第3-4章B样条曲线曲面

1、四、四、 B样条曲线样条曲线 Bezier曲线不足之处曲线不足之处： 造型不灵活。造型不灵活。确定了多边形的顶点数确定了多边形的顶点数(n+1个个)，也就决定了所定义的也就决定了所定义的Bezier曲线的阶次曲线的阶次(n次次)，这样，这样很不灵活。很不灵活。 当顶点数当顶点数(n+1)较大时较大时，曲线的阶次将比较，曲线的阶次将比较高。此时，高。此时，多边形对曲线形状的控制将明显减弱。多边形对曲线形状的控制将明显减弱。 不能局部修改。不能局部修改。图图1 1和图和图2 2为三次为三次BezierBezier曲线的各种不同情况的分析比较。曲线的各种不同情况的分析比较。图图1 控制点相同，顺序不

2、同的三次Bezier曲线图图2 移动控制点P2的不同效果比较B样条曲线的优点：样条曲线的优点： B样条曲线除了保持了原样条曲线除了保持了原Bezier曲线所具有的曲线所具有的优点外，优点外，还增加了可以对曲线进行局部修改这一还增加了可以对曲线进行局部修改这一突出的优点突出的优点。 除此之外，它还除此之外，它还具有对特征多边形更逼近，具有对特征多边形更逼近，多项式阶次较低等优点。多项式阶次较低等优点。 因此，因此，B样条曲线在外形设计中得到了广泛的样条曲线在外形设计中得到了广泛的重视和应用。重视和应用。 图图3 B样条曲线的局部特性。变动P5使右半部分曲线变化，但左半部分不变图图4 由8个控制点

3、定义的不同阶次B样条曲线和Bezier曲线对比 Pi,n( (t) )=nknktFP0,ki)(0t1) 式中：式中：Pi,n(t)为第为第i段段n次次B样条曲线段样条曲线段(i=0,1,m)，Fk,n(t)为为n次次B样条基函数，也称为样条基函数，也称为B样条分段混合函数。其形式为：样条分段混合函数。其形式为： ), 1 , 0, 10()() 1(!1)(01,nktjkntCntFknjnjnjnk 通常，给定通常，给定m+n+1个顶点个顶点Pi (i =0, l, 2, , m+n)，可以定义可以定义m+1段段n次的参数曲线为：次的参数曲线为：1. B样条曲线定义样条曲线定义 连接全

4、部曲线段连接全部曲线段所组成的整条曲线称所组成的整条曲线称为为n次次B样条曲线。依样条曲线。依次用线段连接次用线段连接Pi+k( (k=0, 1, , ,n) )所所组成的多边形称为组成的多边形称为B样条曲线在第样条曲线在第i段的段的B特征多边形。特征多边形。 n次次B样条曲线可达到样条曲线可达到n1阶连续。阶连续。 对于二次对于二次B样条曲线，样条曲线，n=2，i=0, l, 2，Fi,n(t)可以写成如下形式：可以写成如下形式：2. 二次二次B样条曲线样条曲线 223221312030) 1() 1() 1() 2() 1(! 21tCtCtC222! 2! 31! 2! 32! 3! 3

5、21ttt222212133634421tttttt20232, 0)02() 1(! 21)(jjjjtCtF2131203010232, 1) 1() 1() 1(21)12() 1(! 21)(tCtCjtCtFjjj122213121222tttt2203000232, 221) 1(21)22() 1(! 21)(ttCjtCtFjjj 因此，二次因此，二次B样条曲线的分段表达式可以写成样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式：如下的形式： Pi,2(t)= F0,2(t)Pi + F1,2(t)Pi+1十十F2,2(t)Pi+2 (i= 0,1m)221222,2112221) 1(

6、21)(iiiiPtPttPttP综合起来，二次综合起来，二次B样条曲线还可以写成更一般化的样条曲线还可以写成更一般化的形式：形式： 22, 0) 1(21)(ttF122(21)(22, 1tttF22, 221)(ttF) 10(011022121211)()(212202 ,2 ,tPPPtttFPtPiiikkkii式中式中Pi，Pi+1，Pi+2为第为第i段曲线的段曲线的B特征多边形的特征多边形的顶点。顶点。对上式求一阶导数可得：对上式求一阶导数可得：221222,2112221) 1(21)(iiiiPtPttPttP212,21) 1()(iiiitPPtPttP二次二次B样条曲

