第4章 机械振动与机械波(1)

1、 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 赵静赵静赵静赵静赵静赵静第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波4-1 简谐振动简谐振动 旋转矢量旋转矢量 简谐运动的能量简谐运动的能量kl0 xmoAA 弹簧振子的振动弹簧振子的振动00Fx一一 简谐运动简谐运动makxF0dd222xtxmk2令令)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo a 与与 x 方向方向相反相反xa2tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(

2、2tA)cos(2tAa)cos(tAx2 2 振幅振幅maxxA 3 3 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 角频率角频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意tx图图AAxT2Tto1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 4 4 相位相位t3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . ) 0( t) (2nn相差相差 为整数

3、为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同. .（周期性）周期性）20( ( 取取 或或 ) )tx图图AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAxvvvcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto 例例1 1 如图所示系统（细线如图所示系统（细线的质量和伸长可忽略不计），的质量和伸长可忽略不计），细线静止地处于铅直位置，重细线静止地处于铅直位置，重物位于物位于O O 点时为平衡位置点时为平衡位置. . 若把重物从平衡位置若把重物从平衡位置O O 略略微移开后放手微移开后放手, , 重物就在平衡重物就在平衡位

4、置附近往复的运动这一振位置附近往复的运动这一振动系统叫做动系统叫做单摆单摆. . 求求单摆小角单摆小角度振动时的周期度振动时的周期lmoA5lmoAmglmglMsin22ddtJmgl2mlJ lgt22dd222ddt)cos(mtlg2令令TFPglT2转动转动正向正向sin,5时时解解例：已知例：已知A=0.12m，T=2s。当。当t=0时，时，x0=0.06m，此时，此时， 质点沿质点沿x轴正向运动。轴正向运动。求：求： 1）谐振动方程）谐振动方程解：解： 1）因）因T=2s。于是。于是)(21 sT 将已知条件代入运动方程将已知条件代入运动方程)cos( tAx得得 cos0Ax

5、即即3 考虑到考虑到t=0时时30sin0 Av于是运动学方程为于是运动学方程为)3cos(12. 0 tx 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAcos0Ax 当当 时时0t0 xT2二二 旋转矢量旋转矢量 例例1 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释处停下后再释放，求简谐运动方程；放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20m

6、m05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，而是处时速度不等于零，而是具有向右的初速度具有向右的初速度 ， 求其运动方程求其运动方程. .2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；处时的速度；m/ xo0.05ox解解 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAxm 0 . 6cos05. 0toxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5

7、 3或tA3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；处时的速度；解解 m0707. 022020vxA1tan00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx)40 . 6cos(0707. 0t （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，而是具处时速度不等于零，而是具有向右的初速度有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .m05. 0 x10sm30. 0v因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知400

8、v)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）三三 简谐运动的能量简谐运动的能量 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简作简谐运动，其最大加速度为谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；解解 :2maxAaAamax1s20s314. 02TJ100 . 23222maxmax,k2121

9、AmmEvmax,kEE J100 . 23pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？J100 . 23max,kEs314.0T11A1xx04-24-2 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动

10、率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动3 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA2k)10( ， k相互加强相互加强相互削弱相互削弱) 12(k)10( ， k12 相位差相位差)cos(212212221AAAAA 波动波动 振动振动在空间的在空间的传播传播过程过程.机械波机械波电磁波电磁波经典波经典波机械振动在机械振动在弹性弹性介质中的传播介质中的传播.交变电磁场在空间的传播交变电磁场在空间的传播.两类波的两类波的不同不同之处之处v机械波的传播需有传播机械波的传播需有传播振动的振动的弹性弹性介质介质;v电磁波的传播可不需电

11、磁波的传播可不需介质介质.2能量传播能量传播2反射反射2折射折射2叠加性叠加性2干涉干涉2衍射衍射两类波的两类波的共同共同特征特征4-4 机械波机械波一一 机械波的形成机械波的形成 波长波长 周期和波速周期和波速 波是振动运动状态的传播，介质的质点波是振动运动状态的传播，介质的质点并不随波传播并不随波传播.注意注意 机械波机械波 ：机械：机械振动振动在在弹性介质弹性介质中的传播中的传播.（相位的传播）（相位的传播） 产生条件：产生条件：1）波源；）波源； 2）弹性介质）弹性介质.横波：质点振动方向与波的传播方向相横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直垂直的波的波.（仅在固体中传播（仅在固体中传

12、播 ） 特征：具有交替出现的波峰和波谷特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的波的波.（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部特征：具有交替出现的密部和疏部.OyAAux2 波长波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的的振动质点之间的距离振动质点之间的距离, 即一个完整波形的长度即一个完整波形的长度.2 波形图波形图 ：2 周期周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间：波前进一个波长的距离所需要的时间.TT1TuTuu2 频

13、率频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目的完整波的数目.2 波速波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）单位时间内所传播的距离（相速）.u注意注意波线波线 波面波面 波前波前*球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前波面波面波线波线 例例 在室温下，已知空气中的声速在室温下，已知空气中的声速 为为340 m/s ，水中的声，水中的声速速 为为1450 m/s，求频率为，求频率为200 Hz和和2000 Hz 的声波在空气中和的声波在空气中和水中的波长各为多少？水中的

14、波长各为多少？1u2um7 .1Hz200sm3401111um17. 0212um25. 7Hz200sm14501121um725. 0222u在水中的波长在水中的波长解解由由 ，频率为，频率为200 Hz和和2000 Hz 的声波在的声波在u空气中的波长空气中的波长),(txyy 各质点相对平衡位各质点相对平衡位置的置的位移位移波线上各质点波线上各质点平平衡衡位置位置 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波时，在介质中所形成的波.二二 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 平面简谐波：波面为平面的简谐波平面简

