结构力学第五版李廉锟第九章渐近法

1、第九章 渐 近 法9-1 9-1 概述概述直接解法直接解法解联立方程解联立方程 超静定结构的两种基本方法（超静定结构的两种基本方法（力法、位移法）力法、位移法）渐近法渐近法 联立方程联立方程数学渐进解法（迭代法）数学渐进解法（迭代法）不建立方程不建立方程人为约束受力状态，人为约束受力状态， 逐步调整逐步调整收敛于真实状态收敛于真实状态 力矩分配法力矩分配法无结点线位移刚架和连续梁无结点线位移刚架和连续梁 无剪力分配法无剪力分配法特殊的有结点线位移刚架特殊的有结点线位移刚架理论基础理论基础位移法（结点位移位移法（结点位移逐次调整）逐次调整）解题方法解题方法渐近法（由荷载直接计算杆端弯矩渐近法（由

2、荷载直接计算杆端弯矩不建立方程，适于手算）不建立方程，适于手算）第九章 渐 近 法力矩分配法的正负号规定力矩分配法的正负号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。假设对杆端顺时针旋转为正号。另外，作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束另外，作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。 力矩分配

3、法的应用条件力矩分配法的应用条件理论基础：位移法；理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算对象：杆端弯矩；计算方法：通过增量调整修正，逐步逼近真实状态；计算方法：通过增量调整修正，逐步逼近真实状态；适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。第九章 渐 近 法 转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆件的线刚度端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。及远端的支承情况有关。 （1） 转动刚度转动刚度（劲度系数）（劲度系数）lABEIM

4、= iABM = iB A 4 21iSAB4转动刚度转动刚度9-2 9-2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理1 1、名词解释、名词解释第九章 渐 近 法lABEIM =BAM = iAB301iSAB3转动刚度转动刚度iSAB转动刚度转动刚度lABEIM =ABM =-iAB1ilABEIM =AB10转动刚度转动刚度思考思考：BA0ABS?ABS第九章 渐 近 法（2 2）传递系数）传递系数 C C 近端转角所施力近端转角所施力矩对远端的影响矩对远端的影响远端固定远端固定 C C 0.50.5远端铰支远端铰支 C C 0 0远端滑动远端滑动 C C -1-1CCABAB M MBA

5、BA / M / MABAB即：即：M MBABA C CABABM MABAB第九章 渐 近 法与远端支承与远端支承情况有关情况有关ABi14i2iABi13iABi1i第九章 渐 近 法分配系数分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i（3 3）分配系数）分配系数 设设A点有力矩点有力矩M，求，求MAB、MAC和和MADCABDiABiACiADAM如用位移法求解：如用位移法求解：AABAABABSiM 4AACAACACSiMAADAADADSiM 3MMABMACMAD0AmAADACABSSSM)(AADACABASMSSSMMSSMAADAD于是可得于是可得MSSMA

6、ABABMSSMAACACMMAjAjAAjAjSS1分配弯矩分配弯矩第九章 渐 近 法ABCMABMBAMBCABCMABFMBAFMBCFMBMBMBAFMBCFMB= MBAF + MBCFABC-MBBAMBCMABM0-MBBAMBCM)(BBABAMM)(BBCBCMM+=最后杆端弯矩：最后杆端弯矩：MBA = MBAF+BAMMBC =MBCF+BCMMAB= MABF+ABM然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号固端弯矩带本身符号第九章 渐 近 法一、单结点连续梁的力矩分配法一、单结点连续梁的力矩分配法

7、i2kN/m附加刚臂，确定基本体系附加刚臂，确定基本体系固定刚臂，计算固端弯矩固定刚臂，计算固端弯矩m,kN15FBAMm,kN9FBCMm,kN15FABMmkN61FBCFBAPMMR结构无结点转角位移时，交汇于结点各杆固端弯矩的代结构无结点转角位移时，交汇于结点各杆固端弯矩的代数和，称为该结点的数和，称为该结点的不平衡力矩不平衡力矩，并规定顺时针转向为正。并规定顺时针转向为正。20kNACB3m 6m3miACB15159 9 R1P152kN/m20kNACBZ1基本体系基本体系0FCBMMB=mkN61FBCFBAPMMR第九章 渐 近 法一、单结点连续梁的力矩分配法一、单结点连续梁

