KAsIsfK能控子空间，能控子空间，可极可极点配置点配置使之稳定使之稳定不能控子空间，不能控子空间，必须是稳定的必须是稳定的信息与控制工程学院信息与控制工程学院状态反馈镇定算法状态反馈镇定算法：Step1 判断(A,B)能控性，若完全能控，去Step4。Step2 对(A,B)按能控性分解Step3 对能控部分进行极点配置Step4 计算镇定状态反馈矩阵Step5 完成计算。从极点配置角度确定镇定状态反馈矩阵信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例分析如下系统分析如下系统是否可状态反馈镇定的是否可状态反馈镇定的uxx111320410412解解：2rank311131131MM所以原系统不完

29、全能控001,2000210502/022110310,011031131111bRARRRRccccc不能控子空间稳定信息与控制工程学院信息与控制工程学院5.4 系统解耦问题系统解耦问题n解耦控制是在系统控制理论中得到广泛研究的重解耦控制是在系统控制理论中得到广泛研究的重要问题。要问题。n 现代化的工业生产装置，往往被控制的参数较多现代化的工业生产装置，往往被控制的参数较多，要求要设置多个控制回路去控制这些参数。，要求要设置多个控制回路去控制这些参数。n然而，这些回路常常会发生相互耦合、相互影响然而，这些回路常常会发生相互耦合、相互影响，使系统的性能变差、难于控制，甚至系统无法，使系统的性能

30、变差、难于控制，甚至系统无法正常工作。正常工作。信息与控制工程学院信息与控制工程学院)()()()()()()()()()()()()()()(2121222211121121sUsUsUsWsWsWsWsWsWsWsWsWsYsYsYmmmmmmmm目标：目标：寻求控制律，使输入输出相互关联的多变量系统寻求控制律，使输入输出相互关联的多变量系统实现每一个输出仅受一个输入所控制，每一个输入仅能实现每一个输出仅受一个输入所控制，每一个输入仅能控制一个输出。这样的问题为控制一个输出。这样的问题为解耦问题解耦问题)()()()(000)(000)()()()(21221121sUsUsUsWsWsW

31、sYsYsYmmmm原系统原系统解耦后系统解耦后系统关键：（关键：（1）能解耦的条件）能解耦的条件 （2）解耦控制律和结构）解耦控制律和结构信息与控制工程学院信息与控制工程学院一、前置补偿器解耦一、前置补偿器解耦)()()(0sWsWsWdW0(s)Wd(s)vuy被控对象前置补偿器补偿后系统的传递函数矩阵补偿后系统的传递函数矩阵)(000)(000)()(2211sWsWsWsWmm)()()(10sWsWsWd)(10sW只要存在只要存在可求出补偿器的传递函数矩阵可求出补偿器的传递函数矩阵要求要求Wd(s)的每个元素都是可实现的的每个元素都是可实现的!信息与控制工程学院信息与控制工程学院二

32、、状态反馈解耦二、状态反馈解耦n设多输入多输出连续时间线性时不变系统设多输入多输出连续时间线性时不变系统BAsICsWCxyBuAxx10)()(采用包含采用包含输入变换输入变换的的状态反馈状态反馈uBCAKx xvyFumyu dimdimvFxKummnm0detF三点基本假设三点基本假设信息与控制工程学院信息与控制工程学院则系统状态空间描述为：则系统状态空间描述为： BFBKAICCxyBFvxBKAx1ssWKF动态解耦控制：寻找输入变换动态解耦控制：寻找输入变换 mmRF和状态反馈矩阵和状态反馈矩阵 nmRK使得所导出的闭环使得所导出的闭环 011sWsWsWsWiimmKF传递函数