7、线的几何性质：样条曲线的几何性质：端点处的性质：端点处的性质：)(21)1()(21)0(212,12,iiiiiiPPPPPP第第i段曲线的起点在边段曲线的起点在边PiPi+1的中点，终点在的中点，终点在边边Pi+1Pi+2的中点的中点二次二次B样条曲线绘制示意图（样条曲线绘制示意图（i=0）122,12,)1( )0( iiiiiiPPPPPP第第i段曲线的起点处的段曲线的起点处的切线是边切线是边PiPi+1，终点，终点处的切线是边处的切线是边Pi+1Pi+2二次二次B样条曲线绘制示意图（样条曲线绘制示意图（i=0）第第i段曲线起点与终点段曲线起点与终点连线的中点，如图连线的中点，如图M第

8、第i段曲线的段曲线的Pi,2(1/2)处的切线平行于起点处的切线平行于起点终点连线终点连线PiPi+1Pi+2Pi,2(0)Pi,2 (1)Pi,2(1/2)Pi,2(1/2)M二次二次B B样条曲线样条曲线 )0()1(21)(21)21( )1()0(2121814381)21(2,2,22,12,2,212,iiiiiiiiiiiiPPPPPPPPPPPP3. B样条曲线的性质样条曲线的性质 1）局部调整性）局部调整性 2）仿射不变性）仿射不变性 3）分段参数多项式）分段参数多项式4）凸包性）凸包性 5）造型灵活性）造型灵活性 小组作业 I 讲述三次讲述三次B样条曲线相关知识：样条曲线相

9、关知识： 1.推导其表达式、矩阵形式推导其表达式、矩阵形式 2.讨论其端点性质讨论其端点性质 时间：时间：50分钟分钟小组作业 II 双三次Coons曲面 时间：时间：50分钟分钟五、五、 B样条曲面样条曲面) 1)(1(nm), 1 , 0;, 1 , 0(njmipij 1 , 0,00,wuwNuNPwuSljminjkiijlk uNki, wNlj,1 , 0,2:1,2:1,wulnzkmyWMPMUwuSTLTLkLkkyz2:1,2:1,1 ,1 ,1221lzzjkyyippwwwWuuuUijkllllkkkklP给定给定个空间点列个空间点列, , 则则 定义了定义了次次B

10、 B样条曲面，式中样条曲面，式中和和l l 次的次的B B样条基函数，由样条基函数，由Pij Pij 由组成的空间网格称为由组成的空间网格称为B B样条曲面的样条曲面的特征网格。上式也可写成如下的矩阵式：特征网格。上式也可写成如下的矩阵式： 上式中上式中y,zy,z分别表示在分别表示在u,wu,w参数方向上曲面片的个数。参数方向上曲面片的个数。 是某一个是某一个B B样条面片的控制点编号。下面介绍最常用的二、三样条面片的控制点编号。下面介绍最常用的二、三次均匀次均匀B B样条曲面的构造。样条曲面的构造。是是k 次和次和, 2, 1,0lkwu020100020100200110221211)(

11、pppWMpppwwwPB TTBpppwWMp0201000 TTBTTBpppwpppwWMpWMp22111021211101, TTBBBpppppppppUwpwpwpUwuWMMMS222120121110020100210,TTBByzwuWPMUMS,1 1均匀双二次均匀双二次B B样条曲面样条曲面已知曲面的控制点已知曲面的控制点pij(i,jpij(i,j0,1,2)0,1,2)，参数，参数u,wu,w且且构造步骤是：构造步骤是：沿沿w(w(或或u)u)向构造均匀二次向构造均匀二次B B样条曲线，即有：样条曲线，即有：经转置后经转置后 同上可得同上可得 再沿再沿u(u(或或w

12、)w)向构造均匀二次向构造均匀二次B B样条曲线，即可得到均匀双二样条曲线，即可得到均匀双二 次次B B样条曲面。样条曲面。 简记为简记为 。)3 , 2 , 1 , 0,(jipij,1 , 0,wu wPi) 3 , 2 , 1 , 0( i TTBTTBTTBTTBppppwppppwppppwppppwWMpWMpWMpWMp333231303232221202131211101030201000, wPi 3332313023222120131211100302010032100,ppppppppppppppppPWPMUMwpwpwpwpUMwuSTTBBB014103030363

