第6章气体动理论

1、第二篇 热学热学的研究对象：由大量微观粒子（原子、分子等）热学的研究对象：由大量微观粒子（原子、分子等）所构成的物质系统，称为所构成的物质系统，称为热力学系统热力学系统（系统）（系统）热学的内容划分：热学的内容划分：热学分为热学分为气体动理论气体动理论和和热力学热力学。气体动理论：应用气体动理论：应用统计统计的方法推求系统的方法推求系统宏观量宏观量与与微观微观量统计平均值量统计平均值之间的关系。研究的是某一个之间的关系。研究的是某一个状态状态。热力学：从热力学：从能量能量出发，以大量实验观测为基础来研究出发，以大量实验观测为基础来研究物质的热运动的物质的热运动的宏观宏观基本规律及其应用。研究的

2、是变基本规律及其应用。研究的是变化化过程过程中的规律。中的规律。热学的研究内容：热现象的热学的研究内容：热现象的宏观特征宏观特征及其及其微观本质微观本质。第六章第六章 气体动理论气体动理论研究对象：理想气体研究对象：理想气体研究方法：统计方法研究方法：统计方法研究内容：研究大量气体分子的热运动规律研究内容：研究大量气体分子的热运动规律及其微观模型解释。及其微观模型解释。 一、平衡态：一、平衡态：1、状态与过程：、状态与过程：2、平衡态：系统在不受外、平衡态：系统在不受外界影响的条件下，宏观性界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态。质不随时间变化的状态。3、平衡态的特点：、平衡态的特点：平衡

3、态是实际情况的一种平衡态是实际情况的一种抽象和近似。抽象和近似。是一种热动平衡。是一种热动平衡。第一节第一节 理想气体的物态方程理想气体的物态方程 不受外界影响：既不做功不受外界影响：既不做功也不传热。也不传热。二、气体的状态参量二、气体的状态参量1、体积体积V ：宏观上讲体积表示容器的容积。微观上看：宏观上讲体积表示容器的容积。微观上看是容器中分子所能够到达的区域。是容器中分子所能够到达的区域。单位是立方米。单位是立方米。2、压强压强P ：宏观上看，压强表示容器内的气体对容器：宏观上看，压强表示容器内的气体对容器壁单位面积上的压力。微观上看，压强表示容器内分壁单位面积上的压力。微观上看，压强

4、表示容器内分子热运动对容器壁单位面积上的平均冲力。子热运动对容器壁单位面积上的平均冲力。单位：帕斯卡。单位：帕斯卡。 1标准大气压标准大气压=1.013105Pa。3、温度温度T ：宏观上看，温度表示系统的冷热程度。微：宏观上看，温度表示系统的冷热程度。微观上看，表示气体热运动的剧烈程度。观上看，表示气体热运动的剧烈程度。国际单位是：开尔文（国际单位是：开尔文（K）。）。宏观上描写气体状态的参量有如下三个：宏观上描写气体状态的参量有如下三个：三、理想气体物态方程：三、理想气体物态方程：1、理想气体的定义：严格遵守玻意尔定律、盖、理想气体的定义：严格遵守玻意尔定律、盖-吕萨克定律、查里定律的气体

5、叫理想气体。吕萨克定律、查里定律的气体叫理想气体。2、理想气体平衡态的状态方程（克喇伯龙方程）、理想气体平衡态的状态方程（克喇伯龙方程）:RTpV其中其中R为普适气体常数为普适气体常数118.31RJ molKAmolNNMM为气体的物质的量为气体的物质的量123mol1002. 6ANAN为阿伏加德罗常数为阿伏加德罗常数3、状态方程的其他形式：、状态方程的其他形式：VNn 分子数密度分子数密度RTNNpVA nkTTNRVNp A玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数123KJ1038. 1kANRk 第二节第二节 理想气体平衡态的压强与温度公式理想气体平衡态的压强与温度公式一、理想气体的微观模型：一、理

6、想气体的微观模型：2、分子本身的大小与分子间平均距离相比可以、分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不计，分子可以看成是忽略不计，分子可以看成是质点质点。3、除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽、除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计。因此在两次碰撞之间分子的运动可以略不计。因此在两次碰撞之间分子的运动可以当作当作匀速直线运动匀速直线运动。 气体分子与分子之间的碰气体分子与分子之间的碰撞以及分子与容器壁之间的碰撞可以看作是撞以及分子与容器壁之间的碰撞可以看作是完完全弹性碰撞全弹性碰撞。总之，理想气体可看作是总之，理想气体可看作是一群彼此间无相互作用一群彼此间无相互作用的无规运动的弹