8、的力矩分配法i2kN/m20kNACB3m 6m3mi2kN/m20kNACBACB15159 9 MB15Z1基本体系基本体系ACBZ14iZ13iZ1= SBAZ1= SBCZ1放松刚臂，计算刚臂转动放松刚臂，计算刚臂转动Z1时结点的反力矩时结点的反力矩R11。114ZSiZMBABA011BCBAMMR)(11BBCBAMSSZ113ZSiZMBCBC0111PRR111)()(ZSSMMRBCBABCBA计算转角计算转角Z1。R11BAMBCMSBAZBSBCZB第九章 渐 近 法一、单结点连续梁的力矩分配法一、单结点连续梁的力矩分配法i2kN/m20kNACB3m 6m3mi力矩分配

9、力矩分配)()(BBABBCBABABAMMSSSM)()(BBCBBCBABCBCMMSSSMiSiSBCBA3,4429. 0433571. 0434iiiiiiBCBA由于由于426. 3)(BBABAMM574. 2)(BBCBCMM426. 3574. 2-MBACB15159 9 15ACBZ14iZ13iZ1R11SBAZ1SBCZ1= SBAZ1= SBCZ1MBBAMBCM第九章 渐 近 法一、单结点连续梁的力矩分配法一、单结点连续梁的力矩分配法ACB15159ACBZ1 9 MB154iZB3iZBR11SBAZBSBCZB= SBAZB= SBCZB力矩传递。力矩传递。由

10、于转角由于转角Z1引起的远引起的远端弯矩称为传递弯矩，有端弯矩称为传递弯矩，有713. 1)426. 3(5 . 0BAABABMCM0)574. 2(0BCCBCBMCM计算最终杆端弯矩。计算最终杆端弯矩。714.16714. 115ABM574.11426. 315BAM574.11574. 29BCM0CBM作最终弯矩图。作最终弯矩图。C0713. 1ACB93016.71411.574M图图 (kNm)426. 3574. 2-MB第九章 渐 近 法 固定固定计算固端弯矩计算固端弯矩和结点不平衡力矩和结点不平衡力矩计算分配系数计算分配系数i2kN/m20kNACB3m 6m3mi放松放

11、松计算分配弯矩计算分配弯矩计算传递弯矩计算传递弯矩叠加叠加计算最终杆端计算最终杆端弯矩弯矩画弯矩图画弯矩图AC0.571 0.429分配系数分配系数固端弯矩固端弯矩-1515-90分配弯矩分配弯矩426. 3574. 2传递弯矩传递弯矩0713. 1杆端弯矩杆端弯矩-16.71411.574-11.5740ACB93016.71411.574M图图 (kNm)单结点连续梁的力矩分配法小结单结点连续梁的力矩分配法小结第九章 渐 近 法第九章 渐 近 法例例1. 用力矩分配法作图示连续梁用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B点加约束点加约

12、束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=MBA+ MBC=mkN 60-150150-90（2 2）放松结点）放松结点B B，即加，即加-60-60进行分配进行分配60ABC-60设设i =EI/l计算转动刚度：计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数分配系数：571. 0344iiiBA429. 073iiBC0.5710.429分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0BAM7 .25)60(429. 0BCM-34.3-25.7-17.20+(3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并

13、前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图图(kNm)ABC=第九章 渐 近 法922342932343942344iiiiiiiiiiiiADACAB计算固端弯矩和结点不平衡力矩计算固端弯矩和结点不平衡力矩计算分配系数计算分配系数iSiSiSADACAB234mkNqlMFBA40124301222mkNqlMFAB40124301222mkNFlMFAD758450383mkNFlMFDA25845080FCAM0FACMmkNMMMMFADFACFABA35)75(040

14、 4m2m2m 4m30kN/m50kNBDEI2EIEIii2i4EIi AC【例例9-19-1】第九章 渐 近 法ABCD计算分配弯矩计算分配弯矩计算传递弯矩计算传递弯矩计算杆端弯矩计算杆端弯矩画弯矩图画弯矩图ABACAD4/92/93/9分配系数分配系数传递弯矩传递弯矩结点不平衡力矩结点不平衡力矩-35分配弯矩分配弯矩15.5511.677.78固端弯矩固端弯矩-40+400-75-25+7.78-7.780杆端弯矩杆端弯矩-32.22-32.7855.5511.67 -67.220ABCDM图图 (kNm)32.7867.2255.5532.2211.67第九章 渐 近 法9-3 9-

15、3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 概念：概念： 多结点多结点逐次对每个结点逐次对每个结点 运用单结点的基本运算运用单结点的基本运算 以连续梁为例：以连续梁为例： 说明力矩分配法：说明力矩分配法： 约束约束放松放松再约束再约束再放松再放松 逐次渐近真实状态的逐次渐近真实状态的第九章 渐 近 法具有多个结点转角的多跨连续梁具有多个结点转角的多跨连续梁1. .先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩；先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩； 2. .轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点仍暂时固定，这样把各刚结点