33、矩阵为传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵非奇异对角有理分式矩阵 信息与控制工程学院信息与控制工程学院动态解耦的实质是把一个动态解耦的实质是把一个m维输入维输入m维输出的耦合维输出的耦合系统，通过设计当的系统，通过设计当的F,K，化为，化为m个独立的个独立的单输入单输入单输出单输出系统；系统；动态解耦综合的两个基本问题：可解耦条件和可解动态解耦综合的两个基本问题：可解耦条件和可解耦算法；耦算法；可以解耦的可以解耦的F,K是不唯一的，可同时满足极点配是不唯一的，可同时满足极点配置要求；置要求；解耦控制对于解耦控制对于过程控制过程控制有着重要意义和广泛应用。有着重要意义和广泛应用。信息与控制工程学

34、院信息与控制工程学院5.5 状态观测器状态观测器n为什么要设计状态观测器为什么要设计状态观测器基于极点配置的控制方法离不开状态反馈基于极点配置的控制方法离不开状态反馈然而状态变量通常是不能全部测量得到的，有些状态然而状态变量通常是不能全部测量得到的，有些状态变量（经过状态变换）并不与实际物理变量相对应变量（经过状态变换）并不与实际物理变量相对应nLuenberger提出的状态观测器理论解决了状态重提出的状态观测器理论解决了状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。状态重构或状态观测状态重构或状态观测根据系统的输入根据系统的输入u和输出和输出y，得

35、到系统状态变量得到系统状态变量x的观测值的观测值 状态观测器状态观测器。噪声状态下的状态观测问题噪声状态下的状态观测问题 ：卡尔曼滤波技术：卡尔曼滤波技术x 信息与控制工程学院信息与控制工程学院一、状态观测器的定义一、状态观测器的定义n考虑线性定常系统考虑线性定常系统其状态变量其状态变量x不能直接检测。不能直接检测。n如果构造一动态系统：如果构造一动态系统：利用原系统可直接量测的变量利用原系统可直接量测的变量 u和和 y作输入，产生一组输作输入，产生一组输出出 ，使得，使得 该系统称为一个状态观测器该系统称为一个状态观测器CxyBuAxx )( tx)(lim)( limtxtxtt( )(

36、( ), ( )x tf u ty t信息与控制工程学院信息与控制工程学院二、状态观测器的存在性二、状态观测器的存在性n状态观测器的存在定理状态观测器的存在定理对于线性定常系统对于线性定常系统 0 0(A, B, C)，状态观测器存在的充要，状态观测器存在的充要条件是条件是 0 0的不能观子空间为渐近稳定的。的不能观子空间为渐近稳定的。证明过程：略，教材证明过程：略，教材P211信息与控制工程学院信息与控制工程学院三、状态观测器的实现三、状态观测器的实现n状态观测器可实现定理：状态观测器可实现定理：若线性定常系统若线性定常系统 0 0(A, B, C)完全能观完全能观，则其状态向量可，则其状态

37、向量可由系统的输入由系统的输入u和输出和输出y进行重构。进行重构。设线性定常系统设线性定常系统CxyBuAxx 设计出一个相同结构的系统观测状态设计出一个相同结构的系统观测状态 xAxBuyCx其中其中x 为状态的估计值为状态的估计值 CBACBAuxyyx开环状态观测器结构图开环状态观测器结构图CxyBuAxx xAxBuyCx)()( )(00 xxetxtxAt()()xxA xx)()( )(00 xxetxtxAt00 xx 1) 若若则则)()( txtx2) 当当00 xx 若若A的特征值都具有负实部，则有的特征值都具有负实部，则有0)( )(limtxtxt3)当系统当系统 0

38、 0(A, B, C)不是稳定系统时，上述方案不是稳定系统时，上述方案不能实现。实际上由于模型参数不准确，噪声和不能实现。实际上由于模型参数不准确，噪声和干扰也难以一致，上述开环观测器存在严重问题。干扰也难以一致，上述开环观测器存在严重问题。 信息与控制工程学院信息与控制工程学院CBAGCyxuGCBAyxu 输出到输出到x导数的反馈导数的反馈BuxGCAxxCyyGBuxAx)(信息与控制工程学院信息与控制工程学院BuxGCAxxCyyGBuxAx)(系统的闭环状态方程系统的闭环状态方程合理选择合理选择G可以改变闭环系统的特征值，影响系统的特性。可以改变闭环系统的特征值，影响系统的特性。结论