15、谐波：波面为平面的简谐波. 介质中任一质点（坐标为介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐）相对其平衡位置的位移（坐标为标为 y）随时间的变化关系，即）随时间的变化关系，即 称为波函数称为波函数.),(txy简谐波简谐波 1简谐波简谐波 2合成合成复杂波复杂波各种不同的简谐波各种不同的简谐波复杂波复杂波合成合成分解分解点点O 的振动状态的振动状态tAyOcos点点 Puxt t 时刻点时刻点 P 的运动的运动t-x/u时刻点时刻点O 的运动的运动 以速度以速度u 沿沿 x 轴正向传播的平轴正向传播的平面简谐波面简谐波 . 令原点令原点O 的初相为零，其振的初相为零，其振动方程动方程

16、 tAyOcos)(cos)()(0uxtAttytyP点点P 振动方程振动方程时间推时间推迟方法迟方法点点 P 比点比点 O 落后落后的相位的相位Opx2uxTuxxp22)(cosuxtAyp点点 P 振动方程振动方程tAyocos点点 O 振动方程振动方程 0,0 x 波函数波函数)(cosuxtAyPx*yxuAAO相位落后法相位落后法0,0 x)(cosuxtAy 沿沿 轴轴负负向向 ux)cos(tAyO点点 O 振动方程振动方程 波波函函数数 沿沿 轴轴正正向向 ux)(cosuxtAyyxuAAO 如果原点的初如果原点的初相位相位不不为零为零 平面简谐波波函数的其它形式平面简谐

17、波波函数的其它形式)(2cos)(xTtAx,ty)cos(),(kxtAtxy2k角波数角波数 质点的振动速度，加速度质点的振动速度，加速度)(sinuxtAtyv)(cos222uxtAtya 1）给出下列波函数所表示的波的给出下列波函数所表示的波的传播方向传播方向和和 点的初相位点的初相位.0 x)(2cosxTtAy)(cosuxtAy 2）平面简谐波的波函数为平面简谐波的波函数为 式式中中 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差的两点间的相位差.)cos(CxBtAyCBA,d)cos(CxBtAy)(2cosxTtAy

18、C2BT2CBTudCd2讨讨 论论),(向向x 轴轴正正向传播向传播),(向向x 轴轴负负向传播向传播2 波函数的物理意义波函数的物理意义)(2cos)(cosxTtAuxtAy 1 当当 x 固定时，固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点给出该点与点 O 振动的相位差振动的相位差.xux2（波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）),(),(Ttxytxy波形图波形图-波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动图 2 当当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形衡位置的

19、位移，即此刻的波形.t)(2cos)(cosxTtAuxtAy（波具有空间的周期性）（波具有空间的周期性）),(),(txytxy)2(2cosTtxAy2112211222xxx波程差波程差1221xxxx2 3 若若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（情况（行波行波）.tx,yxuOyxuOt时刻时刻tt时刻时刻xx),(),(xxttxt)(2cosxTtAyxTttux 讨论讨论：如图简谐波以：如图简谐波以余弦函数表示，余弦函数表示，求求 O、a、b、c 各点振动各点振动初相位初相位.)(OyxuabcAAt=T/4t =0o2a0b2c

20、OyAOyAOyAOyAcos2()txyAT 1）波函数波函数2 例例1 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振已知振幅幅 ， ， . 在在 时坐标原点处的时坐标原点处的质点位于平衡位置沿质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动轴正方向运动 . 求求 0tm0 . 2m0 . 1As0 .2T0,0tyyv00 xt解解 写出波函数的标准式写出波函数的标准式yAO1.0cos2()m2.02.02txy om/ym/x2.01.0-1.0 时刻波形图时刻波形图s0.1t1.03.02）求求 波形图波形图.m)sin( 0 .1xs0.1tm2cos0 .1

21、xy波形方程波形方程s0.1t,2, 1 ,0k0)sin(x)m(,2, 1 ,0 x* * * *1)sin(xm)5 . 02(kx* *1)sin(xm)5 . 12(kx*1.0cos2()m2.02.02txy 3） 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图 .m5 . 0 x)mcos(0 . 1ty 处质点的振动方程处质点的振动方程m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234*1234处质点的振动曲线处质点的振动曲线m5 . 0 x1.0m2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xty球球 面面 波波平平 面面 波波惠更斯原理：惠更斯原理：介质中波动传

22、播到的各点都可以看作是发射子介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前前. 4-54-5 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射和干涉波的衍射和干涉 O1R2Rtu 波的衍射波的衍射 水波通过狭缝后的衍射水波通过狭缝后的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播在障碍物的阴影区内继续传播. 波的衍射波的衍射二二 波的干涉波的干涉2 几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频几列波相遇之后，仍然保持它们各自原

23、有的特征（频、波长、振幅、振动方向等）不变波长、振幅、振动方向等）不变, 并按照原来的方向继续前进并按照原来的方向继续前进, 好好象没有遇到过其他波一样象没有遇到过其他波一样.（独立性独立性）2 在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和所引起的振动位移的矢量和.（叠加性叠加性）1 波的叠加原理波的叠加原理 频率相同、振频率相同、振动方向平行、相位动方向平行、相位相同或相位差恒定相同或相位差恒定的两列波相遇时，的两列波相遇时，使某些地方振动始使某些地方振动始终加强，而使另一终加强，而使另一些地方振动始终减些地方振动始终减弱的现象，称为弱的现象，称为波波的干涉现象的干涉现象.2 波的干涉波的干涉1s2sP*1r2r波源振动波源振动)cos(111tAy)cos(222tAy)2cos(1111rtAyp)2cos(2222rtAyp点点P 的两个分振动的两个分