第2章 连续信号与系统的时域分析xin

1、第第2章章 LTI连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 绪论绪论2.2 LTI系统的响应系统的响应2.3 典型响应典型响应2.4 连续信号的卷积连续信号的卷积2.5 小结小结教学目标与要求教学目标与要求v掌握连续系统微分方程及其解的基本特点。掌握连续系统微分方程及其解的基本特点。v理解掌握零输入响应与零状态响应的概念与求理解掌握零输入响应与零状态响应的概念与求解方法。解方法。v理解掌握单位冲激响应和单位阶跃响应的概念。理解掌握单位冲激响应和单位阶跃响应的概念。v掌握冲激响应和阶跃响应的求解方法。掌握冲激响应和阶跃响应的求解方法。v理解掌握连续信号卷积的定义。理解掌握连续信号卷积的定义。v

2、掌握卷积的计算方法。掌握卷积的计算方法。v了解卷积在连续系统分析中的应用。了解卷积在连续系统分析中的应用。2.1 2.1 绪论绪论2.1.1 2.1.1 基本概念基本概念2.1.2 2.1.2 经典解经典解2.1.3 2.1.3 系统的初始值系统的初始值vLTI连续系统是最常见最有用的一类系统，描述这类系统输入输出关系的数学模型是常系数线性微分方程。从系统的数学模型出发，在时域中研究输入信号通过系统后响应的变化规律，是研究系统时域特性的重要方法，这种方法称为时域分析法。 时域分析法包含两方面内容：v微分方程的求解v将单位冲激响应与输人激励信号进行卷积积分，求出系统的零状态响应2.1.1 2.1

3、.1 基本概念基本概念v例2.1-1：图2.1.1是一典型的RLC线性二阶电路，求电容两端输出电压 与激励源 之间的关系。 v 图2.1.1 RLC线性二阶电路解：电路系统建立微分方程的基本依据是基尔霍夫定律（KCL、KVL）以及元件的电压-电流关系（VCR）。据图可得各元件电压关系式：电阻：电感：电容：电流关系是为：( )( )RutRi t( )( )Ldi tutLdt( )( )( )CLRututut( )( )( )sci ti ti t( )( )ccdu ti tCdt v按照微分方程的习惯写法，最高阶项系数一般为1v最后可得v系统的微分方程不但含有输入信号，而且还含有系统的微

4、分方程不但含有输入信号，而且还含有的导数。的导数。 ( ) ( )( )( ) ( )csccsdu td i tCdu tdtu tLR i tCdtdt( )( )( )( )( )cccssLCutRCututLitRit11( )( )( )( )( )cccssRRututu titi tLLCCLC如果单输入如果单输入- -单输出系统的输入激励为单输出系统的输入激励为f f(t)(t)，输出响应，输出响应y y(t) , (t) , 描述连续线性时不变（描述连续线性时不变（LTILTI）系统的数学模型为）系统的数学模型为n n阶次的常系数线性微分方程形式如下阶次的常系数线性微分方程

5、形式如下( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmmytayta y ta y tb ftbftb f tb f t)()()()()()(011 -m1m011 -n1ntfbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdammmmnnnn2.1.2 经典解na 一般将激励信号加入的时刻定义为一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为，响应为 时的方程的解，时的方程的解， 初始条件初始条件:0t齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式1ekntkkA注意：注意：重根情况处理方法重根情况处

6、理方法特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特数的特解函数式解函数式, 代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。定出特解。+2+n-1+2n-1dy(0 )d y(0 )dy(0 )y(0 )dtdtdt,经典法全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由初始条件定出特解，由初始条件定出齐次解系数齐次解系数齐次微分方程齐次微分方程1ekntkkA特征方程特征方程特征根特征根0)(.)()(011 -n1ntyatydtdatydtdannnn0.0111aaaannnn齐次解形式：（和特征根有关）齐次解形式：（和特征根有关）n,.,

7、211、齐次解、齐次解特征根特征根齐次解的形式齐次解的形式rtCerrtkkrtrtetCteCeC1211 2 ,ab jbteCbteCatatsincos21btetDbtteDbteDbtetCbtteCbteCatkkatatatkkatatsinsinsincoscoscos121121r单根单根k重实根重实根ajb1,21,2k重复根重复根线性时不变系统经典求解1ekntkkAesin()ttecos()tt12cos()B sin()ateBtt激励函数激励函数e(t)或或f(t)响应函数响应函数y(t)y(t)或或 r(t) 的特解的特解EBpt1121ppppBtB tB

