第4章 恒定电流的磁场教材

1、第四章 恒定电流的磁场 第四章 恒定电流的磁场 磁场恒定磁场（Magnetostatics)实验表明：运动电荷或电流电流恒定不随时间变化对运动电荷或电流有力的作用第四章 恒定电流的磁场 4.1 真空中恒定磁场的基本方程真空中恒定磁场的基本方程*4.2 磁介质的磁化、介质中的场方程磁介质的磁化、介质中的场方程*4.3 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件*4.4 自感和互感自感和互感* 第四章 恒定电流的磁场 4.1 真空中恒定磁场的基本方程真空中恒定磁场的基本方程 主要内容：主要内容：l 磁磁 通通(量量)密度密度l 磁通密度的散度和磁通连续性原理磁通密度的散度和磁通连续性原理l 磁场强度和安

2、培环路定律磁场强度和安培环路定律第四章 恒定电流的磁场 4.1.1 磁磁 通通(量量)密度密度 图图 4-1 两电流回路间的相互作用力两电流回路间的相互作用力R1dl2dl1r2r 设真空中载有两个载有设真空中载有两个载有线电流线电流 回路回路C1、C2,电流电流I1dl1和和I2dl2分别为分别为C1、C2回路上的电流元，如图示。回路上的电流元，如图示。则电流回路则电流回路C1对对C2 作用力作用力F12为为第四章 恒定电流的磁场 1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律。) 114()(42112201221 RaldIldIFRCC安培力定律(Amper

3、es force Law )12rrRRRaR第四章 恒定电流的磁场 故定义： 1211014CRRaldIB31102212124RRldIuldIFCC 用场的观点解释安培力定律：电流回路之间的相互作用力是通过磁场来传递的 。 故力 应理解为第一个回路C1在空间产生磁场，第二个回路C2在这一磁场中受力，即12F线电流 其值只取决于电流回路C1的电流分布及源点到场点的距离矢量R，而与电流回路C2无关。-磁通密度第四章 恒定电流的磁场 )214(4)(20CRRalIdrB毕奥沙伐定律（ Biot - Savart Law ）表示载有恒定电流I的导线在场点(x,y,z)或r处所产生的磁通密度。

4、图图4-2 Q点电流元在点电流元在P点产生的场点产生的场rrRdlI0rr),(zyxQ),(zyxP 规定： r表示源点，r表示场点。如图4-2示，故有右手螺旋法则。遵循和注：RaBld,第四章 恒定电流的磁场 对体分布的电流)314() (4)(30dVRRrJrBV)414() (4)(30dSRRrJrBSS对面分布的电流 磁通密度B的单位 T（特斯拉，Tesla),或（wb/m2）。工程上，用高斯(Gaussion),1G=10-4T。第四章 恒定电流的磁场 【例4-1】一根长为2l的直导线沿z轴放置，通过z方向的电流为I，求其在周围产生的磁通密度。 解：如图，由于导线圆柱对称，采用

5、圆柱坐标系，则源点的位置坐标为(0,0,z),设场点的位置坐标为P(,z)。则电流元 到场点的距离矢量zazzazrR)(zy0Idzzxll),(zPzaarR12图4-3 载流导体产生的磁场zaIdzlId第四章 恒定电流的磁场 故P点的磁通密度为302044RdzaIRaaIdzCRzCBddzzzR2csccot,csc由图4-3 的几何关系得)cos(cos4sin4210021IadaIB故如果导线无限长，则 ，因此有21, 040IaB满足右手螺旋第四章 恒定电流的磁场 4.1.2 磁通密度的散度及磁通连续性原理磁通密度的散度及磁通连续性原理 1.磁通密度的散度)514() (4

6、)1() (4)314() (4)(0030dVRrJdVRrJdVRRrJrBVVV)614(0 B2)1(RaRR对场点作用0)()(rJAAA恒定电流产生的场是无散场或连续的场。0)(A-B的散度 恒等于零第四章 恒定电流的磁场 磁矢位：)714(AB0)(A0 B 一个散度为零的矢量可用另一个矢量的旋度来表示。恒定磁场中，规定 - -库仑规范0 A 当矢量场的散度和旋度同时确定时，矢量场才唯一确定。)814() (40dVRrJAV-磁矢位)914() (40dSRrJASS)1014(40CRldIA解题技巧：磁矢位的方向与电流方向一致，故当电流分布 已知，先求磁矢位，再求磁通密度。