7、性质点的集合。的无规运动的弹性质点的集合。1、分子永不停息地作无规则运动。、分子永不停息地作无规则运动。二、平衡态的统计假设二、平衡态的统计假设等几率原理等几率原理1、理想气体处于平衡态时，分子出现在容器、理想气体处于平衡态时，分子出现在容器内各处的几率相等。即分子数密度处处相等，内各处的几率相等。即分子数密度处处相等，具有具有分布的空间均匀性分布的空间均匀性。2、分子朝各个方向运动的几率相等，具有、分子朝各个方向运动的几率相等，具有运动运动的各向同性的各向同性。0, 0zyxvvvv0222zyxvvv推论：分子沿各个方向运动的速度分量的各种平推论：分子沿各个方向运动的速度分量的各种平均值应

8、该相等。均值应该相等。NvvvvNizyixzyx12),(2222222222zyxzyxvvvvvvv32222vvvvzyx结论：速度分量的方均值等于速度平方的平均值结论：速度分量的方均值等于速度平方的平均值的三分之一。的三分之一。三、压强公式：三、压强公式：1、压强的微观解释（伯努利）、压强的微观解释（伯努利） ：大量气体分：大量气体分子单位时间内给予器壁单位面积上的平均冲力。子单位时间内给予器壁单位面积上的平均冲力。2、推导过程：、推导过程：一次碰撞给予一次碰撞给予A的冲量为：的冲量为：ixmv2碰撞前的速度碰撞前的速度 iziyixvvv,碰撞后的速度碰撞后的速度 iziyixvv

9、v,l1l2l3vAviximxyzl1l2l3mviAixvl /21-单位时间内该分子给予单位时间内该分子给予A冲量：冲量：12122lmvlvmvixixix-N个分子在单位时间给予个分子在单位时间给予A的总冲量：的总冲量：NiNiixixvlmlmv121112- 分子在容器中分子在容器中x方向来回做速度方向来回做速度为为 的匀速运动，假设在这期间的匀速运动，假设在这期间没有与其它分子碰撞，与没有与其它分子碰撞，与A发生的发生的两次相邻碰撞的时间间隔（周期）两次相邻碰撞的时间间隔（周期）iixv-单位时间内给予单位时间内给予A的冲量即平均冲力：的冲量即平均冲力：NiixvlmF1212

10、1xvNlm321vNlm-压强：压强：32123ll lvmNSFp22313vnmVvmNtEn32此即是此即是理想气体的压强公式理想气体的压强公式l1l2l3mviAtEnp32 由理想气体的压强公式，可以看出压强取决由理想气体的压强公式，可以看出压强取决于于分子的数密度分子的数密度和分子和分子平均平动动能平均平动动能。 理想气体的压强公式适用于由大量分子构成理想气体的压强公式适用于由大量分子构成的系统。且与容器的形状无关。的系统。且与容器的形状无关。理想气体的压强公式理想气体的压强公式221122tEmvmv四、温度公式：四、温度公式：kTEt23温度公式温度公式 上式表明：上式表明：

11、温度是分子无规则热运动剧烈程温度是分子无规则热运动剧烈程度的反映度的反映，并且只具有统计意义，即只有当组，并且只具有统计意义，即只有当组成系统的分子数目很大时，温度才具有意义。成系统的分子数目很大时，温度才具有意义。几个分子构成的系统，温度是没有意义的。几个分子构成的系统，温度是没有意义的。nkTp 由理想气体的物态方程由理想气体的物态方程tEnp32及理想气体的压强公式及理想气体的压强公式第三节第三节 能量均分定理和理想气体的内能能量均分定理和理想气体的内能一、自由度一、自由度 1、自由度的定义：确定一个物体的位置所需要、自由度的定义：确定一个物体的位置所需要的独立坐标数，叫该物体的的独立坐

12、标数，叫该物体的自由度自由度。飞机（看成质点）在天空飞行，自由度为飞机（看成质点）在天空飞行，自由度为3；轮船（看成质点）在大海中航行，自由度为轮船（看成质点）在大海中航行，自由度为2；火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为1；结论：物体受到的约束越多结论：物体受到的约束越多,自由度就越小。自由度就越小。2、单原子气体分子的自由度：、单原子气体分子的自由度：i=33、刚性刚性双原子气体分子的自由度：双原子气体分子的自由度：xyz325itr 3个平动自由度（个平动自由度（t）和）和2个转动自由度（个转动自由度（r）。）。4、刚性多原子气体分子的自由度：、刚