8、tBetektBtcos() tsin() t12cos()sin()BtBtesin()ptttecos()pttt11211121()ecos()()esin()pptpppptppBtB tB tBtDtD tD tDt或或12cos()sin()atteBtBt a 是是 k 重特征根重特征根当当ajb不是特征根不是特征根当当ajb是特征根是特征根t21)(eBtB a a 不是特征根不是特征根2、特解、特解3、全解、全解 hpy tytyt22( )6( )5 ( )tddy ty ty tedtdt(0)(0)0yy例：例：求微分方程的完全解求微分方程的完全解2650512( )t

9、thy tC eC e解解: : 齐次方程为齐次方程为 特征方程：特征方程： 特征根：特征根： 该方程的齐次解为：该方程的齐次解为：1251 ，22( )6( )5 ( )0ddy ty ty tdtdt ( )tpytCte激励函数中激励函数中a = -1= -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为： t -t -t -t -22)(5)(6)(eCteCtedtdCtedtd代入原微分方程得代入原微分方程得 求得求得 41C所以特解为所以特解为 tptety41)(完全解为完全解为tttphteeCeCtytyty41)()()(251代入初始

10、条件代入初始条件求得求得161,16121CC所以有所以有041161161)(5tteeetyttt0)0()0( yy4. 4. 全解在系统时域分析中的物理意义全解在系统时域分析中的物理意义 齐次解的函数形式（自由响应的响应形式），只依赖于特征根即系统本身的特性，与激励 无关。 特征根称为系统的“固有频率”或“自然频率”，它决定了系统自由响应的形式。特解的函数形式（强迫响应的响应形式）由激励信号决定。 f t2.2 LTI2.2 LTI系统的响应系统的响应2.2.1 2.2.1 零输入响应零输入响应2.2.2 2.2.2 零状态响应零状态响应系统响应划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(N

11、atural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state) 也称也称固有响应固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于式无关。对应于齐次解齐次解。 形式取决于形式取决于外加激励外加激励。对应于。对应于特解特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量

12、即得稳态响应分量。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。零），由系统的外加激励信号产生的响应。 自由响应：自由响应：暂态响应：暂态响应：稳态响应稳态响应：强迫响应：强迫响应：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义求系统的零输入响应( )3 ( )2 ( )( )y ty ty tf t2)0(,

13、1)0(-，yy解：解：特征方程特征方程02322, 121特征根特征根ttzieCeCty221)(零输入响应零输入响应1212(0 )1(0 )22yCCyCC 由起始条件由起始条件0,34)(2ziteetytt得零输入响应为得零输入响应为零输入响应例：描述某LTI系统的方程为系统初始状态为0)(2)(3)( tytyty零状态响应零状态响应 零状态响应定义为：系统的初始状态为零时，仅由激励信号( )f t引起的响应。 描述某LTI系统的方程为 ( )3 ( )2 ( )( )y ty ty tf t若系统激励 ( )( )f tu t，求系统的零状态响应 zsyt解：由题意得，零状态响

14、应 zsyt满足的方程为( )3( )2( )( )zszszsytytytf t零状态响应 zsyt的解仍由齐次解和特解两部分组成。 （1）齐次解 zshyt齐次方程为 ( )3( )2( )0zszszsytytyt2320121,2 齐次解为 212ttzshytC eC e（2）特解 zspyt当激励 ( )( )f tu t其特解应为 zspytP12P 全解为 21212ttzsytC eC e 2122ttzsytC eC e （3）确定初始值 ( )( )f tu t代入 zsyt( )3( )2( )( )zszszsytytytu t(0 )(0 )0,(0 )(0 )0z

15、szszszsyyyy1211,2CC 零状态响应为 211,022ttzsyteet ( )3( )2( )( )zszszsytytytf t 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出所以引出卷积积分法。卷积积分法。零状态响应( )( )( )r te th t 系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的激励与系统冲激响应的卷积，即卷积，即 设零输入响应为设零输入响应为)(zitr，零状态响应为，零状态响应为)(zstr，则有则有 31zizs( )( )( )2esin(2 )( )tr tr trttu t32zizs( )( )2(

16、 )e2sin(2 ) ( )tr tr trtt u t解：解：3zizs0( )( )()r tr trtt03()3003e( ) esin(22 ) ()t ttu tttu tt 4zizs( )2( )0.5( )r tr trt332 3e( )0.5esin(2 )( )ttu ttu t解得解得3zi( )3e( )tr tu t3zs( ) esin(2 ) ( )trtt u t 35.5e0.5sin(2 )( )ttu t2.3 2.3 典型响应典型响应2.3.1 2.3.1 单位冲激响应单位冲激响应2.3.2 2.3.2 单位阶跃响应单位阶跃响应2.3.12.3.1