7、第四章 恒定电流的磁场 【例4-2】求半径为a的微小电流环的磁矢位和磁通密度。 解：如图4-4，因为圆环及其磁场具有圆对称性，采用球坐标系，将待求场点P放在yz平面，不失普遍性。 电流环在P点产生的磁矢位为xyzlId0r)2,(rPrR图4-4 电流圆环产生的磁场VRdlIA40其中，)cossin(daaaIadaIlIdyx22sinsin2raarrrR第四章 恒定电流的磁场 球坐标系直角坐标系sin4sin4)cossin)(sinsin1 IaarIaadaararIaAxyx如果ra，则有)sinsin1 (11rarR 若令小电流环的面积为 的方向与电

8、流的方向呈右手螺旋关系。故小电流环的磁矢位为SSIpISpaSmm,2)1114(4sin420220raprIaaArm第四章 恒定电流的磁场 磁偶极子： 比较式(4-1-12)和静电场中电偶极子的电场表达式可知，二者之间具有对偶性。由此可知，一个微小的电流环路可以等效为一个磁偶极子。 为磁偶极矩。)1214()sincos2(430aarpABrm小电流环的磁通密度为SIpm 实验证实：一根微小的永久磁铁周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布是相同的。 即二者具有等效关系-对此如何解释呢？永久的磁铁两端分别存在正磁荷和负磁荷，这种虚构的磁荷带电量为qm，相隔距离为d便形成一个磁偶极子，其

9、磁矩为pm=qmd,从而也一定等效于电流回路的磁矩pm=IS S。第四章 恒定电流的磁场 如果S为闭合曲面， 则 SSdB)1414(0SVdVBSdB 穿过任意闭合曲面的磁通量等于离开此闭合面的磁通量，即磁通线永远是连续的。磁通连续性原理(或磁场中的高斯定律） 积分式2.磁通连续性原理通过任一曲面S上的磁通量(Magnetic Flux)为：)1314(SdBS散度定理第四章 恒定电流的磁场 定义：自由空间的磁场强度(Magnetic Intensity)H为 CIldH)1714(安培环路定律： 磁场强度沿任一闭合路径的线积分等于闭合路径所包围的电流。4.1.3 磁场强度和安培环路定律磁场

10、强度和安培环路定律）（或151400HBBHSSSdJSdH)()1814(JH斯托克斯定理恒定电流产生的磁场是有旋的。第四章 恒定电流的磁场 小结：小结：1.恒定磁场的基本方程：SSdB0IldHC0 BJH 积分式微分式磁通连续性原理安培环路定律2.求磁通密度B有三种方法： 1）根据定义式； 2）先求磁矢位，再求磁通密度； 3) 由安培定律求解。微分式从磁场求电流分布；积分式从对称分布的电流求出磁场。 第四章 恒定电流的磁场 【例例4-3】一根的无限长直导线载有电流I，试用安培定律求空间任一点的磁感应强度与磁通密度。 解解:由对称性，该电流产生的磁力线必然是同心圆，如图4-6。沿每个圆的磁

11、场强度值是相同的，因此对任意半径，有 IHdHldHC220因此，空间任一点的磁场强度为 磁通密度为IH图4-6 载流长直导线的磁场aIH2aIB20第四章 恒定电流的磁场 【例例4-4】无限长同轴电缆内导体半径为a，外导体内外半径分别为b和c。电缆中有恒定电流I流过(内导体上电流为I，外导体上电流为反方向的I)，求电缆内外空间的磁场。的直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。设内外导体间为空气。 解解:如图4-7，同轴电缆结构对称，磁场必然对称。即在半径为的圆柱上磁场只有方向且大小恒定，可用安培环路定律来计算。因此对任意半径，有 abc图4-7 同轴电缆的磁场IldHC第四章 恒定电

12、流的磁场 IHdHldHC220在 a c的区域内0220IIHdHldHC所以0, 0HH即即同轴电缆外的磁场为零。第四章 恒定电流的磁场 【例例1】半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。 解解:由对称性，该电流产生的磁力线必然是同心圆，如图4-6。沿每个圆的磁场强度值是相同的，因此对任意半径，有 SCSdJHdHldH220在导线内电流均匀分布， 导线外电流为零，则 02aIaJz a a IH图4-8 载流长直导线的磁场第四章 恒定电流的磁场 当ra时，包围电流为I2/a2，所以22222aIHaIH当ra时，积分回路包围的电流为I，则有 故磁通密度为 rIaa