16、的不平衡力矩轮流进行分配与仍暂时固定，这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与传递，直到传递弯矩小到可略去时为止。传递，直到传递弯矩小到可略去时为止。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。 只需依次对各结点使用上述方法便可求解。只需依次对各结点使用上述方法便可求解。步骤步骤: :3. 最后累加固端、分配和传递得结果。最后累加固端、分配和传递得结果。第九章 渐 近 法6 m6 m12 m25 kN/m12 m0123400 kNEIEIEI21444) 1 (1010iiiSS21444) 1 (1212iiiSS74344)2(2121iiiSS73343)2(2

17、323iiiSS 例例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。EI=常数常数 解解: : (1) 首先引用刚臂将两个刚结点首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。固定。(2)计算结点计算结点1、2处各杆端的分配系数。处各杆端的分配系数。 结点结点1的分配系数为的分配系数为结点结点2的分配系数为的分配系数为第九章 渐 近 法mkN 300121225122201qlMFmkN 300121225122210qlMFmkN 600812400812FlMFmkN 600812400821FlMF03223FFMMmkN 300600)(300F12F10u1M

18、MM(3) 计算固端弯矩计算固端弯矩(4) 计算结点的不平衡力矩计算结点的不平衡力矩结点结点1的不平衡力矩为的不平衡力矩为结点结点2的不平衡力矩为的不平衡力矩为12 m25 kN/m400 kNEIEIEI21036 m12 m6 mmkN 600MMF23F212uM (5) 按轮流放松结点，按轮流放松结点，进行弯矩分配与传递。进行弯矩分配与传递。第九章 渐 近 法1/2 1/24/7 3/72310-600-300-193+300+60000+150 +150-386 -2890+75+96.5+96.5+48.2+75+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9+6.9+3.4+3

19、.4-1.5-1+0.5-1.9+0.5+0.2+0.2-0.1-0.1+553.9-553.9+311.3-311.3-173.20固 端 弯 矩MF结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递最 后 弯 矩1/2 1/24/73/7固端弯矩固端弯矩MF -300+300 -600+60000结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递

20、结点分配传递结点分配传递结点分配传递最后弯矩最后弯矩+150 +150+75+75-386 -2890-193+96.5 +96.5+48.2+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9 +6.9+3.4+3.4-1.9 -1.5-1.0+0.5 +0.5+0.2+0.2-0.1 -0.1-173.2+553.9 -553.9+311.3 -311.30第九章 渐 近 法 (6) 计算杆端最后弯矩最后，将各杆端的固端弯矩和历次所计算杆端最后弯矩最后，将各杆端的固端弯矩和历次所得到的分配弯矩和传递弯矩总和加起来，便得到各杆端的最得到的分配弯矩和传递弯矩总和加起来，便得到各杆端的最后弯矩，根

21、据各杆杆端的最后弯矩作弯矩图后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩作弯矩图( (略略) )。本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架。本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架。第九章 渐 近 法力矩分配法的基本步骤力矩分配法的基本步骤计算分配系数计算分配系数根据位移法原理，在刚结点处附加刚臂。由各杆的相对线刚度根据位移法原理，在刚结点处附加刚臂。由各杆的相对线刚度和远端支承情况确定转动刚度并计算分配系数。和远端支承情况确定转动刚度并计算分配系数。计算固端弯矩和结点不平衡力矩计算固端弯矩和结点不平衡力矩叠加法计算最后杆端弯矩叠加法计算最后杆端弯矩根据最后杆端弯矩画弯矩图根据最后杆端弯矩画弯矩图弯

22、矩的分配与传递弯矩的分配与传递逐个循环放松或固定相应的结点使力矩平衡。每平衡一个结点逐个循环放松或固定相应的结点使力矩平衡。每平衡一个结点时，按分配系数将该结点的不平衡力矩反号分配于各杆端；然后将时，按分配系数将该结点的不平衡力矩反号分配于各杆端；然后将各分配弯矩乘以传递系数，传递至远端。将上一步骤循环应用直至各分配弯矩乘以传递系数，传递至远端。将上一步骤循环应用直至分配弯矩减小到规定值为止。分配弯矩减小到规定值为止。上述步骤可应用上述步骤可应用于无结点线位移的连于无结点线位移的连续梁和刚架。续梁和刚架。第九章 渐 近 法 分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡力矩最大点分配和传递可从任意一

23、点开始，前述从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。开始，经验证明这样可加速收敛。 由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。精确解的近似方法。 因为分配系数小于因为分配系数小于1，传递系数也小于，传递系数也小于1，因此一轮分配、传，因此一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。 实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递。实际应用