39、结论：1. 输出到输出到x导数反馈可任意配置系统极点的充要条件是：导数反馈可任意配置系统极点的充要条件是：系统系统(A, C)完全能观。完全能观。2. 输出到输出到x导数反馈可使系统镇定的充要条件是系统的不导数反馈可使系统镇定的充要条件是系统的不能观子空间是渐近稳定的。能观子空间是渐近稳定的。3. 输出到输出到x导数的反馈不改变系统的能观性。导数的反馈不改变系统的能观性。信息与控制工程学院信息与控制工程学院把可量测的把可量测的y及及 的差值乘以适当的加权矩阵的差值乘以适当的加权矩阵G进行反馈进行反馈y ) (yyGBuxAxCBAGCBAuxyyx输出估计误差到输出估计误差到x导数的反馈导数的

40、反馈观测器方程为观测器方程为 有利于消除干扰和参数的变化有利于消除干扰和参数的变化信息与控制工程学院信息与控制工程学院()xAxBuG yyyCxCBAGBA GCuxyx()xAGC xBuGy信息与控制工程学院信息与控制工程学院只要适当地选择只要适当地选择G，使的，使的A-GC特征值具有负实部，则有特征值具有负实部，则有 0)( )(lim)(limtxtxtxttxGCAxxGCAxxGCxxAyyGxAAxxxx)() )() () () (xAxBuyCx)()( )()(00)(xxetxtxtxtGCA()xAxBuG yyyCx原系统原系统观测系统观测系统观测误差观测误差观测误

41、差的导数观测误差的导数关键在于合理设计矩阵关键在于合理设计矩阵G信息与控制工程学院信息与控制工程学院四、反馈矩阵四、反馈矩阵G的设计的设计n全维观测器全维观测器观测器的维数和原系统的维数相同观测器的维数和原系统的维数相同n全维观测器的设计，实际上在于合理选择全维观测器的设计，实际上在于合理选择G阵，阵，使使A-GC的特征值具有负实部，保证观测误差为的特征值具有负实部，保证观测误差为0G的选择应保证特征值负实部的绝对值足够大，使观测的选择应保证特征值负实部的绝对值足够大，使观测误差快速趋于误差快速趋于0，但是又不能使得观测器频带太宽，以，但是又不能使得观测器频带太宽，以便具有一定的抗高频干扰的能

42、力。便具有一定的抗高频干扰的能力。当系统不完全能观时，仍可设计状态观测器，但是当系统不完全能观时，仍可设计状态观测器，但是G阵阵将不能决定观测误差趋于零的速度将不能决定观测误差趋于零的速度信息与控制工程学院信息与控制工程学院设计全维观测器步骤如下：设计全维观测器步骤如下：(1)判别系统的能观性；判别系统的能观性；(2)若系统能观，化为能观标准若系统能观，化为能观标准II型型；xTxo设线性定常系统观测器设线性定常系统观测器xCyyyGBuxAx) (100011101onnooCTCaIaaATTA信息与控制工程学院信息与控制工程学院(3)计算能观标准型的观测器反馈矩阵计算能观标准型的观测器反

43、馈矩阵G 110ngggG观测器系统矩阵为观测器系统矩阵为11011100000000nnngggaIaaCGA)()()(11111000nnngaIgaga特征多项式特征多项式 0011111)()()()(gasgasgasCGAsIsfnnnn信息与控制工程学院信息与控制工程学院根据希望的观测器极点根据希望的观测器极点 1*, 2*, , n* ，得到希望的特，得到希望的特征多项式征多项式*0*11*11*)()(asasasssfnnnnii比较两式系数得比较两式系数得 ) 1, 2 , 1 , 0(*niaagiii(4)求原系统的观测反馈矩阵求原系统的观测反馈矩阵 GTGo(6)

