微积分经管类2-1

1、第二章 导数与微分第一节 导数的概念一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬时速度瞬时速度.0gt 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置

2、割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直

3、线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如

4、果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函

5、数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(00 xxxfxf2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率

6、的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数

7、.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxf

8、xfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.,),(),()(000可导性可导性的的讨论在点讨论在点设函数设函数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存在存在xf 则则)(xf在在点点0 x可可导导，,

9、)(0存在存在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2c

10、os(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5

11、.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy四、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM)(,tan)

12、(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 04

13、4 yx即即. 01582 yx即即五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf0.x 在处不可导注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.例例.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxx

14、xxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法:

15、由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应

16、，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处可导，即处可导，即)(0 xf 存在，则存在，则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物体的运动规律为已知物体的运动规律为2ts ( (米米) )，则该物体在，则该物体在 2 t秒时的速度为秒时的速度为_ ._ .3 3、 设设321)(xxy ,

17、 ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 则则它们的导数分别为它们的导数分别为dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .练习题练习题4 4、 设设2)(xxf , ,则则 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 线曲 线xey 在 点在 点)1,0(处 的 切 线 方 程 为处 的 切 线 方 程 为_._.二、二、 在下列各题中均假定在下列各题中均假定)(0 xf 存在，按照导数的定存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出义观察下列极限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、证明：若三、证明：若)(xf为偶函数且为偶函数且)0(f 存在，则存在，则0)0( f. .四、四、 设函数设函数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k