13、133161BM2 2均匀双三次均匀双三次B B样条曲面样条曲面已知曲面的控制点已知曲面的控制点，参数，参数u,wu,w且且构造双三次构造双三次B B样条曲面的步骤同上述。样条曲面的步骤同上述。沿沿w(w(或或u)u)向构造向构造均匀三次均匀三次B B样条曲线样条曲线再沿再沿u(u(或或w)w)向构造均匀三次向构造均匀三次B B样条曲线，此时可认为顶点沿样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的滑动，每组顶点对应相同的w w，当，当w w值由值由0 0到到1 1连续变化，即形成连续变化，即形成B B样条曲面。此时表达式为：样条曲面。此时表达式为： 可见，由可见，由n个顶点定义的二次个顶

14、点定义的二次B样条曲线，实质上是样条曲线，实质上是n2段抛物线（相邻三点定义）的连接，并在连接处达段抛物线（相邻三点定义）的连接，并在连接处达到一阶连续。到一阶连续。 3. 三次三次B样条曲线样条曲线 对于三次对于三次B样条曲线，样条曲线，n=3,k=0,1,2,3。所以式（。所以式（5-27）可以分别写成如下形式：）可以分别写成如下形式： 30343 , 0)03() 1(! 31)(jjjjtCtF334324314304) 1()2()3(61tCtCtCtC3333)(4) 1(6)2(4)3(61tttt3232323461818632482442727961tttttttttt61

15、= (t3 + 3t2 3t + 1)20343 , 1)13() 1(! 31)(jjjjtCtF324314304)() 1()2(61tCtCtC323236412124812661ttttttt= (3t3 6t2 + 4) 6110343 , 2)23() 1(! 31)(jjjjtCtF314304)() 1(61tCtC323413361tttt = (3t3 + 3t2 + 3t + 1) 6100343 , 3)33() 1(! 31)(jjjjtCtF304)(61tC= t3 61所以，三次所以，三次B样条曲线的表达式可以写成：样条曲线的表达式可以写成： ) 10(014

16、1030303631331611)()()()()(32102333 , 323 , 213 , 103 , 0tPPPPtttPtFPtFPtFPtFtP(5-31) 关于式（关于式（5-31）的含义，可以参见对式（）的含义，可以参见对式（5-29）的说明，）的说明，在此不再赘述。在此不再赘述。 下面，我们来讨论一下三次下面，我们来讨论一下三次B样条曲线的端点性质。样条曲线的端点性质。 由式（由式（5-31）可以进一步推导得：）可以进一步推导得： ) 10(013102421301211)( 32102tPPPPtttPP(t)= (1t)3 P0+ (3t3 6t2 + 4) P1+ (-

17、3t3 + 3t2 +3t + 1) P2+ t3P3P (t)= -3(1t)2 P0+ (9t2 12t ) P1+ (-9t2 + 6t+3) P2+ 3t2P3P”(t)= 6(1t) P0+ (18t 12 ) P1+ (-18t + 6) P2+ 6tP3616161 以以t的端点值代入，得：的端点值代入，得：23132112021032231)4(61)1(32231)4(61)0(PPPPPPPPPPPPPP)(21)1( )(21)0( 1302PPPPPP)()()2)1( )()()2)0( 21233211012210PPPPPPPPPPPPPPPP 从以上列出的端点结

18、果我们可以看到，曲线段的起点从以上列出的端点结果我们可以看到，曲线段的起点P（0）位于）位于P0P1P2底边底边P0P2的中线的中线P1Pm上，且距上，且距P1点的三点的三分之一处。该点处的切矢分之一处。该点处的切矢P（0）平行于）平行于P0P1P2的底边的底边P0P2，且长度为其二分之一。，且长度为其二分之一。该点的二阶导数该点的二阶导数P（0）等）等于中线矢量于中线矢量P1Pm的二倍，的二倍，见图见图5-31。 P0P1P2P3P4P(0)P(0)P”(0)P”(1)P(1)P(1)Pm图图5-31 5-31 三次三次B B样条曲线段样条曲线段 三次三次B样条曲线绘制示意图样条曲线绘制示意图 同理，对于终点同理，对于终点P（1）处的情形与此相应。如果在）处的情形与此相应。如果在B特特征多边形上增加了一个顶点征多边形上增加了一个顶点P4，那么，那么P1P2P3P4又可定义一段又可定义一段新的三次新的三次B样条曲线。因为新曲线段起点的有关数据和上一样条曲线。因为新曲线段起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和段曲线的终点的有关数据都只和P1、P2、P3三点有关，所三点有关，所以该二段