材料力学chap5

1、材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-1 纯弯曲纯弯曲5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力5-4 弯曲切应力弯曲切应力5-5 关于弯曲理论的基本假设关于弯曲理论的基本假设5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-1 纯弯曲纯弯曲 CD段剪力为零，弯矩为常段剪力为零，弯矩为常量，该段梁的变形称为纯量，该段梁的变形称为纯弯曲。弯曲。AC、BD段梁的内力既有弯段梁的内力既有弯矩又有剪力，该段梁的变矩又有剪力，该段梁的变形称为横力弯曲。形称为横力弯曲。材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲

2、应力弯曲应力梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验实验现象：横向线实验现象：横向线( (a b）变形后仍为直线，但有转动；纵向线）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，仍垂直于变形后的梁轴线。仍垂直于变形后的梁轴线。材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力中性层：梁内一层纤维既不伸中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中应力和压应力，

3、此层纤维称中性层。性层。中性轴：中性层与横截面的交中性轴：中性层与横截面的交线。线。假设假设平平面面假假设设纵纵向向纤纤维维间间无无正正应应力力材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力1.1.变形几何关系变形几何关系MMm2n2s sys sLyyEsO1O2 a2dxn2m2n1m1O曲率中心曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性层中性层z中性轴中性轴y对称轴对称轴oa2a1yd dq qd dl ld dq qxe2e1qqqlqlyddydxdydxdaaaaaaydd212121材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲

4、应力弯曲应力2.2.物理关系（胡克定律物理关系（胡克定律) )syEEMs smins smaxMs smins smax材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力AzAyANMdAyMdAzMdAFsss00dAyz(中性轴中性轴)xzyOs sdAM0AAydAEdAs中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心MdAyEdAyMAAz2szEIM13.3.静力关系静力关系材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：，分别为： zcztIMyIMy2max1maxss，zzWMyIM)/(|maxmax

5、smax/ yIWzz抗弯截面模量抗弯截面模量。 4.4.纯弯曲梁横截面上的应力纯弯曲梁横截面上的应力( (弯曲正应力弯曲正应力) )： 距中性层距中性层y处的应力处的应力zIMys材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力矩形截面：矩形截面：62/1223bhhIWbhIzzz5.5.三种典型截面对中性轴的惯性矩三种典型截面对中性轴的惯性矩实心圆截面实心圆截面642/6444ddIWdIzzz截面为外径截面为外径D、内径、内径d(a a=d/D)的空心圆的空心圆: )1 (322/)1 (644344aaDDIWDIzzz材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-3 横力弯曲

6、时的正应力横力弯曲时的正应力弯曲正应力分布弯曲正应力分布ZIMys弹性力学精确分析表明，当跨度弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之比之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。式对于横力弯曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyMs横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力弯曲正应力公式适用范围：弯曲正应力公式适用范围： 线弹性范围线弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限s sp； 精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁； 对于横力弯曲的细长梁对于横力弯曲的细长梁

7、(跨度与截面高度比跨度与截面高度比L/h5)，上述公式的误差不大，但公式中的，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。函数。材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 IyMzmaxmaxmax1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttssmax,ccssmax,3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzI材料力学材料力学 第五章第五章 弯

8、曲应力弯曲应力 根据强度条件可进行：根据强度条件可进行：强度校核强度校核:maxss截面设计截面设计:maxsMWz确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载:zWMmaxs材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4733Z10832. 51218012012mmbhI解：解：例例5-3-15-3-1：求图示梁（：求图示梁（1 1）C C 截面上截面上K K点正应力；（点正应力；（2 2）C

9、 C 截面上最大正应力；（截面上最大正应力；（3 3）全梁上最大正应力；（）全梁上最大正应力；（4 4）已知已知E=200GPaE=200GPa，C C 截面的曲率半径截面的曲率半径材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力2. 2. C C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC C 截面惯性矩截面惯性矩47Z10832. 5mmIMPa55.9210832. 52180106073ZmaxmaxIyMCCsMPa7 .6110832. 5)302180(106073ZKCKIyMs（压应力）（压应力）材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力3.