44、画出观测器的结构图。画出观测器的结构图。 (5)得到观测器方程得到观测器方程 GyBuxGCAx)(信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例 设系统动态方程为设系统动态方程为 求它的状态观测器，并使观测器的极点为求它的状态观测器，并使观测器的极点为-10、-10解解 1）判此系统的能观性）判此系统的能观性2rank0212NCACN所以系统能观所以系统能观xyuxxxx121100012121信息与控制工程学院信息与控制工程学院2）化原系统为能观标准型）化原系统为能观标准型 012/12/1,1210021201110110, 1001det)det(11012ooTCACaTaassssAs

45、I1011110011ooooCTCBTBATTA求得求得信息与控制工程学院信息与控制工程学院3）求观测）求观测器反馈器反馈阵阵G 由观测器的希望极点，得由观测器的希望极点，得期望的观测器期望的观测器特征方程特征方程100,2010020)10()(*0*122aassssf10ggG观测观测器反馈器反馈阵阵)()1()(det012gsgsCGAsI211001*110*00aagaag信息与控制工程学院信息与控制工程学院4）求原系统的观测反馈矩阵求原系统的观测反馈矩阵 1005 .6021100012/12/1GTGo5）得到观测器方程得到观测器方程 yuxGyBuxGCAx1005 .6

46、0111002005 .60120)() (1005 .60110001) (yyuxyyGBuxAx或或信息与控制工程学院信息与控制工程学院0(A, B, C)21160.5100uyyx1x2 6）画出观测器的结构图。画出观测器的结构图。 信息与控制工程学院信息与控制工程学院当系统的维数较低时，也可以不通过能观标准型，当系统的维数较低时，也可以不通过能观标准型，直接通过特征多项式比较系数得直接通过特征多项式比较系数得G。110ngggG)()()()()(0111gasgasgasGCAsIsfnnn*0*11*11*)()(asasasssfnnnnii) 1, 2 , 1 , 0()(

47、*niagaii信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例 设系统动态方程为设系统动态方程为 xyuxx02103210试设计一个状态观测器，其中观测器极点为试设计一个状态观测器，其中观测器极点为-10，-10。解：解： 01ggG ；226)32()(3221202321010021010ggsgsGCAsIggggGCA希望的特征多项式希望的特征多项式 10020)10()(22*ssssf观测器的极点即为矩阵观测器的极点即为矩阵A-GC的特征值，假设的特征值，假设信息与控制工程学院信息与控制工程学院5 .235 . 8G观测器方程观测器方程 ()xAGC xBuGyyuxx5 .235 .

48、 810349117s1s1s1s110 x21xy1x 2x20 x2x u2320 x2 x1 x10 x21 x2 x325 . 85 .23- - -比较对应项系数比较对应项系数2001(23)622sgsgg220100ss可以得到可以得到信息与控制工程学院信息与控制工程学院s1s1s1s110 x21xy1x 2x20 x2x u2320 x2 x1 x10 x21 x2 x325 . 85 .23- - -原系统及其状态观测器结构图如下原系统及其状态观测器结构图如下 01023120 xxuyx yuxx5 .235 . 810349117信息与控制工程学院信息与控制工程学院五、

49、降维观测器五、降维观测器n线性定常系统线性定常系统ny中已包含中已包含x的信息，的信息，y可量测出，故可构造维数低于状态可量测出，故可构造维数低于状态维数的观测器，即维数的观测器，即降维观测器降维观测器。最小维数为。最小维数为(n-m).n已知条件：已知条件：A,B,C,rankC=m,A,C能观能观mCCxytxxBuAxx输出的维数rank0,)0(,0信息与控制工程学院信息与控制工程学院n降维观测器设计思路：降维观测器设计思路：（1）利用线性变换对系统进行分解，将需要重构的未）利用线性变换对系统进行分解，将需要重构的未知状态知状态 分离出来；分离出来；（2）针对未知状态设计观测器）针对未

