第八章 位移法4

1、合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院18-1 概述概述8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构 8-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤8-5 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程直接由平衡条件建立位移法基本方程8-6 8-6 对称性的利用对称性的利用合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院28-1 8-1 概述概述已有的知识：已有的知识：（2 2）静定结构的内力分析和位移计算；）静定结构的内力分析和位移计算；（1 1）结构组成分析；）结构

2、组成分析；（3 3）超静定结构的内力分析和位移计算）超静定结构的内力分析和位移计算力法。力法。已解得如下单跨已解得如下单跨超静定梁的结果超静定梁的结果: :ABAB合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院38-1 8-1 概述概述合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院48-1 8-1 概述概述位移法：位移法：以结点的位移以结点的位移(角位移和线位移角位移和线位移）为基本未）为基本未知量知量, 运用结点或截面的平衡条件运用结点或截面的平衡条件建立位移法方程建立位移法方程求出未知位移求出未知位移利用位移与内力之间确定的关系计算利用位移与内力之间确定的关系计

3、算相应的内力。相应的内力。力法力法与与位移法位移法是计算超静定结构的两种基本方法。是计算超静定结构的两种基本方法。 力法：力法：以未知力为基本未知量以未知力为基本未知量, ,运用位移协调条件建立运用位移协调条件建立力法方程力法方程, ,求出未知力求出未知力, ,计算出全部的内力和相应的位移。计算出全部的内力和相应的位移。 在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。一、位移法的提出一、位移法的提出合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程

4、学院58-1 8-1 概述概述 位移法位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。构的超静定次数少，采用位移法比较简单。 结点结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力力 法：法：六个未知约束力。六个未知约束力。 位移法：位移法：一个未知位移一个未知位移（B）。ACDlll/2lEI=常数常数BF合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院68-1 8-1 概述概述CB

5、l/ l/Fl22三次超静定图示刚架三次超静定图示刚架 力力 法：法：三个未知约束力。三个未知约束力。ACBl/ l/F22 B B位移法：位移法：一个未知位移（一个未知位移（B）。）。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院78-1 8-1 概述概述位移法的基本假定：位移法的基本假定： （1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。形和剪切变形的影响。 （2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保是微小的（此即小变形假设），

6、直杆两端之间的距离保持不变。持不变。注意：注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。减少基本未知量，简化计算。 力法与位移法必须满足的条件：力法与位移法必须满足的条件：1. 力的平衡力的平衡; ; 2. 位移的协调位移的协调; ;3. 力与位移的物理关系。力与位移的物理关系。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院88-1 8-1 概述概述 将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：端弯矩为：8284FllEIMFllEIMBCBBBCBABBBAl

7、EIMlEIM24（8-1）ABF B B B BACBl/ l/F22 B Bl 二、位移法思路二、位移法思路B为为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。 由变形协调条件知，各杆在结点由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移端有共同的角位移B。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院98-1 8-1 概述概述ACBl/ l/F22 B Bl ACBl/ l/ABBFF22 B B B B B BBCMBAM考虑结点考虑结点B的平衡条件的平衡条件, ,将将（8-1）代入式（代入式（8-2）得）得0844FllEIlEIBB于

8、是于是 EIFlB6420BCBAMM（8-2）由由MB=0，有有 将将B 回代入公式回代入公式 (8-1) 则各杆的杆端弯矩即可则各杆的杆端弯矩即可确定。然后可利用叠加法作出原结构的确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。弯矩图。再再利用平衡条件作出剪力图和轴力图。利用平衡条件作出剪力图和轴力图。 合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院108-1 8-1 概述概述位移法思路：位移法思路： 1、设定设定某些结点的位移某些结点的位移为基本未知量，取为基本未知量，取单个杆件作为计算的基本单元；单个杆件作为计算的基本单元； 2、将、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示单个杆件的杆

9、端力用杆端位移表示, , 而各杆端位移与其所在结点的而各杆端位移与其所在结点的位移相协调位移相协调； 3、由、由平衡条件平衡条件求出基本位移未知量，由此求出基本位移未知量，由此可求出整个结构（所有杆件）内力。可求出整个结构（所有杆件）内力。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院118-1 8-1 概述概述提出问题：提出问题： 1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷载、温度等因素作用下的内力。载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求用力法可以求得得) 2、哪些结点位移哪些结点位移作为基本未知量。作为基本未知量。 3、如何确定基本未知量、如

