预测与决策--8增长曲线预测法G

1、第第 五五 章章 趋势外推预测方法趋势外推预测方法 趋势外推预测原理趋势外推预测原理当预测对象依时间变化当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，呈现某种上升或下降的趋向，且无明显的季节波动时，且无明显的季节波动时，若能找到一条若能找到一条合适的函数合适的函数曲线曲线反映这种变化趋势，就可用时间反映这种变化趋势，就可用时间t t为自变量，为自变量，时序数值时序数值y y为因变量建立趋势模型为因变量建立趋势模型 y yf(tf(t) )如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在上式如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在上式中赋予变量中赋予变量t t 在未来时刻的一个具体数值，可以得在未来时刻

2、的一个具体数值，可以得到相应时刻的时间序列未来值。这就是趋势外推法。到相应时刻的时间序列未来值。这就是趋势外推法。 趋势外推法的假设条件： (1) (1)假设事物发展过程假设事物发展过程没有没有跳跃式变化跳跃式变化，即事物的发展变，即事物的发展变化是渐进型的。化是渐进型的。 (2)(2)假设所研究假设所研究系统的结构、系统的结构、功能等基本保持不变功能等基本保持不变，即假定，即假定根据过去资料建立的趋势外推根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。趋势变化的情况。基本思想基本思想v第一节第一节 直线模型预测法直线模型预测法v第二节第二节 指数

3、曲线预测模型指数曲线预测模型 v第三节第三节 修正指数曲线预测模型修正指数曲线预测模型v第四节第四节 龚伯兹曲线预测模型龚伯兹曲线预测模型 v第五节第五节 罗吉斯曲线预测模型罗吉斯曲线预测模型第一节第一节 直线趋势模型直线趋势模型v 直线预测模型为：直线预测模型为：tyabt式中：式中：a代表当代表当t=0时的预测值。时的预测值。直线预测模型的特点是：一阶差分为常数直线预测模型的特点是：一阶差分为常数b。 直线预测模型中参数直线预测模型中参数a、b的求法可采用的求法可采用“最小二乘法最小二乘法”或或“折扣最小平方和法折扣最小平方和法”。1tttyyyb第一节第一节 直线趋势模型直线趋势模型年份

4、年份199819992000200120022003200420052006时间时间432101234销售量销售量265297333370405443474508541一阶差分一阶差分3236373538313433采用最小二乘法求参数的方法与步骤同前。采用最小二乘法求参数的方法与步骤同前。 例例1：某市：某市19982006年某产品销售量如表所示，试预年某产品销售量如表所示，试预测测2007年销量。年销量。解：采用最小二乘法，代入相关公式得解：采用最小二乘法，代入相关公式得36364049tyan2209234.8760ttybt40434.87yt所求方程为：所求方程为：2007578.3

5、5y例例1的点估计：的点估计：21()32.9342.169192ntttyyySnm0.025(7)2.365t2020072211()yttyt Sntt计算结果为：（计算结果为：（572.01，584.69）预测区间：预测区间：05,0tt第一节第一节 直线趋势模型直线趋势模型v折扣最小平方和法折扣最小平方和法 最小二乘法的缺陷：把远期误差与近期误差最小二乘法的缺陷：把远期误差与近期误差的重要性等同看待。的重要性等同看待。 为了克服上述缺陷，常采用为了克服上述缺陷，常采用“折扣最小平方折扣最小平方和法和法”，进行合理的加权，对近期误差比对，进行合理的加权，对近期误差比对远期误差给以较大的

6、权重。远期误差给以较大的权重。折扣最小平方和法折扣最小平方和法v 折扣最小平方和法就是对误差平方在进行指数折扣加折扣最小平方和法就是对误差平方在进行指数折扣加权后，使其总和达到最小。权后，使其总和达到最小。21min:()nn ttttQyy为折扣系数，为折扣系数，01效果分析：效果分析： 1、越近期的数据权重越大，越远期数据权重越小；、越近期的数据权重越大，越远期数据权重越小； 2、折扣程度视、折扣程度视 值大小而异：值大小而异：越接近越接近0，折扣程度越大；，折扣程度越大；越接近越接近1，折扣程度越小；，折扣程度越小；折扣最小平方和法折扣最小平方和法v折扣最小平方和法的参数估计：折扣最小平