50、知状态设计观测器xTx 21212122211211210 xxIyuBBxxAAAAxxxAxBuyCx1x信息与控制工程学院信息与控制工程学院1：系统分解：系统分解, 建立建立n-m维子系统动态方程维子系统动态方程 设设ARnn，BRnr，CRmn，系统（，系统（A、B、C）能观测，令：）能观测，令：1001CCTmmnCCT为一个为一个nn矩阵，矩阵，C0的选择应使的选择应使T可逆可逆.xTx ICTCBBBTBAAAAATTA0211222112111系统的状态方程为系统的状态方程为 取线性变换取线性变换 信息与控制工程学院信息与控制工程学院21212122211211210 xxIy

51、uBBxxAAAAxx2x可直接有可直接有y 提供，只须估计提供，只须估计 1x21212222212121111xyxAuBxAxuBxAxAx2：降维观测器设计：降维观测器设计 系统完全能观系统完全能观22222121212121111xyuBxAxAxuBxAxAx信息与控制工程学院信息与控制工程学院方程改写为 uByAyuBxAxzuByAuBxAM222222221121212故降维观测器方程为 yGuBGByAGAxAGAzGMxAGAx)()()()(212212121111211112222221111xyuBxAxxAx1211212xAuBxA出现出现y的导数项的导数项实现

52、上困难实现上困难yGuBGByAGAxAGAzGMxAGAx)()()()(212212121111211111211111xAzMxAx信息与控制工程学院信息与控制工程学院为消去方程中为消去方程中y的导数项，令的导数项，令 yGwxyGxw11yGwxyGAGAAGAuBGBwAGAw)()()(121112212212111这是一个这是一个n-m维观测器维观测器yIGwIyyGwxxx021而系统原状态向量而系统原状态向量x的估计值为的估计值为 xTx 整个状态向量的估计值为：整个状态向量的估计值为：信息与控制工程学院信息与控制工程学院uBxAMxAz1212121uBxAxAx12121

53、1113： 阵的选择阵的选择 12111111211112111121211111)()()(xAGAxxxAGAzGMxAGAuBxAxAxx通过通过 阵的选择，使阵的选择，使 )(2111AGA 的极点任意配置的极点任意配置)(11xx 2x直接有y提供，不存在估值误差。 极点的位置决定误差向量极点的位置决定误差向量 衰减到零的速率衰减到零的速率GGzGMxAGAx121111)(信息与控制工程学院信息与控制工程学院降维观测器的结构图降维观测器的结构图CBATuxy1xyx 22111AGA 21BGB 2212AGA G1xw 1Tx 信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例：已知系统：

54、已知系统xyuxx111011131413121211444试构造一降维观测器，观测器极点为试构造一降维观测器，观测器极点为-3, -4解：系统完全能观测解：系统完全能观测 令令 1110100011110100011TT100011511120140011CTCBTBATTA信息与控制工程学院信息与控制工程学院降维观测器的特征值为降维观测器的特征值为-3, -412122111)()()(gsggsAGAsIsfyuwwyGAGAAGAuBGBwAGAw6014011561212)()()(2111221221211121ggG010011A1121A127)4)(3()(2*sssssf5

55、1221ggG信息与控制工程学院信息与控制工程学院ywyIGwIxxx1005101201021原系统状态向量估计值为 ywwywxTx21611510120110051012011110100015612126115101201(A,B,C)6014011ux yw 降维观测器的结构图信息与控制工程学院信息与控制工程学院应用MATLAB配置观测器极点配置观测器极点根据对偶原理，可以用根据对偶原理，可以用MATLAB极点配置函数极点配置函数配置观测器的极点。配置观测器的极点。 (A,B,C)完全能观完全能观Gt=place(A,C,P)Gt=acker(A,C,P)G=Gteig(A-G*C)指定的期望观测器极点组：指定的期望观测器极点组：P= 1*, 2*, , n* 检验信息与控制工程学院信息与控制工程学院5.6利用观测器实现状态反馈利用观测器实现状态反馈n系统的结构与状态空间表达式系统的结构与状态空间表达式设设能控又能观的系统为能控又能观的系统为CxyBuAxx 状态观测器状