10、3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxMMPa17.10410832. 52180105 .6773ZmaxmaxmaxIyMs材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力4. 4. C C 截面曲率半径截面曲率半径C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC C 截面惯性矩截面惯性矩47Z10832. 5mmImmMEI4 .194106010832. 510200673CZC材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力例例5-3-25-3-2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重已知电葫芦自重 ，

11、起重量，起重量 ，跨，跨度度 ，材料的许用应力，材料的许用应力 。试选择。试选择工字钢的型号。工字钢的型号。MPa140skN7 . 61FkN502Fm5 . 9l材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据 sszWMmaxmax计算计算 33663maxcm962m109621014045 . 910)507 . 6(sMWz （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢3cm962zWkg/m6 .67q材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力例例5-

12、3-3：已知已知16号工字钢号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，s s=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘，在梁的下边缘C点沿轴点沿轴向贴一应变片，测得向贴一应变片，测得C点轴向线应变点轴向线应变 ，求求F并校核梁正应力强度。并校核梁正应力强度。6c10400 CNO.16FABa2/ llz材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力MPa841040010210) 163CCEs解：kN4 .47N104 .471014125. 025. 025. 0)(36FFWFWMFalFMzzCCBCsMPa126Pa1012610141108 .17mkN8 .17

13、41)2663maxmaxmaxsszWMFLMCFABa2/ ll材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力例例5-3-45-3-4：T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图型截面铸铁梁，截面尺寸如图, , , ,试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa30tsMPa60cs材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：材料力学材料力学 第

14、五章第五章 弯曲应力弯曲应力（4 4）B B截面校核截面校核 ttssMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max,ccssMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图kN.m5 .2kN.m4材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttssMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图 ttssMPa2 .27max,ccssMPa1 .46m

15、ax,kN.m5 .2kN.m4材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力例例5-3-5：图：图a所示为横截面如图所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴截面对于中性轴z 的惯性矩的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图。已知图a中，中，b=2 m。铸铁的许用拉应力。铸铁的许用拉应力s st=30 MPa，许用压应力，许用压应力s s c=90 MPa 。试求梁的许可荷载。试求梁的许可荷载F。(a)(b)材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到st，则下边缘处最大压

16、应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力sc，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。tt56. 186134ss31ctss材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。B截面：zzBIFIMm1086m22m108633maxt,sC截面：zzCIFIMm10134m24m1013433maxt,s第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力Pa1030m105493m1086m226483F 当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很

17、多。 于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力st的条件来求该梁的许可荷载F：由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力讨论：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是讨论：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。上述尺寸比例接近最佳比值。bhd解：解：bhd222Wbhz26b db()226Wbdbz22620由此得由此得bd3

18、hdbd2223hd2材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-4 弯曲切应力弯曲切应力一一、矩形梁横截面上的切应力、矩形梁横截面上的切应力 1、公式推导：、公式推导： n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxbAyyx xdxxM+dMMFSFSs ss s+ds st ty t t t tmnmmdx xt tyt tA材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力Fs(x)+dFs(x)M(x)M(x)+d M(x)Fs(x)dxs s1xyzs s2 2t tt tbzzAzANIMSAyIMAFdd1szzNISMMF)d(2zzszzbISFbISxMddt

19、由剪应力互等由剪应力互等zzbIQSy*)(tt)4(2)2(2222yhbyhbyhAySczdxbFFNNt12材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力tt5 . 123maxAFs)4(222yhIFzs矩tFst t方向：与横截面上剪力方向相同；方向：与横截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的最大剪应力为平均剪应力的1.51.5倍。倍。材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力二、其它截面梁横截面上的剪应力二、其它截面梁横截面上的剪应力其中其中Fs为截面剪力；为截面剪

20、力；Sz 为为y点以下的面积对中性轴之静矩；点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对为整个截面对z轴之惯性矩；轴之惯性矩；b 为为y点处截面宽度。点处截面宽度。1 1、研究方法与矩形截面同；剪应力的计算公式亦为：、研究方法与矩形截面同；剪应力的计算公式亦为：zzbIQS*t材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力2 2、工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力腹板腹板翼缘翼缘在腹板上：在腹板上：bISFZZs*t8)(822maxhbBBHbIFZst8822minhBBHbIFZstminmaxttssFF)97. 095. 0(1bhFstbBh Hy材料力学材料力学 第五章第