13、性多原子气体分子的自由度：33itr 3个平动自由度和个平动自由度和3个转动自由度。个转动自由度。xyz二、能量按自由度均分定理二、能量按自由度均分定理1、分子的平均平动动能、分子的平均平动动能2222222212121)(2121zyxzyxtvmvmvmvvvmvmE根据平均平动动能的定义可知：根据平均平动动能的定义可知：由于由于222zyxvvv222232323zyxtvmvmvmE得得kTvmvmvmzyx21212121222表明：当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动表明：当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度平均分得自由度平均分得 的能量。的能量。kT21kTEt23由理

14、想气体的温度公式：由理想气体的温度公式：222232323zyxtvmvmvmE与与 比较得：比较得：2、平动自由度均分的能量、平动自由度均分的能量3、能量按自由度均分定理、能量按自由度均分定理 当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度和每个转动自由度平均分得的能量为度和每个转动自由度平均分得的能量为 。kT21分子的平均动能：分子的平均动能：rrtikTiE32三、理想气体平衡态的内能：三、理想气体平衡态的内能：1、内能的定义：系统中热运动能量的总和，叫、内能的定义：系统中热运动能量的总和，叫系统的内能。用系统的内能。用E表示。表示。 由于热运动

15、在微观上看是分子的机械运动。由于热运动在微观上看是分子的机械运动。所以系统的内能就是系统内分子的动能和势能之所以系统的内能就是系统内分子的动能和势能之和。即：和。即：pkEEE 由于任何物体的热运动是不可能停止的，所由于任何物体的热运动是不可能停止的，所以内能不可能为零。热力学温度不能达到零度，以内能不可能为零。热力学温度不能达到零度，只能接近零度。只能接近零度。 由于理想气体平衡态分子之间只有在碰撞时才由于理想气体平衡态分子之间只有在碰撞时才有相互作用，因此有相互作用，因此没有考虑分子之间的势能存在没有考虑分子之间的势能存在；而且而且没有考虑原子间的振动没有考虑原子间的振动；所以系统的内能只

16、与；所以系统的内能只与分子的平均平动动能和平均转动动能相关。分子的平均平动动能和平均转动动能相关。2iENENkT02iNkT2、理想气体平衡态的内能、理想气体平衡态的内能 在平衡态下，能量按自由度均分，所以理想在平衡态下，能量按自由度均分，所以理想气体内能为：气体内能为：pViE2或或2iRT例例1. 一容器内贮有理想气体氧气，压强一容器内贮有理想气体氧气，压强p1.00atm，温，温度度t27.0，体积，体积V2.00m3。求：。求：（1）氧分子的平均平动动能；）氧分子的平均平动动能；（2）氧分子的平均转动动能；）氧分子的平均转动动能；（3）氧分子的内能。）氧分子的内能。解：解：氧分子为双

17、原子分子，自由氧分子为双原子分子，自由度度i5，其中，平动自，其中，平动自由度由度t3，转动自由度，转动自由度r2。由能量均分定理和理想气。由能量均分定理和理想气体的内能公式，可得体的内能公式，可得：2253(1)3.88 10 eV22(2)2.59 10 eV2(3)5.07 10 J22trEkTEkTiiERTpV例题例题2、1摩尔温度为摩尔温度为T1氢气与氢气与2摩尔温度为摩尔温度为T2氦气混合氦气混合后的温度为多少？后的温度为多少？解：解：混合前后内能相等就可以求解此题混合前后内能相等就可以求解此题。氢气的自由度为氢气的自由度为5，氦气的自由度为，氦气的自由度为3，则混合前的总内，

18、则混合前的总内能为：能为：2122325RTRTE前设混合后温度为设混合后温度为T，则混合后的总内能为：，则混合后的总内能为：RTRTE22325后混合前后内能相等，则有：混合前后内能相等，则有：116521TTT一、分子的速率分布一、分子的速率分布1. 离散分布离散分布第四节第四节 分子速率分布分子速率分布 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律年龄年龄人数人数/总人数总人数18 19 20 21 222. 速率分布函数速率分布函数vf（v）v v+dv)(vfvdvNdN即即dvvfNdN)( 在平衡态下，设分子总数为在平衡态下，设分子总数为N，速率在，速率在vv+dv区间区间的分子数为的分