10、何确定基本未知量(求出位移求出位移)。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院128-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 FPxy 本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度改变本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力结果。和支座移动共同作用下单跨梁的内力结果。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院138-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 ( (2) )杆件转角杆件转角以顺时针为正以顺时针为正, ,反之为负。杆件两端在垂反之为负。杆件两端在垂直直于杆轴方向上的相对线位移于杆

11、轴方向上的相对线位移AB（侧移侧移）以使杆件顺时）以使杆件顺时针转动为正针转动为正, ,反之为负。反之为负。 ABAB AB位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：MMqF (1) 杆端弯矩杆端弯矩以顺时针为正以顺时针为正, ,反之为负。对反之为负。对结点或支座结点或支座而言而言, ,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉纤维一则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉纤维一侧。剪力的规定同前侧。剪力的规定同前。 A B合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院148-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 FPxy取简支

12、梁基本结构取简支梁基本结构11112212112222ABXXXX1. 先求杆端位移引起的弯矩先求杆端位移引起的弯矩 作出作出 、 、 （略）（略）1M2MR11223lEI12216lEI 12ABl 解出解出 12426ABABEIEIEIXlll22246ABABEIEIEIXlll合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院158-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 FBAABABBAFABABBAABMliiiMXMliiiMX62462421其中：其中：lEIi 称杆件的称杆件的。转角位移方程转角位移方程(刚度方程刚度方程) 荷载等外因荷载

13、等外因引起的弯矩成为引起的弯矩成为固端弯矩固端弯矩，同样，同样可用力法求解，表示可用力法求解，表示 ， 。FFABBAMM2. 荷载等外因引起的弯矩荷载等外因引起的弯矩 由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院168-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 ABBA两端固定梁两端固定梁一端固定、一端铰支梁一端固定、一端铰支梁一端固定、一端定向支承梁一端固定、一端定向支承梁 仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材料性质有

14、关的常数，一般称为材料性质有关的常数，一般称为形常数形常数。列于表。列于表(8-1) 。 用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基本结构为以下法的基本结构为以下三种三种单跨超静定梁单跨超静定梁:仅由荷载产生的杆端内力称为仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力固端内力。列于表。列于表(8-1) 。AB合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院17 AMAB几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程（1 1）远端为固定支座）远端为固定支座 AMABMBA因因 B = 0，代入，代入(1)(1)式可得式可得6462A BAB

15、AAiMiliMil（2 2）远端为铰支座）远端为铰支座因因MBA = 0，代入代入(1)(1)式可得式可得33ABAiMil426(1)246ABABBAABMiiilMiiil AMABMBA（3 3）远端为定向支座（一端滑动）远端为定向支座（一端滑动）代入（代入（2 2）式可得）式可得12AlABABAAMiMi 因0,0BAABBQQ26612(2)SABSBAABiiiFFlll lEIlEIlEI因0,0BSABSBAFF由由(1)(1)式可知式可知)3(21ABABl合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院18由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。由单位杆端位

16、移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAFAB= FSBA4i2i=1ABAB1212lili 6li 6li 6AB10li 3AB=13i023liAB=1i-i0li 38-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院193、由荷载求固端反力、由荷载求固端反力MFABEIqlFSABFFSBAF28ABFqlM 5838FSABFSBAFqlFql 28BAFqlM 3858FSABFSBAFqlFql EIqlSABFFSBAFMFBA由荷载引起的杆端力称为载常数。由荷载引起的杆

17、端力称为载常数。8-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院208-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 表表8-1要求记忆的内容：要求记忆的内容：12合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院21349、10、11、12、17 自己去画自己去画8-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院228-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构结点角位移基本未知量数目结点

18、角位移基本未知量数目= =刚结点的数目。刚结点的数目。 注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的距离保持不变。端之间的距离保持不变。一、一、位移法基本未知量的确定位移法基本未知量的确定 铰结点处铰结点处( (包括铰支座处的铰结点包括铰支座处的铰结点) )的角位移，在计的角位移，在计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移独立的结点角位移和独立的结点线位移123456 注：如附属部分有刚结注：如附属部分有刚结点，则此刚结点的角位移不作点，则此刚结点的角位移不作为