21、五章 弯曲应力弯曲应力 在翼缘上，有平行于在翼缘上，有平行于Fs的剪应力分量，分布情况的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。 在翼缘上，还有垂直于在翼缘上，还有垂直于Fs方向的剪应力分量，它方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。截面上的大部分弯矩。材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力3 3、圆截面梁的剪应力、圆截面梁的剪应力AFs34ma

22、xtbISFZZsy*t下面求最大剪应力：下面求最大剪应力：sFzy材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力三、弯曲剪应力强度条件三、弯曲剪应力强度条件*maxmaxmaxttbISFZZs材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力例例5-4-1：矩形矩形(b h=120 180mm2)截面木梁如图，截面木梁如图，s s=7MPa，t t=0. 9 M Pa，试求最大，试求最大正应力正应力和最大剪应力之比和最大剪应力之比,并校核梁的强并校核梁的强度。度。N54002336002maxqLFsNm4050833600822maxqLMxM

23、+82qLFs2qL2qL+xq=3.6kN/mABL=3m材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度应力之比应力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzts7MPa6.25MPa 18012010405066232maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa. 15 . 1maxmaxttAQ材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力例例5-4-2： T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知s sc=100MPa，s st=50MPa，t t=40MPa，yc=

24、17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：。求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、点的正应力、切应力；切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。校核梁的正应力、切应力强度条件。CABm1kN1kN/m1m1m140401010yczE材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力CABm1kN1kN/m1m1m140401010yczE1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_kN75. 1kN25. 0CAFF，mkN25. 0mkN5 . 0kN1kN75. 0,BCCSCSMMFF，右左2）作梁的）作梁的Fs和和M图图1）求支座反力：）求支座反力：材料力

25、学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力MPa1 . 210102 .18)5 .12400(1075. 0)(MPa6 .20102 .185 . 7105 . 0)343*,46bISFIyMzzCSEzECE左拉ts该梁满足强度要求该梁满足强度要求yzcCCyLzcCCLyzcBByLzcBBLMPaIyMMPaIyMMPaIyMMPaIyM2 .89)05. 0(0 .480 .246 .44)05. 0()4ssssssss材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力MPa9 . 21010102 .18102/)50(1010154923*maxmaxmaxttczzS，yb

26、ISF5)切应力强度校核：5)切应力强度校核：该梁满足强度要求该梁满足强度要求材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力例例5-4-3：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m1m。胶合面的许可切应力为胶合面的许可切应力为 t t胶胶=0.34MPa=0.34MPa，木材的，木材的 s s =10MPa=10MPa， t t =1MPa=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。Fl100505050z材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 ss21maxmax6bhlFWMz1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可

27、载荷按正应力强度条件计算许可载荷 SF FM Fl 3.75kNN375010006150100106221lbhFs ttbhFAFS2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/15010023/22bhFtFl解：解：材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 gZZSbhFbbhhbFbISFtt341233323*g4.4.按胶合面强度条件计按胶合面强度条件计算许可载荷算许可载荷 3.825kNN3825434. 01501003433gbhFt5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825. 3kN

28、10kN75. 3minminiFFFl100505050z材料力学材料力学 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-5 关于弯曲理论的基本假设关于弯曲理论的基本假设 在导出纯弯曲正应力的计算公式时，引用了两个假在导出纯弯曲正应力的计算公式时，引用了两个假设：（设：（1）平面假设；（）平面假设；（2）纵向纤维间无正应力假）纵向纤维间无正应力假设设 。假设材料仍是线弹性的，对于横力弯曲问题，。假设材料仍是线弹性的，对于横力弯曲问题，按纯弯曲正应力的计算公式将会导致计算误差。按纯弯曲正应力的计算公式将会导致计算误差。)4(222yhIFzs矩t)4(222yhGIFGzs矩t可见上、下表面无切应变，中性层最大。切应可见上、下表面无切应变，中性层最大。切应变沿高度方向呈抛物线变化，可见这势必使横变沿高度方向呈抛物线变化，可见这势必使横截面不能保持平面，而引起翘曲。截面不能保持平面，而引起翘曲。材料力学材料力学 第五