24、时，一般只进行二、三轮的分配和传递。第九章 渐 近 法【例例9-3】对称结构，取半跨。对称结构，取半跨。 （无剪力）滑动支座第九章 渐 近 法i=EI/8=1,i=EI/8=1, i iij ij= 8/3 1 2 0.8 4= 8/3 1 2 0.8 4 s= 8 4 8 8 3.2 4 s= 8 4 8 8 3.2 4第九章 渐 近 法第九章 渐 近 法【解解】【例例1】6kN/m20kNACB 4m4m4mEIEIACB分配系数分配系数0.73 0.27固端弯矩固端弯矩-88-300用力矩分配法画弯矩图。用力矩分配法画弯矩图。计算固端弯矩和计算固端弯矩和结点不平衡力矩结点不平衡力矩计算分

25、配系数计算分配系数iEIiiEIiBCAB5 . 08,4iiSiiSBCBCABBA5 . 13,4427. 05 . 145 . 173. 05 . 144iiiiiiBCBA分配和分配和传递传递计算最终杆端弯矩计算最终杆端弯矩画弯矩图画弯矩图传递弯矩传递弯矩+8.03)21(0)0(杆端弯矩杆端弯矩-0.03+24.06-24.060ABCD0.0324.060.04527.97(12)M?(kNm)分配弯矩分配弯矩+16.06 +5.94第九章 渐 近 法【解解】【例例2】用力矩分配法画弯矩图。用力矩分配法画弯矩图。i40kNACB3m 6m3mi55kNmB055kNm30计算固端弯

26、矩和结点不平衡力矩计算固端弯矩和结点不平衡力矩计算分配系数计算分配系数分配分配传递，计算最终杆端弯矩传递，计算最终杆端弯矩画弯矩图画弯矩图iSiSBCBA3,4429. 0433,571. 0434iiiiiiBCBAmkNMFAB3064081mkNMFBA30mkNMB855530ACB0.5710.42930300085ACB54.318.642.236.4M图图 (kNm)018.654.336.448.636.424.3第九章 渐 近 法2EI50kNACB1m 6m2m10kN/m2mEID【解解】【例例3】画弯矩图。画弯矩图。计算固端弯矩计算固端弯矩计算分配系数计算分配系数623

27、,43EISEISBCBA572. 0,428. 0BCBA0,5 .37FABFBAMmkNMmkNMFBC5 .422586102mkNMFCD 52EI50kNACB 6m2m10kN/m2mEI5kNm分配分配传递，传递，计算杆端弯矩计算杆端弯矩画弯矩图画弯矩图ACBD0.4280.572分配系数分配系数M图图(kNm)ACBD5039.6454530.18 固端弯矩固端弯矩37.5 42.5-5539.6439.640杆端弯矩杆端弯矩-55分配传递分配传递2.14 2.8600第九章 渐 近 法画弯矩图。画弯矩图。+0.8-20+600.50.5最 后 杆 端 弯 矩结点固 端 弯

28、矩分配系数及传递系数C分配传递结点B分配传递分配传递B结点分配传递C结点结点C分配传递结点B分配传递0.6 0.4+20 -60+22211212-15-30-30-15+33+11+16.5-2.8+1.1+1.7-5.5-5.5+0.6-2.8-0.1-0.3 -0.3-0.15(可终止传递)+0.09 +0.06+0.05+54.79 -54.79-2.65+35.8 -35.8-17.9ABCDPFABCD332=40kNq=20kN/m2m2m6m4mEIEIEI【解解】【例例4】第九章 渐 近 法ABCD2.6554.7935.817.944.7311.23(40)(90)M图(k

29、Nm)PFABCD332=40kNq=20kN/m2m2m6m4mEIEIEI【解解】画弯矩图。画弯矩图。【例例4】第九章 渐 近 法【解解】【例例5】画弯矩图。画弯矩图。计算分配系数计算分配系数计算固端弯矩和结点不平衡力矩计算固端弯矩和结点不平衡力矩52,5332,31CDCBBCBAEIEISEIEISEIEISCDBCBA8244123946243mkN15mkN1512320mkN75.181625032FCBFBCFBAMMMmkNMMMmkNMMMFCDFCBFCFBCFBAFB1575. 30FDCFCDFABMMM1m50kNBAC1m 3m2mD4EI9EI4EI20kN/m

30、第九章 渐 近 法分配和分配和传递传递计算杆端弯矩计算杆端弯矩画弯矩图画弯矩图【解解】BACD分配系数分配系数1/3 2/33/5 2/5 固端弯矩固端弯矩18.75-151500分配分配和和传递传递-9-6-3-4.50.25 0.500.25-0.15 -0.1-0.05-0.07-3.05杆端弯矩杆端弯矩-19.02019.026.10 -6.1052,5332,31CDCBBCBAmkN15mkN15mkN75.18FCBFBCFBAMMMM图图 (kNm)22.519.02BACD6.103.0515.19259.940.050.02第九章 渐 近 法【例例6】用力矩分配法画弯矩图。