19、子数为dN个，那么个，那么 表示：表示：NdN速率在速率在vv+dv区间的分子数占总分子数的比率。区间的分子数占总分子数的比率。或一个分子速率处于或一个分子速率处于vv+dv区间的概率。区间的概率。 称为分子的速率分布函数速率分布函数。其物理意义是：在速率在速率v附近，单位速率区间内的分子附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的比率数占总分子数的比率。或一个分子速率出现在一个分子速率出现在v附近单位速率区间内的概率附近单位速率区间内的概率。)(vf)(vf所以 也称为分子速率分布的概率密度速率分布的概率密度。 NdvdNvf)( 得vf（v）v v+dv由dvvfNdN)(dNNNNv1到到v

20、2速率区间内的分子数速率区间内的分子数占总分子数的比率占总分子数的比率。21( )vvNf v dv v1到到v2速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。0( )f v dv速率分布函数必须满足的速率分布函数必须满足的归归一化一化条件。即函数曲线下的条件。即函数曲线下的面积恒等于面积恒等于1。3、关于速率分布函数的几点重要讨论：、关于速率分布函数的几点重要讨论：vf（v）NdvdNvf)(v1v2dNN 21( )vvf v dv 1dNN二、统计平均速率二、统计平均速率关于平均值的计算关于平均值的计算1 12212.kkkN xN xN xxNNN1kiiiN xN1kiiiNxN1kiii

21、W x222_21 12212.kkkN xN xN xxNNN21kiiiN xN21kiiiNxN21kiiiW x000)()(dvvfvNdvvNfvNvdNvv dN00)(dvvNfvdNv1. 分子的平均速率分子的平均速率v dN表示速率在表示速率在vv+dv区间的分子数，区间的分子数，dv是一个是一个微小量，因此这微小量，因此这dN个分子可以认为具有相同的速个分子可以认为具有相同的速率率v，那么这，那么这dN个分子的速率之和为：个分子的速率之和为：所有所有N个分子的速率之和为：个分子的速率之和为：分子的平均速率为：分子的平均速率为：( )v Nf v dv 000)()(dvv

22、fvNdvvNfvNvdNv解释：解释：（1） 表示把每个分子的速率相加，再除以总的分子表示把每个分子的速率相加，再除以总的分子数数N得得 ；（2） 表示速率表示速率v与速率在与速率在vv+dv区间的概率相乘后，区间的概率相乘后，再相加得再相加得 。0vdNvN0( )vv f v dvvv2. 方均根速率方均根速率2v0202022)()(dvvfvNdvvNfvNdNvv022)(dvvfvv推广：推广：0( )( )( )g vg v f vdv0)(11dvvfvv如如3. 最概然速率最概然速率pv 其物理意义是在其物理意义是在 附近单位速率区间内分子数占附近单位速率区间内分子数占总分

23、子数的比率最大；或对一个分子而言，其速率总分子数的比率最大；或对一个分子而言，其速率刚好处于刚好处于 附近单位速率区间内的概率最大。附近单位速率区间内的概率最大。pvpvpv 最概然速率最概然速率 是速率分布函数曲线峰值所对应是速率分布函数曲线峰值所对应的速率。的速率。0)(vfdvd求最概然速率的方法求最概然速率的方法求极值法求极值法【例【例3】一个由一个由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：分布曲线如下图所示。试求：（1）速率分布函数；）速率分布函数；（2）一个分子速率出现在）一个分子速率出现在0v0/2范围的概率；范围的概率

24、；（3）速率在）速率在0v0/2范围内的粒子数；范围内的粒子数；（4）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。解解 (1) 按图所示的速率分布曲线形状，应有按图所示的速率分布曲线形状，应有由速率分布函数的归一化条件，可得由速率分布函数的归一化条件，可得 故速率分布函数为故速率分布函数为 )(0)()(00vvvvkvvf121)(20000kvkvdvdvvfv202vk )(0)(2)(0020vvvvvvvf(2) 由由 ，速率在，速率在 范围内的分子数占总分子数的范围内的分子数占总分子数的比率为：比率为：dvvfNdN)(200v20202000

25、412)(vvdvvvdvvfNN方法方法2，求面积，求面积方法方法2，求面积，求面积（3 3）速率在）速率在 范围内的分子数范围内的分子数 200v2020200042)(vvNdvvvNdvvNfN(4) 粒子的平均速率粒子的平均速率 方均速率方均速率 故方均根速率故方均根速率 最概然速率是最概然速率是 具有最大值，即速率分布曲线峰值所对具有最大值，即速率分布曲线峰值所对应的速率。由图中的速率分布曲线，可得应的速率。由图中的速率分布曲线，可得 00020322vvdvvvvv0020202222vvdvvvvv0222vv)(vf0vvp三、理想气体平衡态的速率分布函数三、理想气体平衡态的