19、基本未知量。为基本未知量。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院23 2. 确定独立结点线位移的方法确定独立结点线位移的方法 观察法、换铰法观察法、换铰法。 结构有结构有1个独立的线位移个独立的线位移（Z3），），2个独立的结点个独立的结点角位移角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。），共三个位移法的基本未知量。观察法观察法8-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院24只需增加一根链杆，只需增加一根链杆， 1 1个独立的线位移个独立的线位移 对于不易观察的结构用对于不易观察

20、的结构用换铰法换铰法。 先将原结构的每一个刚结点先将原结构的每一个刚结点( (包括固定支座包括固定支座) )都变成铰结都变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位何不变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位移的数目。移的数目。8-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构注：换铰法不适合于具有平行于杆轴的可动铰支座的刚架。注：换铰法不适合于具有平行于杆轴的可动铰支座的刚架。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院25位移

21、法的基本未知量的数目为位移法的基本未知量的数目为6个。个。 需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。变形后两端之间的距离不能看作是不变的。 需增加两根链杆，需增加两根链杆， 2个独立的线位移。个独立的线位移。ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222结构有四个刚结点结构有四个刚结点四个结点角位移。四个结点角位移。8-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院261408-3 8-

22、3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院27思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？ 答：结点答：结点1和和2的水平线位移都是独立的，独立的水平线位移都是独立的，独立结点线位移数目应为结点线位移数目应为2。EA oo1122默认状态默认状态: : EI 不等于无穷大不等于无穷大, , EA 等于无穷大。等于无穷大。8-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院28qZZ1231Z12Z2

23、qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本未知量基本未知量: : 结点结点1 1的转角的转角Z1和水平线位移和水平线位移Z2。二、位移法的基本结构二、位移法的基本结构 基本结构基本结构：对原结构添加一定数量的附加约束所得到的对原结构添加一定数量的附加约束所得到的没有结点位移没有结点位移( (铰结点的角位移除外铰结点的角位移除外) ) 的单跨梁的组合体。的单跨梁的组合体。1. 基本结构的概念基本结构的概念8-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院29qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2

24、Z1基本结构1232. 基本结构的确定基本结构的确定 2)附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动，不附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动，不控制结点转动。控制结点转动。 1) 附加刚臂附加刚臂 ( (用符号用符号“ ”“ ”表示表示) ) 只控制结点转只控制结点转动，不控制结点移动。动，不控制结点移动。qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本结构1238-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院30 例：确定图例：确定图a a所示连续梁的基本结构。所示连续梁的基本结构。基本结构BCD

25、AABCD（图图a）基本结构ABCDABCD（图图b） 在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。数目。 8-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院318-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院32 EI8-3 8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院338-3 8-3 位移法的

26、基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院348-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 基本体系基本体系是指基本结构在荷载和独立节点位移共是指基本结构在荷载和独立节点位移共同作用下的体系。同作用下的体系。 基本未知量基本未知量结点结点B 转角转角B B ，设其为，设其为Z Z1 1 。在结点。在结点B 附加刚臂得基本结构。附加刚臂得基本结构。 原结构原结构基本结构基本结构一、位移法的基本方程一、位移法的基本方程 1. 无侧移刚架无侧移刚架基本体系基本体系 合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木

27、与水利工程学院358-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 2) 人为给予结点人为给予结点B以转角以转角B , ,由于转角而引起附加由于转角而引起附加刚臂的附加反力矩刚臂的附加反力矩R11。 在基本结构上分别考虑：在基本结构上分别考虑：CBl/ l/FFR =R + R ZZ221111P1ZlBCBAAA11C基本体系基本体系 ABABCCF ZZZRR = Z单独作用Z1F r1111111P11 单独作用F+ += =1) 荷载引起的附加刚臂中的反力矩荷载引起的附加刚臂中的反力矩R1P。由线形体系的叠加原理得到位移法基本体系由线形体系的叠加原理得到位移法基本体

28、系. .合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院368-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 设设r11为单位转角为单位转角Z1=1时所引起的附加刚臂上的反时所引起的附加刚臂上的反力矩，则力矩，则 R11=r11Z1 ，将其代入公式（将其代入公式（8-38-3）得：）得：思考：基本体系与原结构有何不同？思考：基本体系与原结构有何不同？ 原结构在结点原结构在结点B处并没有附加刚臂，因而也没有附处并没有附加刚臂，因而也没有附加反力矩。加反力矩。 思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原结构结构完全等价完全等价？