31、用力矩分配法画弯矩图。 10m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kNm 10m 10m 10m第九章 渐 近 法杆端弯矩杆端弯矩22.80.1 0.061/21/20.64 0.36固端弯矩固端弯矩分配分配与与传递传递分配系数分配系数 25 50 50 25 -2 -4 - 4 -2 8 16 9 0.64 1.28 0.72 -0.16 -0.32 - 0.32 -0.1645.7 54.3 40.2 - 40.2 100 -100100kNm10kN0.75EI10m8kN/mEIEI10m10m10mABCD100kN.m-100-100+50100-100【解解】第九章 渐

32、近 法22.845.754.340.2100100M图（图（kN.m)说明：计算说明：计算C点的分配系数、点的分配系数、MUCD向外传递时，向外传递时，D点按铰支。点按铰支。第九章 渐 近 法 25 50 50 25 16.7 33.3【解解】杆端弯矩杆端弯矩22.840.1 0.06-100-200/3200/3-1000.50.50.64 0.3610固端弯矩固端弯矩分配分配与与传递传递分配系数分配系数-2 -4 - 4 -28 16 9 0 0.64 1.28 0.72-0.16 -0.32 - 0.32 -0.1645.68 54.3 2 40.22 40.22 100 -100 10

33、m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kNm 10m 10m 10m第九章 渐 近 法 10m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kNm 10m 10m 10mM图图 (kNm)10010022.8445.6854.3240.22说明：计算说明：计算C点的分配系数、点的分配系数、MUCD向外传递时，向外传递时，D点按固支。点按固支。第九章 渐 近 法【解解】【例例7】用力矩分配法画弯矩图。用力矩分配法画弯矩图。计算固端弯矩和结点不平衡力矩计算固端弯矩和结点不平衡力矩计算分配系数计算分配系数943244iiiiAB92,93ACADmkNMFBA 50mkNMFAD 80mkNM

34、MMMFACFADFABA4515mkN5084100FABM0FCAFACMM0FDAMiSiSiSADACAB3,2,4A15kNmFABMFACMFADMAM 4m2m2m 3m40kN/m100kNBDi=1ACi=1i=215kNm第九章 渐 近 法分配和分配和传递传递计算最终杆端弯矩计算最终杆端弯矩画弯矩图画弯矩图 4m2m2m 3m40kN/m100kNBDi=1ACi=1i=215kNm【解解】BDAC1007010404580M图图 (kNm)结点结点BACD杆端杆端分配系数分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递分配与传递20固端弯矩固端弯矩- 5050

35、- 8010151010最后弯矩最后弯矩-4070- 6510- 100第九章 渐 近 法2m 4m15kN/m10kNBDAC3m3m1m2EI2EIEIEH40kN15kNmDAC2EIEIE40kN10kN30kN30kNmC 400MC30kNmMC= 10kNmDA)0(+10)21(C10+5+5+535+2.50CA CD0.50.5M图图 (kNm)BDACEH10356037.53052.5【解解】【例例8】画弯矩图。画弯矩图。第九章 渐 近 法【例例9】画下列两刚架的弯矩图。画下列两刚架的弯矩图。4m4m5m4m6mEFDq=20kN/mABC4EI5EI4EI3EIEI3

36、(a)(b)【解解】(a)为画有两个刚结点的无侧移刚架。为画有两个刚结点的无侧移刚架。(b)可以由对称性取半刚架计算。可以由对称性取半刚架计算。其中其中i1、i2值为相对线刚度。值为相对线刚度。 第九章 渐 近 法【解解】(a)ADBCEF0.40.30.3BA BE BCCDCFCB4/9 2/9 3/900+40-41.7+41.7 00MF-18.5 -9.3 -13.9-9.34.43.33.32.20-0.5-1.0-0.70-0.5000.15(可终止传递)M总分043.45 3.45 -46.924.4-9.8 -14.601.60.11.7-4.9-0.2-4.7配与传递0.1

37、5 0.20第九章 渐 近 法(b)【解解】ABFGABAF0.6 0.4BGBA0.4+32+48-80+4.8-40+16+9.6 +14.4(1/2)(1/2)-1.92-2.88-0.96+0.58+0.38+0.19-0.08-0.11(可终止传递)+25-25+35-35-40-48+2.88+0.11-85-40-0.58-14.4-55(-1)(-1)0.6第九章 渐 近 法【例例9】画下列两刚架的弯矩图。画下列两刚架的弯矩图。4m4m5m4m6mEFDq=20kN/mABC4EI5EI4EI3EIEI3(a)(b)ABCDEF43.446.924.414.6(62.5)(40