7、方和法的参数估计：21min:()nn ttttQyy21()nn tttyabt上式对上式对a和和b分别求偏导，整理得：分别求偏导，整理得：1112111nnnn tn tn tttttnnnn tn tn tttttyabttyatbt上述方程组可求出上述方程组可求出a和和b 的值。的值。折扣最小平方和法折扣最小平方和法0.8v例例2：对例：对例1的数据试用折扣最小平方和法进行计算的数据试用折扣最小平方和法进行计算 （ ），预测），预测2007年销量。年销量。解：列表进行计算，得到方程组：解：列表进行计算，得到方程组：1958.74464.328927.684413349.934727.6

8、844200.8408abab解得：解得：231.1832,34.6034ab模型为：模型为：231.183234.6034tyt 将各年将各年t值代入，可得各年的追溯预测值（见计算表），值代入，可得各年的追溯预测值（见计算表），并计算标准误差：并计算标准误差：21()15.71651.498492nn ttttyyySnm折扣最小平方和法折扣最小平方和法2007577.22y预测：以预测：以t0=10值代入模型，计算得：值代入模型，计算得：0.0250(7)2.365,1027.68446.39524.3289n tn ttttt2()23.7933n ttt20200722121()yn

9、tttytnSntt预测区间为：预测区间为：计算结果为：（计算结果为：（572.66，581.78）第二节第二节 指数曲线指数曲线指数曲线指数曲线第二节第二节 指数曲线指数曲线指数曲线模型差分计算表指数曲线模型差分计算表结论：指数曲线的结论：指数曲线的一阶环比为常数一阶环比为常数 。be例例3：某城市近：某城市近5年来电视机的家庭拥有率的抽样调查数年来电视机的家庭拥有率的抽样调查数据见表。试建立指数增长预测模型，并预测第据见表。试建立指数增长预测模型，并预测第6年的拥有率。年的拥有率。 ln4.18360.62514.1836.6251abyt ln0.40.67yy 第第6年的拥有率年的拥有

10、率第二节第二节 指数曲线指数曲线修正指数曲线图修正指数曲线图第三节第三节 修正指数曲线修正指数曲线第三节第三节 修正指数曲线修正指数曲线时序（t） ttabky 一阶差分一阶差分 （1ttyy） 一阶差分比率一阶差分比率)(211ttttyyyy 1 abk 2 2abk ) 1( bab 3 3abk ) 1(2bab 4 4abk ) 1(3bab b t-1 1tabk ) 1(2babt b t tabk ) 1(1babt b 修正指数曲线模型差分计算表修正指数曲线模型差分计算表结论：修正指数曲线的结论：修正指数曲线的一阶差分比率一阶差分比率为常数为常数 b。三和法（三段法）v将整个

11、序列分成三个相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和以估计参数。1212221223(1,),(2,),( ,)(1,),(2,),(2 ,)(21,),(22,),(3 ,)nnnnnnnyyn ynynyn ynynyn y1122101122122nnnnnnntttnnnyKabyKabyynKabbbbyKab 112011211nntttnnyKabyKabyynKab bbbyKab2121223210112232133nnnnnnntttnnnyKabyKabyynKabbbbyKab第三节第三节 修正指数曲线修正指数曲线011112101121321011321nnttt

12、nnnttt nnnntttnyynKab bbbyynKabbbbyynKabbbb 11110bbbbbnn112213111111ntnntnntbynKabbbynKabbbynKabbttttttttnnttttyyyyyynKyybbbayyyyb231223112212232111第三节第三节 修正指数曲线修正指数曲线第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线 生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。 发生初期成长速度较慢，由慢到快；发生

13、初期成长速度较慢，由慢到快； 发展时期生长速度则较快；发展时期生长速度则较快； 成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢； 到衰老期则几乎停止生长。到衰老期则几乎停止生长。v 指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。龚帕兹生长曲线龚帕兹生长曲线 -6-4-20246800.511.52-3-2-10123400.250.50.7511.251.51.7502460510152025-0.50

14、0.511.520255075100125150 (a) ln a0, 0b1 (b) ln a1 (c) ln a0, 0b0, b1第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线 结论：龚伯兹曲线的结论：龚伯兹曲线的对数一阶差分比率对数一阶差分比率为常数为常数 b。龚珀兹曲线模型一阶差的比率计算表龚珀兹曲线模型一阶差的比率计算表第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线查反对数表，求出参数查反对数表，求出参数k、a、b，并将，并将k、a、b代入公式代入公式tbkay ，即得龚珀兹预测模型。，即得龚珀兹预测模型。 32212121lnlnlnl