29、要使基本体系与原结构完全相等，必须要有要使基本体系与原结构完全相等，必须要有 R1=0 R1=R11+R1P=0=0 即：即： R11+R1P=0 (-3） R 的下标的下标: : 第一个下标表示产生附加反力矩的位置，第一个下标表示产生附加反力矩的位置， 第二个下标表示产生附加反力矩的原因。第二个下标表示产生附加反力矩的原因。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院378-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤=1244211r11ABCBr1Ziii4i4iiM1r11Z1+R1P=0 （-4） -求解基本未知量求解基本未知量Z1的位移法方程。的

30、位移法方程。求系数求系数 r11作基本结构当位移作基本结构当位移 Z1=1 时的弯矩图（时的弯矩图（ 图）。图）。 1M=1244211r11ABCBr1Ziii4i4iiM1i=EI/l 称为该杆的线刚度。称为该杆的线刚度。0BM取结点取结点B为隔离体，由力矩平衡条件为隔离体，由力矩平衡条件04411iir得得 lEIir8811合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院388-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 求自由项求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩图，作出基本结构在荷载作用时的弯矩图(MP图图) )。利用力矩平衡条件利用力矩

31、平衡条件MB=0， 得得 8P1FlR 注意：注意：系数系数r11和自由项和自由项R1P的正负号规定：它们都与的正负号规定：它们都与 转角转角 Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。的正向一致时为正，即顺时针为正。 ABCBFlFlFlRRF8881P1PABCBFlFlFlRRF8881P1P0取结点取结点B为隔离体为隔离体合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院398-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤将系数将系数r11和自由项和自由项 R1P代入位移法方程式（代入位移法方程式（-4）有）有0881FlZlEIEIlFZ6421得得叠加法绘制

32、叠加法绘制结构的弯矩图。结构的弯矩图。ABCZ =ri4i2i21111i41MABCrRFlFFl881PPMAC532PF l64PF l16PF l16PF l32P9F lMpMMZM11合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院408-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤ZEI=常数ll/l/ZF12342Z2122Z13124EI=常数/2l/2llF2. 有侧移刚架有侧移刚架 图示刚架，图示刚架，在荷载作用下该刚架将发生虚线所在荷载作用下该刚架将发生虚线所示的变形。示的变形。 合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学

33、院41 以图以图(a)(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的方程及具体计算步骤。的方程及具体计算步骤。FL2l2l1234EI=常数常数 基本未知量为基本未知量为: :Z Z1 1、Z Z2 2 。Z1Z2基本结构如图基本结构如图(b)(b)所示。所示。(a)原结构原结构(b)基本结构基本结构1234=Z1Z2R1=0=0FR1附加刚臂上的反力矩附加刚臂上的反力矩R2附加链杆上的反力附加链杆上的反力据叠加原理据叠加原理,=Z1R211234134FR2P12234则有则有R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+

34、R2P=0R22R2R12R11R1PZ2(c)(c)基本体系基本体系8-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院428-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤在小变形线弹性条件下，根据叠加原理可得在小变形线弹性条件下，根据叠加原理可得 00P222212P112111RRRRRRRR（-5） 设设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆的约束反力，附加链杆的约束反力r21；Z2=1时附加刚臂的约束反力矩时附加刚臂的约束反力矩r12 ，附加链杆的约束，附加链

35、杆的约束反反力力r22，则则11111ZrR21212ZrR12121ZrR22222ZrR 将将R11、R12、R21、R22 代入位移法方程式（代入位移法方程式（-5）的）的得得位移法位移法典型方程典型方程( (基本方程基本方程) )00P2222121P1212111RZrZrRZrZr（-6） 位移法典型方程的物理意义：位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和各结点基本结构在荷载和各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力和反力矩等于零位移共同作用下，各附加约束中的反力和反力矩等于零, ,反反映了原结构的静力平衡条件。映了原结构的静力平衡条件。 合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大

36、学土木与水利工程学院438-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤二、位移法典型方程二、位移法典型方程对于具有对于具有 n n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n n 个方程：个方程：r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0 (8-7） 在上述典型方程中，在上述典型方程中，r riiii 称称为为主系数主系数，r rijij(ij(ij) ) 称为称为副系数副系数。R RiPiP称称为自由项