38、)1.74.99.826.818.33.45图(kNm)M第九章 渐 近 法力矩分配法小结：力矩分配法小结：1、单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到、单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。渐近解。3、进行力矩分配时，相邻结点不可同时放松，应逐个放松、进行力矩分配时，相邻结点不可同时放松，应逐个放松、传递。当结点较多（大于传递。当结点较多（大于3个）时，可以同时放松所有的不相邻个）时，可以同时放松所有的不相邻结点，以加快计算过程。结点，以加快计算过程。4、力矩分配法是一种增量渐近法，精度可以控制。一般当、力矩分配法是一种增量渐近法，精度可以控制。一般当传递力矩达到固

39、端弯矩的传递力矩达到固端弯矩的5以下时，即可终止计算，不再传递以下时，即可终止计算，不再传递力矩。力矩。2、力矩分配（放松结点）过程宜从结点不平衡力矩大的结、力矩分配（放松结点）过程宜从结点不平衡力矩大的结点开始，可加快收敛速度，且不平衡力矩要变号。点开始，可加快收敛速度，且不平衡力矩要变号。第九章 渐 近 法无侧移刚架无侧移刚架 基本未知量只含结点角位移；基本未知量只含结点角位移； 力矩分配法力矩分配法 求解无侧移刚架；求解无侧移刚架； 有侧移刚架有侧移刚架 基本未知量含有结点线位移。基本未知量含有结点线位移。 1. 1. 概述概述 1 1）两类刚架两类刚架 2 2）两类解法的用途两类解法的

40、用途 无剪力分配法无剪力分配法 求解符合某些特定条件的求解符合某些特定条件的 有侧移刚架。有侧移刚架。 9-4 9-4 无剪力分配法无剪力分配法第九章 渐 近 法 对于有侧移的一般刚架，力矩分配法并不能单独解算，对于有侧移的一般刚架，力矩分配法并不能单独解算，而必须与位移法联合求解。由于这样作并不简便，因此已很而必须与位移法联合求解。由于这样作并不简便，因此已很少采用。少采用。 但是，对于工程中常见的符合某些特定条件的有侧移刚但是，对于工程中常见的符合某些特定条件的有侧移刚架，根据力矩分配法的基本原理，提出了一个非常适用的手架，根据力矩分配法的基本原理，提出了一个非常适用的手算方法，即无剪力分

41、配法，它可以看作是力矩分配法的一种算方法，即无剪力分配法，它可以看作是力矩分配法的一种特殊情况。特殊情况。 该方法可极为简便地应用于计算在水平荷载作用下的单该方法可极为简便地应用于计算在水平荷载作用下的单跨多层对称刚架。跨多层对称刚架。第九章 渐 近 法2. 2. 无剪力分配法的应用条件无剪力分配法的应用条件 FPFPFPA ADDC CB B（a a）半刚架）半刚架A ADDC CB BF FP P2F2FP P3F3FP P（b b）柱剪力图）柱剪力图1）水平梁）水平梁 两端无相对线位移两端无相对线位移 2） 柱柱 剪力可由静力平衡求出剪力可由静力平衡求出 剪力静定柱剪力静定柱：柱两端虽有

42、侧移，柱两端虽有侧移，但其剪力可根据静力但其剪力可根据静力平衡条件直接求出。平衡条件直接求出。 满足条件才能用满足条件才能用无剪力分配法解无剪力分配法解 考察特殊的半刚架考察特殊的半刚架 第九章 渐 近 法A AB BB BC CC C A A（a a）原结构）原结构 2FP2FP（b b）正对称）正对称 FPFPFPFP= =+ +（d d）半刚架）半刚架 FPFPFPFPFPFP（c c）反对称）反对称 取取例：例：ABDCEFP（满足条件）（满足条件） 竖柱竖柱AB、CD不是剪力静定杆件，不是剪力静定杆件，不符合无剪力分配法的应用条件。不符合无剪力分配法的应用条件。 仅梁有轴力仅梁有轴力

43、FP 第九章 渐 近 法3. 3. 解题思路解题思路 qBA CABiqBA CBA C同同 （零剪力杆）（零剪力杆） FSBA=0BAC（等效图）（等效图） 求固端弯矩（查表）求固端弯矩（查表） 最后弯矩最后弯矩 柱侧移端修正为滑动柱侧移端修正为滑动 查表求解查表求解柱远端修正为滑动柱远端修正为滑动 力矩分配法求解力矩分配法求解 等效图虽有侧移，等效图虽有侧移， 但侧移不产生弯矩，但侧移不产生弯矩， 故可用力矩分配法；故可用力矩分配法； 因柱的剪力为零，因柱的剪力为零，故称故称无剪力分配法。无剪力分配法。 62qlMFBA32qlMFABFBAMBAM（分配、传递）BAM0FCBFBCMMF

