第1讲_数学物理方程的导出和定解条件(2015)

1、数理方程什么是数学物理方程？什么是数学物理方程？ 物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的生的偏微分方程偏微分方程（广义上也包括积分方程和微分积（广义上也包括积分方程和微分积分方程），它们反映了支配各种自然现象的基本规分方程），它们反映了支配各种自然现象的基本规律。律。 连续介质力学（流体力学、固体力学等）、电连续介质力学（流体力学、固体力学等）、电磁学、传热学、量子力学、化学反应动力学等方面磁学、传热学、量子力学、化学反应动力学等方面的基本方程都是数学物理方程的范畴。的基本方程都是数学物理方程的范畴。 绪绪 论论.基基础础和和背背景景理理论论和和实

2、实际际问问题题为为研研究究数数学学物物理理方方程程是是以以物物理理.解方法解方法三种典型物理方程的求三种典型物理方程的求本课程主要内容：介绍本课程主要内容：介绍本课程的研究对象本课程的研究对象.工具是偏微分方程理论工具是偏微分方程理论研究方法是数学分析，研究方法是数学分析，数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 课程的内容课程的内容三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。1.11.1 弦振动方程与定解条件弦振动方程与定解条件n有一

3、个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作 小 振 动 列 出 弦 的 横 振 动 方 程 。u(x,t) 几点假设：弦是柔软的：弦内相邻点之间只存在张力，张力沿着弦的切线方向，一个小段的振动必定带动它的邻段，而邻段又带动它自己的邻段，这样，一个小段的振动必然传播到整个弦。这种振动传播的现象叫作波波。 忽略弦所受重力的影响弦没有纵向振动。弦的横向振幅很小。均匀弦的横振动方程推导均匀弦的横振动方程推导1、确定物理量、确定物理量：位移量位移量2、研究邻近点的相互作用：、研究邻近点的相互作用： 受力分析受力分析3、短时间内这种相互作用对所、短时间内这种相互作用对所

4、研究物理量的影响：研究物理量的影响： 物理定律物理定律：F=ma 4、数学语言描述，、数学语言描述，并简化整理数学物理方程数学物理方程 ( , )u x t建立如图的坐标系，取很多小段的一段进行分析：建立如图的坐标系，取很多小段的一段进行分析：进行受力分析 ：)(22tuutt2211coscos0TT2211sinsin()ttTTds u（1）（2）所取小段的纵向和横向运动方程分别为：21|x dxxTTTT弦的横向加速度方程推导：因为 是小量，利用泰勒展开，可有以下近似： 2cos112! 3sin3!tgxuutgx 1xxtgu 2xx dxtgu2221xdsdxduudxdx21

5、0TT 21xxttx dxxT uT uudx（1）（2）两式可化为：（3）（4）弦中各点的张力弦中各点的张力T相等；相等；张力既跟空间量无关，又与时间无关，记为常数T。进而：xxttx dxxT uuudx（5）因为dx很小，所以： 22()x dxxxxxuuuuudxxxxttuTdxudxx0ttxxuTu20ttxxua u2/aT（5）（6）（7）（8）弦自由振动方程弦自由振动方程 a为弦横振动的传播速度。受迫振动方程：n当弦在振动过程中还受到外加的横向的作用力时，设每单位长度弦所受的横向力为F (x,t),则（2）式应修改为： 2211sinsin()ttTTds u（2）22

6、11sinsin( , )()ttTTF x t dxds u（9）受迫振动方程续：20ttxxua u2( , )ttxxua uf x t（10） 受迫振动方程受迫振动方程 （8）( , )( , )/f x tF x t其中：为力密度，表示单位质量所受的外力。 2.均匀杆的纵振动方程均匀杆的纵振动方程xYuF 利用牛顿运动定律建立方程：利用牛顿运动定律建立方程：位移变量 应变 应力 胡克定律：胡克定律：应力和应变成正比Y：杨氏模量YdxYSuYSuYSuuSdxxxxxdxxxtt0 xxttYuu02xxttuau02xxttuauYa 2纵振动在杆中的传播速度纵振动在杆中的传播速度