37、。主系数恒为正，副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互为自由项。主系数恒为正，副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理副系数等定理副系数 r rijij=r=rjiji (ij)(ij)。 由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加联系由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加联系的反力的反力( (或反力矩或反力矩) )，结构刚度愈大，这些反力，结构刚度愈大，这些反力( (或反力矩或反力矩) )愈大，故这些系愈大，故这些系数又称为结构的数又称为结构的刚度系数刚度系数。因此位移法典型方程又称为结构的。因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程刚度方程，位移法也称为

38、位移法也称为刚度法刚度法。 注意：系数和自由项与注意：系数和自由项与 该附加联系所设位移方向一致者为正。该附加联系所设位移方向一致者为正。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院448-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 由刚度系数由刚度系数rij 组成的矩阵称为结构组成的矩阵称为结构刚度矩阵刚度矩阵。000PP2P121212222111211nnnnnnnnRRRZZZrrrrrrrrr写成矩阵形式写成矩阵形式位移法方程也称位移法方程也称刚度方程刚度方程（-）合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院451121ZZ、以及

39、载荷作用下的弯矩图以及载荷作用下的弯矩图21MM 、 为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表8-18-1，绘出基，绘出基本结构在本结构在和和M MP P图：图：13421342134211Z图1M4i2i3i图2Mli 6li 6li 312ZFMP图8Pl 系数和自由项可分为两类：系数和自由项可分为两类：附加刚臂上的反力矩附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和、和R 1P；是附加链杆上的反力是附加链杆上的反力 r21、r22和和R2P。 r21r22R2P(a)(b)(c)可分别在图可分别在图(a)、(b)、(c)中取结点中取结点1为隔离体，

40、为隔离体，111 r113i4ir120R1P08Pl由力矩平衡方程由力矩平衡方程M1=0求得：求得：r11=7i ,lir612R1P=8Pl。r11=7i ,Li 6r12R1P=8FL，对于附加链杆上的反力，可分别在图对于附加链杆上的反力，可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表8-1查出杆端查出杆端剪力，剪力，121212 li 60 212li23li 2F0由方程由方程FX=0求得求得r21=Li 6222Li15rR2P=F/2 r21r22R2PR 1Pr12 r118

41、-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤继续求解继续求解合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院46将系数和自由项代入典型方程将系数和自由项代入典型方程(8-6)(8-6)有有126708iFLiZZL12261502iiFZZLL解此方程得解此方程得19552FLZi，2222552FLZi所得均为正值，说明所得均为正值，说明Z Z 1 1、Z Z2 2与所设方向相同。与所设方向相同。最后弯矩图由叠加法绘制：最后弯矩图由叠加法绘制：P2211MZMZMM例如杆端弯矩例如杆端弯矩M M3131为为231962225525528FLiFLFLMiiL

42、i183552FL M图绘出后，图绘出后，Fs 、FN图即可由平衡条件绘出图即可由平衡条件绘出.8-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其方最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其方法与力法中所述一样，这里从略。法与力法中所述一样，这里从略。图图FlM123455227Fl552183Fl55260F55266合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院478-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤根据根据弯矩图弯矩图可作出简力图和轴力图。可作出简力图和轴力

43、图。 图图FlM123455227Fl552183Fl55260F552661234图图FFS552486F5526666552F27F552图图FN1234F55266F55227F5522721F55266F55266校核，校核， 结点满足力矩平衡条件。结点满足力矩平衡条件。 取横梁取横梁12为隔离体，为隔离体，它满足剪力平衡条件，可以判它满足剪力平衡条件，可以判断所得结果正确。断所得结果正确。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院488-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 对计算结果的正确性，应进行校核。由于位对计算结果的正确性，应进行

44、校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形连续条件，移法在确定基本未知量时已满足了变形连续条件，位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。平衡条件进行校核。 注意注意: :合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院498-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤三三、位移法典型方程计算结构的步骤位移法典型方程计算结构的步骤 (1) 确定基本未知量确定基本未知量即原结构的独立结点角位即原结构的独立结点角位移和线位移移和线位移; ; (2) 建立基本结构建立基本结构在原结构上增设与基本未知在原

45、结构上增设与基本未知量相应的附加约束，限制结点的角位移和线位移，得量相应的附加约束，限制结点的角位移和线位移，得到位移法基本结构到位移法基本结构;(3) 建立位移法典型方程建立位移法典型方程; ; (4) 计算典型方程中系数和自由项计算典型方程中系数和自由项; 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下的基本结构的弯矩图，由平衡条件求出和荷载作用下的基本结构的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。各系数和自由项。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院508-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步