17、冲激响应冲激响应1 1定义定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为作用下产生的零状态响应，称为单位单位冲激响应冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，一般用，一般用h(t)表示。表示。 ( ) tH( ) t( )h t说明说明: : 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，不同，说明其系统特性不同， 冲激响应冲激响应可以衡量系统的特性。可以衡量系统的特性。( ) t( )h t( )h t响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)2.冲激响应的数学模

18、型冲激响应的数学模型1011110111d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmr tr tr tCCCC r tttte te te tEEEE e tttt对于线性时不变系统对于线性时不变系统,可以用一可以用一高阶微分方程高阶微分方程表示表示 ( )(1)(1)011()(1)(1)011( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmmC htC htChtC h tEtEtEtEt激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最高最高阶为阶为m次次)令令 e(t)=(t) 则则 r(t)=h(t)2.3.2单位阶跃响应( )

19、u t g t对于一个LTI系统，由输入激励为单位阶跃函数单位阶跃响应，简称阶跃响应，用表示。 时，系统的零状态响应称为( )1,0( )0,0u ttu tt可知，阶跃响应 g t解的形式仍由齐次解和特解。2.4 2.4 连续信号的卷积连续信号的卷积2.4.1 2.4.1 卷积的定义和图示卷积的定义和图示2.4.2 2.4.2 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4.1卷积定义和图形卷积定义和图形12( )( )f tf t12( )( )()df tfft1212( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf t或或12( )( )f tft主要利用卷积来求解系统的零状态

20、响应。主要利用卷积来求解系统的零状态响应。设有两个设有两个 函数函数 ，积分，积分称为称为 的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积，记为，记为( )( ) ()de tet ( )( )r tH e t( ) ()dHet ( )() deHt( ) ()deh t这就是系统的这就是系统的零状态响应。零状态响应。zs( )( )( )( )( )rte th te th t若把它作用于冲激响应为若把它作用于冲激响应为h(t)的的LTIS，则响应为，则响应为卷积的计算卷积的计算卷积积分中积分限的确定是非常关键的。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。借助于阶跃函数借助于阶跃函数 u (t) 确定

21、积分限确定积分限利用图解说明确定积分限利用图解说明确定积分限 用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。 12( )( )()df tff t11( )( )f tf 2222( )( )()()f tfff t 倒置12( )()ff t12( ).()dff t积分变量改为积分变量改为时延3.相乘相乘4.乘积的积分乘积的积分2.1.对对延时延时t，(- t)= t- 积分结果为积分结果为t t 的函数的函数

22、例例1：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt当当t t时，时，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232当当t ，即，即 t时，时，(t -) = 1yf(t) = f (t) * h(t)=0卷积的图解法卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t换为换为得得 f1()， f2()（2）反转平

23、移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。th( )f (t - )201321例2 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图解法求卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf

24、 1t 2时时4121d21)(1ttyttf 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 时时432141d21)(221tttytf0一代数性质1交换律交换律2分配律分配律3结合律结合律系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算1221( )( )( )( )f tf tf tf t1231213( ) ( )

25、( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t1212( )( )( )( ) ( )( )f tf tf tf tf tf t2.4.2 卷积积分的性质卷积积分的性质系统并联12( )( )( )h th th t1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t系统并联，框图表示：系统并联，框图表示： ( )g t( )f t( )h t( )g t( )f t( )f t( )f t( )h t1( )h t2( )h t)()(1thtf )()(2thtf 12( )( )( )( )( )( )f th t

26、f th tf th t结论：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。各子系统冲激响应之和。系统级联1212( )( )( )( ) ( )( )f th th tf th th t( )( )f th t12( )( )( )h th th t系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： ( )f t1( )h t2( )h t( )g t1( )( )f th t12( )( )( )f th th t( )g t( )f t( )h t结论：结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。时域中，子系统级联时，总的冲激

27、响应等于子系统冲激响应的卷积。 二时移性质设设则则)()()()()(txththtxtg)()()()()(00tthttxthtxtg)()()()()(000tthtxthttxttg1( )f t2( )f tA BC D A+C B+D( )g t一般规律：一般规律：上限上限下限下限三微分积分性质( )( )( )( )( )g tf th tf th t( )( )( )( )( )( )( )( )nnngtf thtfth t( 1)( 1)( 1)( )( )( )( )( )gtf thtfth tg(t)的积分的积分tttdxthdhtxdg)()()()()(积分性质积分性质微分性质：微分性质：推广：推广：()( )()()( )( )( )(