7、杆的纵振动方程杆的纵振动方程每单位长度上每单位横截面积所受纵向外力每单位长度上每单位横截面积所受纵向外力F SdxFdxYSuSdxFYSuYSuuSdxxxxxddxxxttFfuauxxtt2杆的受迫振动方程杆的受迫振动方程定解条件定解条件引入定解条件的必要性：n从物理多角度看：物理方程仅能表示一般性，要个性化物体的运动需要附加条件。n从数学上看：微分方程的解的任意性也需要附加条件来确定，这些附加的条件就是初始条件和边界条件，统称为定解条件。包含初始条件和边界条件初始条件初始条件 定义：定义：我们在求解含有时间变量t的数理方程时，往往必须追溯到某个所谓“初始时刻”的状况，我们称物理过程初始

8、状态的数学表达式为初始条件。初始条件应该完全描写初始时初始条件应该完全描写初始时刻（刻（t = 0 时）介质内部及边界上任意一点的状况。时）介质内部及边界上任意一点的状况。 ttu弦的振动方程弦的振动方程：给出两个初始条件，即初始时刻的位移位移和速度速度 0( , , , )|( , , )tu x y z tx y z0( , , , )|( , , )ttu x y z tx y z( , , )x y zV初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数初始条件续：初始条件续：xuhx0 xlxl/200(2 / ) x 0,l/2( , )|

9、(2h/l)(l-x) xl/2,l|0ttth l xu x tuF边界条件边界条件 定义定义：我们在求解方程时要考虑边界状况，我们称物理过程边界状况的数学表达式为边界条件。 如：弦的横振动过程，弦的“两端固定”，边界条件就是：0|0|00.xx luut两端自由： 0|0|00.xxxx luut一端自由，一端固定？ 两端受外力的情况？ 0|0|00.xxx luut012|0.xxxx lufuft三类边界条件 第一类边界条件第一类边界条件（Dirichlet条件（狄利克莱）,给出边界上各点的函数值 第二类边界条件第二类边界条件（Neuman条件（纽曼）,给出边界上各点函数法向微商值 第

10、三类边界条件第三类边界条件（混合边界条件）：给出边界上各点函数值与法向微商值之间的线性关系000000,( , , , )|(, )xyzu x y z tf xy z t边界000000,( , , , )|(, )xyzu x y z tf xyz tn边界000000,()|(, )nxyzuHuf xyz t边界边界条件续：当 f0 时的边界条件称为齐次齐次的。前面的三类边界条 件分别为第一、第二、第三类齐次边界条件。边界条件的个数：边界条件的个数：与初始条件的个数类似，等于方程中关于空间变量偏导数的阶数。 边界条件的关键点：边界条件的关键点：只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非

11、整而非整个系统个系统物理定律：物理定律：能量守恒定律和热传导的Fourier定律热传导的热传导的Fourier定律定律：若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就有一定的热量传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的方向的单位面积的热量单位面积的热量q与温度的空间变化率成正比。与温度的空间变化率成正比。 uqkx q-热流密度，单位时间单位面积流过的热量；k-热导率 qk u 三维空间三维空间1.2 热传导方程与定解条件热传导方程与定解条件热传导方程续：图图1.5 热传导方程选取的体元()()xxxx dxx dxxuuqqy z tkky z txx 22ukx

12、y z tx 时间内沿x方向流入体元的热量： t建模：建模：选取以长方体为体元则：（11）时间内沿y方向流入体元的热量： t时间内沿z方向流入体元的热量： t22()()yyyy dyuqqx z tkx y z ty 22()()zzzz dzuqqx y tkx y z tz （12）（13）净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。 222222uuukx y z tx y z cuxyz （14）这里 是介质的密度，c是比热容记：Laplace 算子20ukutc20uut /kc（16）（15）扩散率，或扩散率，或