13、IaB22020 a a 22IHIH第四章 恒定电流的磁场 4.1.4 矢矢 量量 泊松方程泊松方程ABAB000 A库仑规范JA02磁矢位的泊松方程02 A拉普拉斯方程 在直角坐标系下， 可以展开为（了解）zz2yy2xx2JA;JA;JAJA2第四章 恒定电流的磁场 VzzVyyVxxdVRJAdVRJAdVRJA4,4,4000与静电场中泊松方程对比，可写出磁矢位的解：写成矢量形式：VdVRJA40若磁场由面电流产生时，SSdSRJA40线电流产生的磁矢位为 lRlIdA40第四章 恒定电流的磁场 磁通的计算也可以通过磁矢位表示： )453()(SCSldASdASdB注：每个电流元产

14、生的磁矢位 与此元电流 ， ， 具有相同的方向。AVJdSdJslId 例例 4 - 5 （略）第四章 恒定电流的磁场 螺线管的磁通密度：最大在螺线管线的中心。 抗磁体(Diamagnetic)：感受轻微推斥力的物质 顺磁体(Paramagnet)：受到轻微力量拉向中心的物质- 铁磁体(Ferromagnetic )：被磁力吸进去的物质 -4.2 磁磁 介质的磁化、介质中的场方程介质的磁化、介质中的场方程非磁性物质-例所有的有机化合物和大部分无机化合物例金属、铝、铜等。例铁、磁铁矿等F铁=5000F顺第四章 恒定电流的磁场 4.2 磁磁 介质的磁化、介质中的场方程介质的磁化、介质中的场方程 1

15、. 磁偶极子：分子中的电子以恒速围绕原子核做圆周运动形成电流，它相当于一个微小电流环，等效为磁偶极子。 2. 磁矩： I分子电流，电流方向与 方向成 右手螺旋关系SSIpam图 4-10 分子磁偶极矩 SmpaI第四章 恒定电流的磁场 3. 物质极化过程磁偶极子未加磁场时,各分子磁矩的取向随机而互相抵消,对外不成磁性。BBsbJ图4-11 磁偶极子的排列外加磁场作用下，各分子磁矩沿磁场方向排列，加强了加强了原来的磁场原来的磁场。媒质中磁偶极子的有序排列，相当于沿媒质表面流动的电流(束缚电流或磁化电流）。它在媒质内部产生一个附加场。第四章 恒定电流的磁场 )224(lim0VpMmV4. 磁化强

16、度定义： 即介质内单位体积内的分子磁矩。它是一个宏观物理量，定量描述介质磁化程度的强弱。 和极化电流计算公式的推导过程相似，由磁矢位的计算公式可以推导处磁化电流表达式，为) 524()424(nMJMJSbb等效体电流密度等效面电流密度其中， 是磁化介质表面的外法向。n第四章 恒定电流的磁场 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应，故有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化电流共同作用在真空中产生的磁场。即)(00MHBMHJJBb对于线性各向同性的磁介质， 与 之间的关系为MH)824(HMmm是一个无量纲常数，称为磁化率。第四章 恒定电流的磁场 )924()1 ()(000HHHMH

17、Brmmr1是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；r0是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。本构关系，表示磁化介质的磁化特性。第四章 恒定电流的磁场 总结：总结： 磁介质中恒定磁场基本方程磁介质中恒定磁场基本方程 HBJHB（有旋）（无源）0SCSISdJldHSdB0JA2微分式积分式磁矢位微分方程恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡旋源第四章 恒定电流的磁场 例例1 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流 和磁化面电流 。 bJSbJ 解解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合， 磁介质的下底面位

18、于z=0处，上底面位于z=L处。此时， ，由式(3 -52)得磁化电流为 zeMM00)(0zbeMMJ第四章 恒定电流的磁场 在界面z=0上，0)(0zzSbeeMnMJ在界面z=L上， 00zzSbeeMnMJ在界面r=a上， eMeeMnMJrzSb00zenzen ren 第四章 恒定电流的磁场 例例2 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I， 两导体之间介质的磁导率为，求各区域的 、 、 。 同轴线示意图 HBM 注：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。 解：解： 因同轴线为无限长，则其磁场

