B样条曲线曲面

1、nikiitNPtP0,)()(), 1 , 0(niPi)(,tNkiOtherwisetxttNiii01)(11 ,)()()(1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiiki000knknnnkktttttttt,11110)(,tNki876543210,tttttttttotherwisettttNkiiki0,0)(,ninkkittttN011,1)()(1)(1)(1, 111,1,tNttktNttktNkiikikiikiki图3.1.23 三次均匀的B样条曲线图3.1.24 准均匀三次B样条曲线图3.1.25 三次分段Bezier曲线,21k

2、ntttT,1iittt), 1(ikijPj),(kiitt,1iitttnikttii1),(1ikiPP,1iCiC,)() 1()()()(111,1110,0,nkkiniikiiinikiinikiittttNttPPktNPtNPtPninkkiittttNPAtPA011, )()(321,iiiiPPPP21,iiiPPP21,iiiPPP3itiP1iP2iP3iP)(tP(a)四顶点共线iP1iP2iP3iP4iP三重顶点二重顶点(b)二重顶点和三重顶点iP1iP2iP1iPiP1iP2iP3iP(c)二重节点和三重节点(d)三顶点共线图.1.26 三次B样条曲线的一些特

3、例,)()()()()()(11,2111111, 111,11,0,jjkijkjiiikikiiikiijkjikiikikikiikiiijkjikiinikiittttNPttttPtttttNtttttNttttPtNPtNPtP jrkjrkjikrtPtttttPttttjkjkjirPtPriirkirkiriirkiiiri, 2, 1; 1, 2 , 1),()(, 2, 1, 0,)(111jkjikiijkjikiitNtPtNPtP21,11,)()()()(nkjjjjkjkjkjkjkjkjPPPPPPPPPPPPP121231331221211ririPP1 r

4、iPjkjkjPPP 21)(1tPkj1kjP2kjPjP12kjP13kjP1jP23kjP2jP34kjP1 kjP图3.1.28 B样条曲线的deBoor算法的几何意义1,iitt11121111101,1kniiittttttTkniittttttT,11011iP101,1)()(njkjtNPtPj1, 1 , 2 ,)1 (1, 1 , 0 ,11111nrijPPrikijPPPkijPPjjjjjjjjjjkjjjtttt11kiP2kiP3kiP1iPiP12kiP13kiP1iP图3.1.30 实线框中k个新顶点取代虚线框中k-1个原始顶点0P1P2P3P11P12P1

5、3P1t2t3t4t5t6tt图3.1.31 三次B样条曲线插入一个节点,43ttt0P1P2P3P11P1t2t3t4t5t6tt图3.1.32 三次B样条曲线插入一个节点)(32ttt,;)()()()()(111, 111,11,0,jjjkjikiikikikiikiiijkjikiinikiittttNtttttNttttPtNPtNPtP,65ttkniittttttT,110111121111101,1kniiittttttT,10pmuuuU,10qnvvvVminjqjpiijvNuNPvuP00,)()(),()(,uNpi)(,vNqjijP00P10P20P30P01P

6、11P21P31P02P22P12P32P03P23P33P图3.1.33 双三次B样条曲面片nikiitNPtP0,)()()()()(1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiikiknknnnkktttttttt,11110nikiinikiinikiiitRPtNtNPtP0,0,0,)()()()(njkjjkiikitNtNtR0,)()()(nikiuR0,1)(i,kiitttiPtP)(), 1 , 0)(,(niyxPiiiiiinikiitNPtP0,)()(nikiinikiiitNtNPtP0,0,)()()(yxw0P1P2P)(tP0P

7、1P2P)(tP1图3.1.34 平面NURBS曲线齐次坐标表示), 1 , 0)(,(nizyxPiiiiiiiiiiiBNB,1 , 0, 1, 0iii)0;(itPB) 1 , 0;(),;(1iiitPBtPN);(iitPPiiiPBBPBN)1 ()1 (iiiiiBBBPBNNP:1:1B0P1P2P3P4P5PiBN图 3.1.35 NURBS 曲线中的权因子的作用 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0T2210222211002)1 (2)1 ()1 (2)1 ()(ttttPtPttPttP2021sfCsfC1sfC), 1 ( sfC) 1 , 0(sfC0sf

8、CsfC1P2P0P椭圆抛物线双曲线图3.1.36 圆锥曲线的 NURBS表示N图 3.1.37 修改权因子iPSBS*i*)(1,*dSPtRdikii110, )()(nknikiittttRPtPnikiikiikitNWtNWtR0,)()()(11,mlllPPPTziyixii),( 111,0,1,10, )()()()()()()(nkmllikiinikiinmlikiimllikiiilikiittttRtRPtRPtRPtRPtP12Minmllii)(12smlliitPTL1, 1,),(2)(,1,mlllitRtRSTskiimlliskii),()()(12,STtRtRmlljskjskii1, 1,mllli)(,skitRST 10232)(dtPPPdskpE dtPpE2)(,)2()(222dudvPPPPEvvuvuu 1 , 0,),()()()()(),(00