13、温度传导率温度传导率 uuuzuyuxu2222222介质内存在热源时n如果在介质内有热量产生（例如，有化学反应发生，或者通有电流，），单位时间内单位体积介质产生的热量为F (x,y,z,t)F (x,y,z,t)222222uuukx y z tx y z cuxyz （14）222222( , , , )uuukx y z tF x y z tx y z tx y z cuxyz 21( , , , )( , , , )uuF x y z tf x y z ttc F (x,y,z,t)（17）（18）初始条件初始条件 弦的振动方程弦的振动方程：给出两个初始条件，即初始时刻的位移位移和速度

14、速度 热传导方程热传导方程：初始时刻的温度 0( , , , )|( , , )tu x y z tx y z初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数边界条件边界条件 稳定温度分布稳定温度分布：n在一定条件下，物体的温度达到稳定，即不随时间变化时，则温度分布满足Poisson（泊松）方程： 2fu20u没有热源或者汇没有热源或者汇 ，即，即 f = 0Poisson 方程方程Laplace 方程方程（20）（19）1.3 拉普拉斯方程与定解条件拉普拉斯方程与定解条件无初始条件的情况无初始条件的情况：稳定场问题稳定场问题 系统在周期性系统在周期

15、性“外力外力”驱动下驱动下，只关心其稳态响应。如：水声中, 单频稳态激励的辐射声场、如静电场、稳定的浓度分布和温度分布等。4、小结: 物理上：反映波动过程的波动方程反映扩散过程的热传导方程反映稳定状态的Poisson方程和Laplace方程数学上：波动方程，在数学上属于双曲型方程热传导方程，在数学上属于抛物型方程Poisson方程和Laplace方程，在数学上属于椭圆型方程泛定方程泛定方程 例题例题习题1 在弦的横振动问题中，若弦受到一个与速率成正比的阻力，试导出弦的阻尼振动方程。习题2 试推导一均质细圆锥杆的纵振动方程。o ),(txul 例题例题解 在弦的横振动问题中，若弦受到一个与速率成

16、正比的阻力，试导出弦的阻尼振动方程。设位移函数为 u(x, t) ，依题意单位长弦受到的阻力为 ，如图，弦中任意一小段 dx 在振动过程中的受力情况为：tub 1122coscos TT 纵向（水平方向）：dxtubTTdxxx 1122sinsin 横向（竖直方向）：xyoxdxx 1 2 1T2T小振动条件下，运动方程化简为：TTT 21dxxxdxxxxdxxtudxdxtubxuTxuT 2212 弦在作横振动，由牛顿第二定律有0coscos1122 TTdxxxdxxxtudxdxtubTT 221122sinsin 即dxxxdxxxtudxdxtubdxxuT 2222 2222

17、tutubxuT 02222 tubxuTtu 弦的阻尼横振动方程为022222 tucxuatu bcTa,设杆做纵振动的位移函数为 u(x, t) ，杆的杨氏模量为 E ，体密度为 ，在 x 处的横截面积为 S(x) ，dx 做纵振动时的运动方程为： 例题例题解 试推导一均质细圆锥杆的纵振动方程。22)()()(tudxxSxuxSExuxSExdxx 纵向（水平方向）：两边同除以 dxxoxdxx ),(txul22)()(tuxSxuxSxE 将 代入上式，可得：约去 p p 和 tan ，化简整理得2222)tan()tan(tuxxuxxE p p p p22)tan()( p p

18、p pxrxS 2222tuxxuxxE 022222 xuxxxatu令 则 Ea 2定解条件定解条件 例题例题 举例举例热传导方程02 utu 初始条件：Vzyxzyxut ),(),(0 边界条件：),(tu 初始时刻各点的温度 边界上各点的温度),(1tknu 单位时间内通过单位面积的边界流入的热量为 ( , t) ：法向微商，梯度矢量在外法线上的投影。若边界绝热，则 = 0，有n 0 nu)(0uuhnuk 介质通过边界按牛顿冷却定律散热。牛顿冷却定律：单位时间通过单位面积表面与外界交换的热量正比于介质表面温度与外界温度 u0 之差，h 为比例系数。 例题例题解长为 l 的均匀细杆，