15、n1lnlnln111lnlnln1ttnttttnntyybyybayybbbKybanb 例例4：设某军工企业从：设某军工企业从1993年年1月开始为海军月开始为海军批量生产某型装备，从元月到批量生产某型装备，从元月到9月平均每台节月平均每台节省原材料如表所示，试用龚伯兹曲线预测法预省原材料如表所示，试用龚伯兹曲线预测法预测测10月份，每台可能节约原材料费多少？月份，每台可能节约原材料费多少？第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线求解过程求解过程32333321lnln7.711 7.3400.3710.42110.7495lnln7.3406.4590.881ttttyybyy0.5178a

16、14.2962K ttbtKay7495. 05178. 02962.14龚伯兹曲线方程为：龚伯兹曲线方程为： 将将t10代入，得：代入，得： 78.135178. 02962.145178. 02962.140559. 07495. 01010y第五节第五节 罗吉斯曲线罗吉斯曲线罗吉斯曲线图罗吉斯曲线图 1938年比利时数学家年比利时数学家P.F.Verhulst在研究人口增殖规在研究人口增殖规律时，归纳出了著名的罗吉斯曲线律时，归纳出了著名的罗吉斯曲线(Logistic curve)，又称，又称生长理论曲线或推理曲线生长理论曲线或推理曲线，广泛用于长期预测的数学模型。广泛用于长期预测的数学

17、模型。适合用罗吉斯曲线表示：适合用罗吉斯曲线表示：某种耐用消费品的普及过程某种耐用消费品的普及过程流行商品的累积销售额流行商品的累积销售额被置于孤岛的动植物生长现象等被置于孤岛的动植物生长现象等 1atKybe倒数总和法倒数总和法v求倒数v三和法求参数11,1,2,3attbetnyK(1)1112(1)(21)(1)21213(2321321(1)111(1)1111naa naanatnaatttna nana nanatnaat nt ntnaatntntnteeeenbenbnbeeSyKKKeeeenbenbnbeeSyKKKenbenbSyK 1)(31)(21)(1)11nana

18、nanaaeeenbeeKK倒数总和法倒数总和法v构造v则(1)(21)2(1)12(1)()(1)(1)(1)()ana na naaanaa nanaanaanaanaDbeeeKeDKebeeeeeeeeeee (1)112(1)(21)223(1)()(1)(1)()(1)anaa naana nanabeeeDSSKebeeeDSSKe121(lnln)aDDn倒数总和法倒数总和法v构造v则2111122112()1(1)aanaDK nSD DeDb KeeD D 2(1)211(1)(21)12(1)()(1)(1)(2)(1)anaa nanaaaa nanaDbeeebeen

19、SDDKeeeeKeK第五节第五节 罗吉斯曲线罗吉斯曲线v 例例5：某石油公司的天然气历年产量见表。试建立罗吉：某石油公司的天然气历年产量见表。试建立罗吉斯增长曲线，并用模型预测未来一年的天然气产量。斯增长曲线，并用模型预测未来一年的天然气产量。解：由表中数据求得解：由表中数据求得235. 0819. 021DD0.3125.5023.247aKb0.3125.5021 3.247tye得得增长曲线特征比较增长曲线特征比较曲线类型曲线类型特特 点点指数曲线一阶环比为常数一阶环比为常数eb（或对数的一阶差分近似为一常数）修正指数曲线一阶差分环比为常数一阶差分环比为常数b龚伯兹曲线其对数的一阶差分

20、的环比为一常数其对数的一阶差分的环比为一常数b罗吉斯曲线倒数的一阶差分环比为一常数倒数的一阶差分环比为一常数e-a预测模型的识别方法预测模型的识别方法v1.绘图目估法绘图目估法v2.离差平方和最小法离差平方和最小法v3.增长特征法增长特征法曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析 一、曲线的拟合优度分析一、曲线的拟合优度分析 如前所述，实际的预测对象往往无法通过图形如前所述，实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。

21、再确定究竟用哪一种模型。 拟合优度指标：拟合优度指标： 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为优度好坏的指标：为优度好坏的指标：2()yySEn曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析年份年份时序时序（t）总额总额 （ yt ）年份年份时序时序（t）总额总额 （ yt ）年份年份时序时序（t）总额总额（ yt ）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.8197726

22、1432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7 例例 6：下表是我国：下表是我国1952年到年到1983年社会商品零售总额年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额

23、（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额 。曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为轴，年份为x轴。轴。曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为：适用的二次曲线模型为： 适用的指数曲线模型为适用的指数曲线模型为： 2012tybbtb tbttyae曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析（3）进行二次曲线拟合进行二次曲线拟合。首先产生