46、骤 (6) 作作内力图内力图；根据；根据 ，按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。PMZMZMZMMnn2211(7) 校核。校核。按平衡条件进行校核。按平衡条件进行校核。 (5) 解算典型方程解算典型方程；求出作为基本未知量的各结点；求出作为基本未知量的各结点位移位移Z1、Z2 、Zn 。思考：位移法能用于计算静定结构吗？思考：位移法能用于计算静定结构吗？ 能！凡是具有未知结点位移的结构能！凡是具有未知结点位移的结构, , 不管是静定不管是静定或是超静定或是超静定, , 都可

47、以用位移法求解。位移法比较适宜都可以用位移法求解。位移法比较适宜于编制通用计算程序于编制通用计算程序 , ,进行大规模的工程计算。进行大规模的工程计算。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院51例例 试用位移法分析图示刚架。试用位移法分析图示刚架。（1 1）基本未知量）基本未知量（2 2）基本体系）基本体系计算杆件线性刚度计算杆件线性刚度i，设设EI0=1，则则1440IElEIiABABAB21,43,1,1CFBECDBCiiii4m4m5m4m2mq=20rN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20rN/mABCDFE4I05I04

48、I03I03I0Z 1Z 2Z3Z 1、 Z 2、Z38-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院52Z 1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3 3）位移法方程）位移法方程r11Z 1+ r12Z 2+ r13Z 3+F1P=0 r21Z 1+ r22Z 2+ r23Z 3+F2P=0 r31Z 1+ r32Z 2+ r33Z 3+F3P=0 （4）计算系数：）计算系数：r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r333241.53r11=3+4+

49、3=10r12=r21=2r13=r31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Z 2=1r22=4+3+2=9r23=r32=?8-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院53Z 3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8r33=(1/6)+(9/16)=35/48r31=r13= 9/8r32=r23= 1/2（5）计算自由项：）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=

50、20rN/m(1/8) 2042=40(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=08-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院54（6 6）建立位移法基本方程）建立位移法基本方程12312312391021.70812941.702913508248ZZZZZZZZZ（7 7）解方程求结点位移：）解方程求结点位移：（8 8）绘制弯矩图）绘制弯矩图1122PMM ZM ZM1230.944.941.94ZZZ ABCDFEM图图（kNm）18.642.847.826.7

51、23.814.953.68.93.97（9 9）校核）校核结点及局部杆结点及局部杆件的静力平衡件的静力平衡条件的校核。条件的校核。8-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院55 例例: :图示刚架的支座图示刚架的支座A A产生了水平位移产生了水平位移a a、竖向位移、竖向位移b=4ab=4a及转角及转角 =a/L=a/L，试绘其弯矩图。，试绘其弯矩图。ABCEI2EILLAa 解：解：基本未知量基本未知量 Z Z 1 1( (结点结点C C转角转角) )；Z 1基本结构如图示；基本结构如图示；ABCZ 1基本

52、结构基本结构建立位移法典型方程：建立位移法典型方程：r11Z1+R1=0为计算系数和自由项，作为计算系数和自由项，作图1M和和M M图图( (设设EI/L=i) EI/L=i) ABCZ 1=1图1Mb8i4i3iABCM图 基本结构由于支座位移产基本结构由于支座位移产生的固端弯矩可由转角位移方程生的固端弯矩可由转角位移方程和和( (由表由表8-1)8-1)查得查得i20)a(L) i 2(6) i 2(4MFACi16)a(L) i 2(6) i 2(2MFCAi12)a4(Li 3)b(Li 3MFCB20i16i12i8i3i由由图1M求得求得 r11=8i+3i=11i由由M M图求得

53、图求得12i16iR1=16i+12i=28iR1 r11R1合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院56将上述系数和自由项代入典型方程将上述系数和自由项代入典型方程便有便有11iZ1+28i=0解得解得Z1=1128刚架的最后弯矩图为刚架的最后弯矩图为MZMM11ABCABCZ 1=1图1M8i4i3iABCM图20i16i12i例如：例如： MAC= 4i1128+20i=i11108i11108i1148M图R18-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院578-5 8-5 直接由平衡