44、BMFBMFBM第九章 渐 近 法 例例11 试求作图示刚架的弯矩图试求作图示刚架的弯矩图 解：梁解：梁BCBC无相对线位移，杆无相对线位移，杆ABAB为剪力为剪力 静定柱，可采用无剪力分配法。静定柱，可采用无剪力分配法。1 1）固端弯矩：）固端弯矩： FBC3M5kN4m3.75kN m16 mkNmmkNMFBA67. 264/12 mkN.mm/kNMFAB 3353412柱柱AB： （柱（柱B B端修正为滑动）端修正为滑动） 杆杆BC： （B B端固支端固支C C端铰支）端铰支） 第九章 渐 近 法2 2）转动刚度、分配系数）转动刚度、分配系数 传递系数传递系数CBA=1 （柱远端（柱

45、远端A A修正为滑动）修正为滑动） 3 3）力矩分配法计算图表）力矩分配法计算图表 第九章 渐 近 法无剪力分配法的基本步骤无剪力分配法的基本步骤下面以图下面以图(a)所示刚架为例说明无剪力分配法的基本步骤。所示刚架为例说明无剪力分配法的基本步骤。由静力平衡条件计算竖杆剪力，转化成图由静力平衡条件计算竖杆剪力，转化成图(b)所示的等效刚所示的等效刚架，显然有架，显然有FS1=F1 和和FS2=F1+F2。BACEDF1F2(a)取图取图(b)所示系统为研究对象计算固端弯矩。其中所示系统为研究对象计算固端弯矩。其中AB和和BC均均可看作一端固定一端定向支承的杆件，而可看作一端固定一端定向支承的杆

46、件，而BD和和CE可看作是一端固可看作是一端固定一端铰支的杆件。定一端铰支的杆件。BACEF1F1F2(b)F1+F2D注意：由于各竖杆都是定向支注意：由于各竖杆都是定向支承杆，杆端虽的水平侧向位移，但承杆，杆端虽的水平侧向位移，但不影响竖杆内力，因此对于图不影响竖杆内力，因此对于图(b)所所示等效刚架中的侧向位移可不作为示等效刚架中的侧向位移可不作为基本未知量。这是无剪力分配法的基本未知量。这是无剪力分配法的根本所在。根本所在。第九章 渐 近 法无剪力分配法的基本步骤无剪力分配法的基本步骤BACEDF1F2(a)BACEF1F1F2(b)F1+F2D注意区分剪力静定杆的滑动端与固定端。注意剪

47、力静注意区分剪力静定杆的滑动端与固定端。注意剪力静定杆上除承受本层荷载外，杆顶端还承受上层传来的剪力。定杆上除承受本层荷载外，杆顶端还承受上层传来的剪力。根据计算结果作结构的弯矩图。根据计算结果作结构的弯矩图。按无侧移刚架力矩分配法计算分配系数、分配弯矩、结点按无侧移刚架力矩分配法计算分配系数、分配弯矩、结点不平衡力矩、传递弯矩，并进行分配和传递计算最后杆端弯矩。不平衡力矩、传递弯矩，并进行分配和传递计算最后杆端弯矩。无剪力分配法只适用于结构中无剪力分配法只适用于结构中有线位移杆件的剪力是静定的一类有线位移杆件的剪力是静定的一类结构，或者当结构中除无侧移杆件结构，或者当结构中除无侧移杆件外，其

48、它杆件的剪力都能由静力平外，其它杆件的剪力都能由静力平衡条件确定时才能应用。衡条件确定时才能应用。无剪力分配法的应用条件无剪力分配法的应用条件第九章 渐 近 法 例例22 试求作图示刚架在水平力作用下的弯矩图试求作图示刚架在水平力作用下的弯矩图 mkN.m.kNMMFBAFAB 6633421mkN.m.kN.MMFCBFBC 52263512211 1）固端弯矩）固端弯矩 （柱侧移端修正为滑动）（柱侧移端修正为滑动） （下柱）（下柱） （上柱）（上柱） 4 48.58.5注意注意！(仅梁有轴力仅梁有轴力) 第九章 渐 近 法2 2）分配系数）分配系数 53.iSBABA 5BCBCiS 16