26、速率分布函数 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1、麦克斯韦速率分布函数、麦克斯韦速率分布函数kTmvevkTmvf22232)2(4)(是平衡态温度是平衡态温度是气体分子质量是气体分子质量其中其中: :Tm对于理想气体平衡态，由其满足的麦克斯韦速率对于理想气体平衡态，由其满足的麦克斯韦速率分布律可得：分布律可得：(1) 平均速率平均速率：:)(:0可得由dvvvfv2223222012220122204()22 ()()202 ()28m vk Tm vk Tm vk Tmvv ev d vk Tmv dek Tmed vk Tk Tm 2、理想气体平衡态的特征速率：、理想气体平衡态的特征

27、速率：vduuvudv分部积分公式分部积分公式（2）方均根速率）方均根速率：方均根速率有两种计算方法，一是通过麦克斯韦分方均根速率有两种计算方法，一是通过麦克斯韦分布函数来计算，二是通过平均平动动能来计算：布函数来计算，二是通过平均平动动能来计算：mkTdvvevkTmvkTmv3)2(40222232222313:22tkTEkTmvvm由也可得022)(dvvfvvmkTvp2（3）最概然（最可几）速率）最概然（最可几）速率vp ：4. 理想气体三个特征速率比较理想气体三个特征速率比较：molmolMRTMRTmkTv73. 1332molmolpMRTMRTmkTv41. 122molm

28、olMRTMRTmkTv60. 188vf(v)vpfmaxv2v同一温度，同种气体同一温度，同种气体,AmolAmolARNmNkNMNMN m3、理想气体平衡态的速率分布特点、理想气体平衡态的速率分布特点存在唯一极大值存在唯一极大值同种气体，不同温度同种气体，不同温度同一温度，不同气体同一温度，不同气体123mmmmkTvp2例例4、一理想气体处于平衡态时，压强为、一理想气体处于平衡态时，压强为p，质量，质量密度为密度为。试求其方均根速率。试求其方均根速率。解：本题的求解具有典型意义，可以帮助我们掌握解：本题的求解具有典型意义，可以帮助我们掌握很多公式。很多公式。2333333AAmolm

29、olN kTkTvmN mRTRTMMpVpM类似的方法，还可以求解最概然速率和平均速率。类似的方法，还可以求解最概然速率和平均速率。 当气体处于平衡态时，分子处于能量为当气体处于平衡态时，分子处于能量为E状态的状态的几率总是正比于几率总是正比于exp（-E/kT）的。这个结论叫）的。这个结论叫玻尔兹玻尔兹曼能量分布律曼能量分布律。kTEeEf)(可见能量越低，处于该能量状态的分子数越多。可见能量越低，处于该能量状态的分子数越多。五、玻尔兹曼能量分布律（了解）五、玻尔兹曼能量分布律（了解）第五节第五节 气体分子的碰撞气体分子的碰撞一、分子碰撞的意义和基本模型一、分子碰撞的意义和基本模型 分子在

30、做永不停息分子在做永不停息的无规则热运动。的无规则热运动。 由于分子力的影响，由于分子力的影响，分子的质点模型需要分子的质点模型需要修正，分子可看成是修正，分子可看成是具有一定大小的具有一定大小的刚性刚性球体球体，其直径称为有，其直径称为有效直径，用效直径，用d表示，表示，数量级为数量级为m1010二、分子的平均碰撞频率二、分子的平均碰撞频率 单位时间内，一个分子与其它分子发生碰撞单位时间内，一个分子与其它分子发生碰撞的平均次数叫分子的的平均次数叫分子的平均碰撞频率平均碰撞频率。 为了计算平均碰撞频率，可以为了计算平均碰撞频率，可以“跟踪跟踪”一个一个分子，先计算它在分子，先计算它在t 时间内

31、与其它分子碰撞的时间内与其它分子碰撞的次数，再求出结果。次数，再求出结果。 为了方便计算，可以先假定被碰撞的其它分为了方便计算，可以先假定被碰撞的其它分子都子都不动不动，只有被，只有被“跟踪跟踪”的那个气体分子以速的那个气体分子以速率率v 相对其它分子运动。并设气体分子都是一些相对其它分子运动。并设气体分子都是一些有效直径有效直径 d 完全相同的小球。完全相同的小球。v2d在在t时间内，时间内，tultudn2 能够与它发生碰撞的那些分子的中心，分布能够与它发生碰撞的那些分子的中心，分布在长度为在长度为 ，横截面积为，横截面积为dd2 2 的圆柱体内的圆柱体内, ,其中其中的分子数为的分子数为: : l所以分子平均碰撞频率为：所以分子平均碰撞频率为：udnttudnZ22 考