54、条件建立位移法基本方程直接由平衡条件建立位移法基本方程 用位移法计算超静定刚架时，需加入用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆附加刚臂和链杆以取得以取得基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩( (或反力或反力) )等于零的条件，等于零的条件，建立位移法的基本方程。建立位移法的基本方程。 我们也可以不通过基本结构，直接由我们也可以不通过基本结构，直接由平衡条件平衡条件建立位移法基本方程。建立位移法基本方程。举例说明如下举例说明如下取结点取结点1 1，由，由M M1 1=0=0；截取两柱顶端以上横梁部分，由截取两柱顶端以上横梁部分，由F FX X=0

55、(=0 (见图见图) )得：得：M1=M13+M12=0 (a)FX =FS13+FS24=0 (b)iiiF1234F2L2LLiiiM12M13112FS24FS13合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院588-5 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程直接由平衡条件建立位移法基本方程取结点取结点1 1，由，由M M1 1=0=0及截取两柱顶端以上横梁及截取两柱顶端以上横梁部分，由部分，由F FX X=0 (=0 (见图见图) )得得M1=M13+M12=0 (a)FX =Fs13+Fs24=0 (b)iiiM12M13112FS24FS131 1、确立基本未知量、

56、确立基本未知量; ;2 2、按照转角位移方程，将各杆端力表示为、按照转角位移方程，将各杆端力表示为 基本未知量的函数；基本未知量的函数；)28(624624FBAABABBAFABABBAABMliiiMMliiiM3112628iFlMiZZl1312648iFlMiZZl1123iZM2423ZliM)38(33FABABAABMliiM3 3、建立弯矩平衡方程、建立弯矩平衡方程; ;0013121MMM126708iFliZZl合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院598-5 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程直接由平衡条件建立位移法基本方程4 4、建立剪力平

57、衡方程、建立剪力平衡方程; ;1331132SMMFFl 1226122iZiFZll 4224223SMiFZll 21215602iZiFZll 由此所得的典型方程：由此所得的典型方程：FS13FS24FS24FS42FS13FS31F126708iFLiZZL12261502iiFZZLL这与这与8-48-4节所建立的典型方程完全一样节所建立的典型方程完全一样. .可见，两种方法本质相同，只是处理方法上不同。可见，两种方法本质相同，只是处理方法上不同。iiiF002413SSxFFF合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院608-5 8-5 直接由平衡条件建立位移法基

58、本方程直接由平衡条件建立位移法基本方程直接由平衡条件建立位移法方程小结直接由平衡条件建立位移法方程小结(1)(1)确定位移法的基本未知量。确定位移法的基本未知量。（铰结点、铰支座的转角，定向支座的侧移铰结点、铰支座的转角，定向支座的侧移不作为基本未知量）。不作为基本未知量）。(2)(2)由转角位移方程列杆端弯矩表达式。由转角位移方程列杆端弯矩表达式。(3)(3)由平衡条件列位移法方程。由平衡条件列位移法方程。(4)(4)解方程，求结点位移。解方程，求结点位移。(5)(5)将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。(6)(6)校核。校核。合肥工业大学

59、土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院618-6 8-6 对称性的利用对称性的利用 奇数跨对称刚架、在对称荷载作用下，变形是奇数跨对称刚架、在对称荷载作用下，变形是对称分布的，对称分布的，在对称轴上的截面在对称轴上的截面C 没有转角和水平没有转角和水平位移，但可有竖向位移。半边结构位移，但可有竖向位移。半边结构C 处取为滑动支处取为滑动支承端。承端。一、受对称荷载作用一、受对称荷载作用 qC(a)qC(b)合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院628-6 8-6 对称性的利用对称性的利用 偶数跨对称刚架，在对称荷载作用下，变形是对偶数跨对称刚架，在对称荷载作用下

60、，变形是对称分布的，称分布的，在对称轴上，截面在对称轴上，截面C 没有转角和水平位移，没有转角和水平位移，中柱没有弯矩和剪力，在忽略杆中柱没有弯矩和剪力，在忽略杆中柱中柱轴向变形，截面轴向变形，截面C 竖向位移被忽略，半边结构竖向位移被忽略，半边结构C 端为固定支座。端为固定支座。CqqC 在在对称荷载作用对称荷载作用下，取一半结构后，利用下，取一半结构后，利用位移法位移法分析比较方便。分析比较方便。合肥工业大学土木与水利工程学院合肥工业大学土木与水利工程学院638-6 8-6 对称性的利用对称性的利用F/2F/2F/2F/2F/2F/2 奇数跨对称刚架，在反对称荷载作用下，变形奇数跨对称刚架