49、23BEBEiS 02060.BA 02930.BC 95010.BE 53.iSABAB 1623 ADADiS02110.AB 97890.AD （柱远端修正为滑动）（柱远端修正为滑动） 汇交汇交A A结点：结点：（B B滑动）滑动） 汇交汇交B B结点：结点：（A A、C C滑动）滑动） 3 3）力矩分配法计算图表）力矩分配法计算图表 半刚架图半刚架图 （梁长度减半（梁长度减半 加倍）加倍） i第九章 渐 近 法第九章 渐 近 法【解解】【例例】画弯矩图，杆侧圆圈内为杆件的相对线刚度。画弯矩图，杆侧圆圈内为杆件的相对线刚度。BACED20kN6m 4m20kN181518206mFS1B

50、CED20kN20kNAFS2计算竖杆剪力，显然有计算竖杆剪力，显然有FS1=20kN和和FS2=40kN。计算固端弯矩和结点不平衡力矩。计算固端弯矩和结点不平衡力矩。mkN6062021mkN12064021FCBFBCFBAFABMMMM0FBDFCEMMmkNMMMmkNMMMMFCBFCECFBDFBCFBAB60180计算分配系数。计算分配系数。15,5418320,54183CBCEBABDSSSS225. 0607. 0168. 0BABDBC217. 0783. 0CBCE第九章 渐 近 法【解解】BACED20kN6m 4m20kN181518206m列表进行列表进行分配传递

51、分配传递结点结点ECBAD杆端杆端ECCECBBCBDBAABDB固端弯矩固端弯矩-60-60-120-120分配系数分配系数0.783 0.217 0.1680.6070.225B分配传递分配传递-30.24 30.24109.2640.5-40.5C分配传递分配传递70.66 19.58 -19.58B分配传递分配传递-3.293.2911.884.41-4.41C分配传递分配传递2.580.71-0.71B分配传递分配传递-0.120.120.430.16-0.16C分配分配0.090.03杆端弯矩杆端弯矩073.33 -73.33 -46.64 121.57 -74.93-165.07

52、0求杆端弯矩。求杆端弯矩。M图图 (kNm)BACED165.0774.93121.5746.6473.3373.33画弯矩图。画弯矩图。第九章 渐 近 法【例例9-49-4】用无剪力分配法计算图示刚架用无剪力分配法计算图示刚架 i 2i 2i 4i 6i 6i 6kN10kN10kN10ACEGOPQm32m 2m 2m 2m 2m 2m kN10kN10kN10kN10kN10kN10m6 i 3i 3i 3i 2i 2i 4i 2i 2i 4第九章 渐 近 法（1 1）固端弯矩）固端弯矩mkNlFMPFAC54108181 mkNlFMPFCA154108383 i 2i 2i 4i 6

53、i 6i 6kN10kN10kN10ACEGOPQm3mkNlFlFMPPFCE2541021410812181mkNlFlFMPPFEC3541021410832183mkNlFlFMPPFCE4542021410812181mkNlFlFMPPFEC5542021410832183第九章 渐 近 法（2 2）分配系数）分配系数1 . 06322iiiAC9 . 063263iiiAO11163222iiiiCA11163222iiiiCE i 2i 2i 4i 6i 6i 6kN10kN10kN10ACEGOPQm3119632263iiiiCP6163424iiiiEG12163422i

54、iiiEC43634263iiiiEQ第九章 渐 近 法（3 3）力矩分配与传递）力矩分配与传递 结 点OAPCQEG杆 端OAACAOPCCACECPQEEGECEQGE分 配 系 数固 端 弯 矩-5-15-25-45-35-551E-6.7013.36.760-13.31A00.54.5-0.51C-4.304.34.338.6-4.32E-0.400.70.43.2-0.72A00.43.9-0.42C00.10.10.60-8.48.40-11.5-27.739.2-31-32.263.2-690第九章 渐 近 法例题例题 试用无剪力分配法计算图示刚架试用无剪力分配法计算图示刚架,

55、,绘绘M M图。图。 20kN20kNi2i4i4iABCDEBC20kNAB40kN63.5196.4944.5498.9544.5435.4444.5463.5196.4998.95M(kN.m)E EA ABC CCBCBCDCD0.077 0.9234000.0670.1330.840800BCBCBABABEBE8.0016968.03.6944.310.250.492.95163.690.250.490.020.2344.5444.5435.4463.5198.958096.49D DmkN4042021MMBCCBmkN8044021MMABBA0.923ii12i12SSSCBCDCDCD0.077ii12iSSSCBCDCBCB0.8i2ii12i12SSSSBABCBEBEBE0.067i2ii12iSSSSBABCBEBCBC0.133i2ii12i2SSSSBABCBEBABA20kN20kN20kN20kN20kN20kN20kN20kNAB4mC40kN40