19、沿轴线无变化， 该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。第四章 恒定电流的磁场 分别在各区域使用介质中的安培环路定律 ，求出各区的磁场强度 ， 然后由 求出 和 。 当ra时， 电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得 22 aIreH)(ar CSSdJldH222raIrH此区域的磁导率为0，可得 0,20200HBMaIreHB(r a) (r a) HBMH第四章 恒定电流的磁场 当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，可得 ,2,2rIeBrIeHrIeM200(arb) 当bc时，此区域的 、 、 为零。 HBM第四章 恒定电流的磁场 4.3 恒定磁场的边

20、界条件恒定磁场的边界条件 在不同磁介质的分界面上，磁场是不连续的。 和 经过界面时会发生突变。场矢量在不同磁介质的界面上的变化规律叫做边界条件。 本节由恒定磁场的基本方程的积分式导出恒定磁场的边界条件。求解过程和电场边界条件的解法相似。 BH第四章 恒定电流的磁场 图4-12 Bn的边界条件 1.磁通密度 法向分量BHSS由SSdB0假设圆柱体的高度h0 ，则得nnBB12写成矢量形式为 0)(12BBn 上式说明磁通密度的法向分量在磁通密度的法向分量在两种介质的分界面上是连续的两种介质的分界面上是连续的。标量式第四章 恒定电流的磁场 图 4-12 Ht的边界条件 2.磁场强度 切向分量H由介

21、质中积分形式的安培环路定律 得 CSSdJldHSJHHn)(12 上式说明：磁场强磁场强度的切向分量在界面两度的切向分量在界面两侧不连续。除非分界面侧不连续。除非分界面上的面电流密度为零。上的面电流密度为零。0SJ若 ，则SJ0)(12HHn或ttHH12第四章 恒定电流的磁场 【例4-6】设x0的半空间磁导率为0,现有一无限长直电流I沿z轴正向流动，且处在两种媒质的分界面上，如图示，求两种媒质中的磁通密度和磁化电流的分布。 解解：因为线电流位于两种媒质的分界面上，所以分界面上的磁场方向与分界面垂直。设在x0的半空间的磁通密度和磁场分别为 。则根据安培环路定律： 图4-13 两种媒质中的磁通

22、密度01B1H2B2HxzI11HB 和22HB 和CIldH第四章 恒定电流的磁场 IHH21 另在两种媒质的交界面上磁通密度的法向分量连续，即满足边界条件： BBB21再利用媒质的本构关系：02211,BHBH故)(00IB 由于导体媒质是均匀的，故导体内部无磁化电流；在两种媒质的分界面上，磁场与分界面垂直，故没有磁化电流；但在电流与媒质的接触面上，存在磁化电流Ib，根据安培定律：)(2)(00bCbIIBIIldBIIrrb11第四章 恒定电流的磁场 4.44.4自自 感感 和互和互 感感 主要内容：磁通和全磁通； 磁链自感和互感第四章 恒定电流的磁场 1. 磁通和全磁通磁通和全磁通：

23、在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量也是与电流成正比。 如果一个回路是由一根导线密绕成N匝组成，则穿过这个回路的总磁通（称为全磁通）等于各匝的磁通之和。也就是一个密绕线圈的全磁通等于与单匝线圈交链的磁通和匝数的乘积。第四章 恒定电流的磁场 2. 磁链磁链：全磁通又称磁链(Magnetic Flux Linkage)。 3.自感自感(Self-Inductance)： 若穿过回路的磁链 是由回路本身的电流I产生的，则磁通 与电流I的比值定义为自感。即) 144(ILCSldASdB其中，单位：H（亨利） 自感取决于回路的形状、尺寸、匝数和媒质的磁导率形状、尺寸、匝数和媒质的磁导率，与回路的电流无关。自感计算的一般步骤：LIBHA设SB ds第四章 恒定电流的磁场 4. 互感互感 如果两个彼此靠近的回路C1、C2，电流分别为I1、I2，假设，用12表示载流回路C1的磁场在回路C2上产生的磁链。则12与I1的比值称为互感，即 同样可以定义互感M21，即 ）（44411212IM)644(22121IM互感的大小也取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率和回路的匝