19、x = 0 端固定，另一端受到沿杆长方向的力 F ，若撤去 F 的瞬间为 t = 0 时刻，求 t 0 的杆的纵振动的定解条件。000000 txxtttuxESFdxESFdxxuuSFxuE边界条件：00),(0 lxxxutxu（t 0 无外力作用，既无应变）初始条件：（胡克定律，S：横截面积，E：杨氏模量） 例题例题解 长为 l， x = 0 端固定的均匀细杆，处于静止状态中，在 t = 0 时，一个沿着杆长方向的力 F 加在杆的另一端上，求 t 0 时杆上各点位移的定解条件。0000 tttuu边界条件：ESFxutxulxx 0),(0初始条件： 胡克定律， S：横截面积， E：杨

20、氏模量 例题例题解长为 l 的均匀杆的导热问题（1）杆的两端温度保持零度；（2）杆的两端均绝热（3）杆的一端恒温零度，另一端绝热试写出三种情况下的边界条件。0, 00 lxxuu（1）xukq （2）杆长方向的热量流动由傅里叶定律知，热流密度 两端绝热，既无热量流动，所以 设 u(x, t) 为杆的温度函数0, 00 lxxxuxu（3） 或0, 00 lxxxuu0, 00 lxxuxu 以上均为齐次边界条件。定解问题定解问题 例题例题 例题例题解弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡到位置 b 而静止，试导出在外力 F(t) 作用下杆的定解问题。弹性杆的纵振动所满足的方程为：)(2

21、2222tfxuatu 初始条件：边界条件：xyobl)(tF设杆长方向为 x 轴，位移函数为 u(x, t)，单位质量受到的外力为 f(t)0,00 tttuxlbu)(, 00tFxuEulxx 例题例题解长为 l 的均匀弦，两端固定，弦中张力为 T ，在 x0 处以横向力F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，若视振动为小振动试写出定解问题。数理方程：xyoF2T1T0 x1 2 022222 xuatu初始条件：边界条件：0,),(0,000000 tttulxxxlxlhxxxxhu0, 00 lxxuuhxyoF2T1T0 x1 2 在 x0 的左右两边，弦中的张力分别为 T1 和 T2

22、 ，t = 0 时刻的受力分析：0coscos0sinsin11222211 TTTTF初始条件：竖直方向：水平方向：小振动条件下：TTTxlhxh 21210220111coscostansin,tansin TlxlFxh)(00 可知：0,),(0,)(000000 tttulxxxlTlFxxxxTlxlFu三三类类定定解解问问题题 ： n初值问题初值问题： 如无界弦自由振动200,|( ),|( )ttxxtttua uxuxux n 边值问题：边值问题： 狄氏问题0|()uuf M n 混合问题：混合问题： 两端固定弦的振动 2000|0|( ),|( )ttxxxx ltttua

23、 uuuuxux1.4 基本概念与基本知识基本概念与基本知识 18071807年年1212月月2121日，日，FourierFourier向法国科学院宣布：任意的周向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献: “”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 “”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点 1.1.傅里叶级数的引进傅里叶级数的引进 在物理学中在物理学中, ,我

24、们已经知道最简单的波是谐波我们已经知道最简单的波是谐波( (正弦正弦波波),),它是形如它是形如 的波的波, ,其中其中 是振幅是振幅, , 是角频是角频率率, , 是初相位是初相位. .其他的波如矩形波其他的波如矩形波, ,锯形波等往往都可锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来以用一系列谐波的叠加表示出来. .tAsinA（一）（一） 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数非正弦周期函数: :矩形波矩形波otupp11 p pp ptttu0, 10, 1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4t

25、ttt p p p p p pp ptusin4p p )3sin31(sin4ttu p p)5sin513sin31(sin4tttu p p)7sin715sin513sin31(sin4ttttu p p)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu p p)7sin715sin513sin31(sin4)( tttttup p)0,( p p p p tt由以上可以看到：由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看一个比较复杂的周期函数可以看作是许多不同频率的简谐函数（三角函数）的叠加作是许多不同频率的简谐函数（三角函数）的叠加2 2 三角级数：三角级数：引

26、例中的简谐振动函数引例中的简谐振动函数（1 1） 10)sin()(kkkxkAAtf 10)sincoscossin(kkkkkxkAxkAA,200Aa 记记,tx,sinkkkAa ,coskkkAb 则则(1)(1)式右端的级数可改写为式右端的级数可改写为(2)(2) 10)sincos(2kkkkxbkxaa由三角函数组成的函数级数成为三角级数由三角函数组成的函数级数成为三角级数 三角函数三角函数的展开的展开且对周期为且对周期为2p p的周期函数，的周期函数， 1 13 函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数傅里叶系数傅里叶系数10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf有各

27、项系数各项系数a0，ak，bk怎么求解怎么求解? ? 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 三角函数系的正交性三角函数系的正交性(1)(1)三角函数系三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1kxkxxxxx即即 i)i), 0cos p pp p kxdx, 0sin p pp p kxdx.,:)2(上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交正交p pp p ii)ii). 0cossin p pp p nxdxkx), 2 , 1,( nk其中其中iii)iii), 0sinsin p p p pp p nknknxdxkx, 0cos

28、cos p p p pp p nknknxdxkx), 2 , 1,( nk其中其中傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 p pp p p pp p p pp p .)1(0a求求,220p p a p p p pp p dxxfa)(10可得可得.)2(ka求求 p pp p p pp p kxdxakxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 p pp p p pp p kxdxnxbkxdxnxaknn p pp p kxdxak2cos, p p ka可得可得 p

29、pp p p p kxdxxfakcos)(1), 3 , 2 , 1( k 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有可得可得.)3(kb求求 p pp p p pp p kxdxakxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 p pp p p pp p kxdxnxbkxdxnxannn, p p kb p p p pp p kxdxxfbksin)(1), 3 , 2 , 1( k 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有从而得到傅里叶系数从而得到傅里叶系数 p p p p p pp p p pp p ), 2 , 1(,sin)(1),

30、2 , 1 , 0(,cos)(1kkxdxxfbkkxdxxfakk p p p p p pp p2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1kkxdxxfbkkxdxxfakk或或把以上得到的系数代入三角级数把以上得到的系数代入三角级数该级数称为该级数称为傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2kkkkxbkxaa4 4 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 一般说来一般说来, ,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项, ,又含有余弦项又含有余弦项. .但是但是, ,也有一些函数的傅里也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者

31、只含有常数项和余弦项叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. .1.定理定理 设设 是周期为是周期为 的函数的函数, ,且可积且可积, ,则则)(xfp p2(1)(1) 当当)(xf为为奇函数奇函数时，它的傅里叶系数为时，它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 p p p pkkxdxxfbkakk (2)(2)当当)(xf为为偶函数偶函数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 p p p pkbkkxdxxfakk 2.2.定义定义 (1)(1) 如果如果)(xf为奇函数为奇函数

32、, , 其傅立叶级数其傅立叶级数kxbkksin1 称为正弦级数称为正弦级数 (2)(2) 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 其傅立叶级数其傅立叶级数kxaakkcos210 称为余弦级数称为余弦级数 . . 例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为p p2的的周周期期函函数数,它它在在),p pp p 上上的的表表达达式式为为xxf )(,将将)(xf展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数. 解解p p p pp pp p p p2p p 2p p 3p p3xy0函数图象函数图象), 2 , 1 , 0(, 0 kak)3sin312sin21(sin2)( xxxxf),3,;(p p p p xx p p p p0sin)(2kxdxxfbk p p p p0sin2kxdxxp p p p 02sincos2kkxkkxxp p kkcos2,)1(21 kk), 2 , 1( k.sin)1(211 kkkxk例例 2 2 将将周周期期函函数数tEtusin)( 展展开开成成傅傅氏氏级级数数, ,其其中中E是是正